ECUACIONES

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Una solución a la ecuación de Fokker-Planck unidimensional, con la deriva y el término de difusión. En este caso, la condición inicial es una función delta de Dirac centrada lejos de la velocidad cero. Con el tiempo la distribución se amplía debido a impulsos aleatorios.

En mecánica estadística , la ecuación de Fokker-Planck es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad de la velocidad de una partícula bajo la influencia de fuerzas de arrastre y fuerzas aleatorias, como en el movimiento browniano . La ecuación también se puede generalizar a otros observables. ^[1] Lleva el nombre de Adriaan Fokker y Max Planck , ^[2] [3] y también se conoce como la ecuación de avance de Kolmogorov , por Andrey Kolmogorov, quien descubrió el concepto de forma independiente en 1931. ^[4] Cuando se aplica a distribuciones de posición de partículas, es mejor conocido como la ecuación de Smoluchowski (después de Marian Smoluchowski ), y en este contexto es equivalente a la ecuación de convección-difusión . El caso con difusión cero es conocido en la mecánica estadística como la ecuación de Liouville . La ecuación de Fokker-Planck se obtiene de la ecuación maestra a través de la expansión de Kramers-Moyal .

La primera derivación microscópica consistente de la ecuación de Fokker-Planck en el esquema único de la mecánica clásica y cuántica fue realizada por Nikolay Bogoliubov y Nikolay Krylov . ^[5] [6]

La ecuación de Smoluchowski es la ecuación de Fokker-Planck para la función de densidad de probabilidad de las posiciones de partículas de las partículas brownianas.

Una dimensión [ editar ]

En una dimensión espacial x , para un proceso Itō controlado por el proceso Wiener estándar $${\ displaystyle W_ {t}}y descrito por la ecuación diferencial estocástica (SDE).

$${\ displaystyle dX_ {t} = \ mu (X_ {t}, t) \, dt + \ sigma (X_ {t}, t) \, dW_ {t}}

con deriva $${\ displaystyle \ mu (X_ {t}, t)}y coeficiente de difusión.$${\ displaystyle D (X_ {t}, t) = \ sigma ^ {2} (X_ {t}, t) / 2}, la ecuación de Fokker-Planck para la densidad de probabilidad $${\ displaystyle p (x, t)} de la variable aleatoria $${\ displaystyle X_ {t}} es

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} p (x, t) = - {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ izquierda [\ mu (x, t) p (x , t) \ derecha] + {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} \ izquierda [D (x, t) p (x, t) \ derecha].}

espectáculo

Enlace entre el Itō SDE y la ecuación de Fokker-Planck

Si bien la ecuación de Fokker-Planck se usa con problemas donde se conoce la distribución inicial, si el problema es conocer la distribución en momentos anteriores, se puede usar la fórmula de Feynman-Kac , que es una consecuencia de la ecuación hacia atrás de Kolmogorov.

El proceso estocástico definido anteriormente en el sentido de Itō se puede reescribir dentro de la convención de Stratonovich como un SDE de Stratonovich:

$${\ displaystyle dX_ {t} = \ left [\ mu (X_ {t}, t) - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial} {\ partial X_ {t}}} D ( X_ {t}, t) \ right] \, dt + {\ sqrt {2D (X_ {t}, t)}} \ circ dW_ {t}.

Incluye un término de deriva inducido por ruido agregado debido a los efectos de gradiente de difusión si el ruido depende del estado. Esta convención es más utilizada en aplicaciones físicas. De hecho, es bien sabido que cualquier solución para el SDE de Stratonovich es una solución para el SDE de Itō.

La ecuación de deriva cero con difusión constante se puede considerar como un modelo del movimiento browniano clásico :

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} p (x, t) = D_ {0} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} \ izquierda [p (x, t) \ derecha].}

Este modelo tiene un espectro discreto de soluciones si se agrega la condición de límites fijos para $${\ displaystyle \ {0 \ leqslant x \ leqslant L \}}:

$${\ displaystyle p (0, t) = p (L, t) = 0,}

$${\ displaystyle p (x, 0) = p_ {0} (x).}

Se ha demostrado ^[9] que, en este caso, un espectro analítico de soluciones permite obtener una relación de incertidumbre local para el volumen de la fase de la velocidad de coordenadas:

$${\ displaystyle \ Delta x \, \ Delta v \ geqslant D_ {0}.}

aquí $${\ displaystyle D_ {0}} Es un valor mínimo de un espectro de difusión correspondiente. $${\ displaystyle D_ {j}}, mientras $${\ displaystyle \ Delta x} y $${\ displaystyle \ Delta v} Representa la incertidumbre de la definición de la coordenada-velocidad.

Dimensiones superiores [ editar ]

Más en general, si

$${\ displaystyle d \ mathbf {X} _ {t} = {\ boldsymbol {\ mu}} (\ mathbf {X} _ {t}, t) \, dt + {\ boldsymbol {\ sigma}} (\ mathbf { X} _ {t}, t) \, d \ mathbf {W} _ {t},}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {t}} y $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} (\ mathbf {X} _ {t}, t)}son vectores aleatorios de dimensión N , $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} (\ mathbf {X} _ {t}, t)}es una N$${\ displaystyle \ times}Matriz M y$${\ displaystyle \ mathbf {W} _ {t}}es una Mestándar -dimensional proceso de Wiener , la densidad de probabilidad$${\ displaystyle p (\ mathbf {x}, t)} para $${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {t}} satisface la ecuación de Fokker-Planck

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial p (\ mathbf {x}, t)} {\ parcial t}} = - \ suma _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {i}}} \ left [\ mu _ {i} (\ mathbf {x}, t) p (\ mathbf {x}, t) \ right] + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ {i} \, \ parcial x_ {j}}} \ izquierda [D_ {ij} (\ mathbf {x}, t) p (\ mathbf {x}, t) \ derecha],}

con vector de deriva $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} = (\ mu _ {1}, \ ldots, \ mu _ {N})}y tensor de difusión. $${\ displaystyle \ mathbf {D} = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma \ sigma}} ^ {\ mathsf {T}}}es decir

$${\ displaystyle D_ {ij} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {2}} \ suma _ {k = 1} ^ {M} \ sigma _ {ik} (\ mathbf {x }, t) \ sigma _ {jk} (\ mathbf {x}, t).}

Si en lugar de un SDE de Itō, se considera un SDE de Stratonovich ,

$${\ displaystyle d \ mathbf {X} _ {t} = {\ boldsymbol {\ mu}} (\ mathbf {X} _ {t}, t) \, dt + {\ boldsymbol {\ sigma}} (\ mathbf { X} _ {t}, t) \ circ d \ mathbf {W} _ {t},}

la ecuación de Fokker-Planck se leerá ( ^[8] pág. 129):

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial p (\ mathbf {x}, t)} {\ parcial t}} = - \ suma _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {i}}} \ left [\ mu _ {i} (\ mathbf {x}, t) \, p (\ mathbf {x}, t) \ right] + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {M} \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {i}}} \ left \ {\ sigma _ {ik} (\ mathbf {x}, t) \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left [\ sigma _ {jk} (\ mathbf { x}, t) \, p (\ mathbf {x}, t) \ right] \ right \}}

Ejemplos [ editar ]

Proceso de Wiener [ editar ]

Un proceso de Wiener escalar estándar es generado por la ecuación diferencial estocástica

$${\ displaystyle dX_ {t} = dW_ {t}.}

Aquí el término de deriva es cero y el coeficiente de difusión es 1/2. Así, la ecuación de Fokker-Planck correspondiente es

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial p (x, t)} {\ parcial t}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2} p (x, t)} {\ parcial x ^ {2}}},}

que es la forma más simple de una ecuación de difusión . Si la condición inicial es$${\ displaystyle p (x, 0) = \ delta (x)}, la solucion es

$${\ displaystyle p (x, t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi t}}} e ^ {- {x ^ {2}} / ({2t})}.}

Proceso de Ornstein-Uhlenbeck [ editar ]

El proceso Ornstein-Uhlenbeck es un proceso definido como

$${\ displaystyle dX_ {t} = - aX_ {t} dt + \ sigma dW_ {t}}.

con {\ displaystyle a> 0}. La ecuación correspondiente de Fokker-Planck es

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial p (x, t)} {\ parcial t}} = a {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ izquierda (x \, p (x, t) \ derecha) + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2} p (x, t)} {\ parcial x ^ {2}}},}

La solución estacionaria ($${\ displaystyle \ parcial _ {t} p = 0}) es

$${\ displaystyle p (x, t) = {\ sqrt {\ frac {a} {\ pi \ sigma ^ {2}}}} e ^ {- {\ frac {ax ^ {2}} {\ sigma ^ { 2}}}}.}

Física del plasma [ editar ]

En la física del plasma, la función de distribución para una especie de partícula.$${\ displaystyle s}, $${\ displaystyle p_ {s} ({\ vec {x}}, {\ vec {v}}, t)}, ocupa el lugar de la función de densidad de probabilidad . La ecuación de Boltzmann correspondiente está dada por

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial p_ {s}} {\ partial t}} + {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} p_ {s} + {\ frac {Z_ {s } e} {m_ {s}}} \ left ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ times {\ vec {B}} \ right) \ cdot {\ vec {\ nabla}} _ {v} p_ {s} = - {\ frac {\ partial} {\ partial v_ {i}}} \ left (p_ {s} \ langle \ Delta v_ {i} \ rangle \ right) + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial v_ {i} \, \ parcial v_ {j}}} \ izquierda (p_ {s} \ langle \ Delta v_ {i} \, \ Delta v_ {j} \ rangle \ right),}

donde el tercer término incluye la aceleración de partículas debida a la fuerza de Lorentz y el término Fokker-Planck en el lado derecho representa los efectos de las colisiones de partículas. Las cantidades$${\ displaystyle \ langle \ Delta v_ {i} \ rangle} y $${\ displaystyle \ langle \ Delta v_ {i} \, \ Delta v_ {j} \ rangle} son el cambio promedio en la velocidad de una partícula de tipo $${\ displaystyle s}Experiencias debido a colisiones con todas las demás especies de partículas en tiempo unitario. Expresiones para estas cantidades se dan en otros lugares. ^[10] Si se ignoran las colisiones, la ecuación de Boltzmann se reduce a la ecuación de Vlasov .

Consideraciones computacionales [ editar ]

El movimiento browniano sigue la ecuación de Langevin , que puede resolverse para muchos forzamientos estocásticos diferentes con resultados promedios (el método de Monte Carlo , conjunto canónico en dinámica molecular ). Sin embargo, en lugar de este enfoque computacional intensivo, uno puede usar la ecuación de Fokker-Planck y considerar la probabilidad$${\ displaystyle f (\ mathbf {v}, t) \, d \ mathbf {v}} de la partícula que tiene una velocidad en el intervalo $${\ displaystyle (\ mathbf {v}, \ mathbf {v} + d \ mathbf {v})} cuando comienza su movimiento con $${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0}} en el tiempo 0.

Solución [ editar ]

Al ser una ecuación diferencial parcial , la ecuación de Fokker-Planck se puede resolver analíticamente solo en casos especiales. Una analogía formal de la ecuación de Fokker-Planck con la ecuación de Schrödinger permite el uso de técnicas de operador avanzadas conocidas de la mecánica cuántica para su solución en varios casos. En muchas aplicaciones, a uno solo le interesa la distribución de probabilidad en estado estable $${\ displaystyle f_ {0} (x)}, que se puede encontrar en $${\ displaystyle {\ dot {f}} _ {0} (x) = 0}. El cálculo de los tiempos medios de primer paso y las probabilidades de división pueden reducirse a la solución de una ecuación diferencial ordinaria que está íntimamente relacionada con la ecuación de Fokker-Planck.

Casos particulares con solución conocida y la inversión [ editar ]

En matemática financiera para la sonrisa de volatilidad de modelado de opciones a través de la volatilidad locales, uno tiene el problema de obtener un coeficiente de difusión$${\ displaystyle {\ sigma} (\ mathbf {X} _ {t}, t)}consistente con una densidad de probabilidad obtenida de cotizaciones de opciones de mercado. El problema es, por lo tanto, una inversión de la ecuación de Fokker-Planck: Dada la densidad f (x, t) de la opción subyacente X deducida del mercado de opciones, uno tiene como objetivo encontrar la volatilidad local$${\ displaystyle {\ sigma} (\ mathbf {X} _ {t}, t)}consistente con f . Este es un problema inverso que ha sido resuelto en general por Dupire (1994, 1997) con una solución no paramétrica. Brigo y Mercurio (2002, 2003) proponen una solución en forma paramétrica a través de una volatilidad local particular$${\ displaystyle {\ sigma} (\ mathbf {X} _ {t}, t)}consistente con una solución de la ecuación de Fokker-Planck dada por un modelo de mezcla . Más información está disponible también en Fengler (2008), Gatheral (2008) y Musiela y Rutkowski (2008).

Ecuación de Fokker-Planck e integral de trayectoria [ editar ]

Cada ecuación de Fokker-Planck es equivalente a una integral de trayectoria . La formulación integral del camino es un excelente punto de partida para la aplicación de los métodos de la teoría de campo. ^[11] Esto se usa, por ejemplo, en dinámica crítica .

Una derivación de la integral de trayectoria es posible de manera similar a la mecánica cuántica. La derivación para una ecuación de Fokker-Planck con una variable x es la siguiente. Comience insertando una función delta y luego integrando por partes:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} p \! \ left (x ^ {\ prime}, t \ right) & = - {\ frac {\ partial} { \ parcial x '}} \ izquierda [D_ {1} (x', t) p (x ', t) \ derecha] + {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial {x'} ^ { 2}}} \ left [D_ {2} (x ', t) p (x', t) \ right] \\ [5pt] & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \ left (\ left [D_ {1} \ left (x, t \ right) {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + D_ {2} \ left (x, t \ right) {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} \ derecha] \ delta \ izquierda (x ^ {\ prime} -x \ derecha) \ derecha) p \! \ Izquierda (x, t \ derecha). \ end {alineado}}}

Los x- derivados aquí solo actúan sobre la$${\ displaystyle \ delta}-función, no en $${\ displaystyle p (x, t)}. Integrar en un intervalo de tiempo$${\ displaystyle \ varepsilon},

$${\ displaystyle p (x ^ {\ prime}, t + \ varepsilon) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, dx \ left (\ left (1+ \ varepsilon \ left [D_ {1} (x, t) {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} + D_ {2} (x, t) {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} \ derecha] \ derecha) \ delta (x ^ {\ prime} -x) \ derecha) p (x, t) + O (\ varepsilon ^ {2}).}

Inserte la integral de Fourier

$${\ displaystyle \ delta \ left (x ^ {\ prime} -x \ right) = \ int _ {- i \ infty} ^ {i \ infty} {\ frac {d {\ tilde {x}}} {2 \ pi i}} e ^ {{\ tilde {x}} \ left (xx ^ {\ prime} \ right)}}

Para el $${\ displaystyle \ delta}-función,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} p (x ^ {\ prime}, t + \ varepsilon) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \ int _ {- i \ infty} ^ {i \ infty} {\ frac {d {\ tilde {x}}} {2 \ pi i}} \ left (1+ \ varepsilon \ left [{\ tilde {x}} D_ {1} (x, t) + {\ tilde {x}} ^ {2} D_ {2} (x, t) \ derecha] \ derecha) e ^ {{\ tilde {x}} (xx ^ {\ prime})} p (x, t ) + O (\ varepsilon ^ {2}) \\ [5pt] & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \ int _ {- i \ infty} ^ {i \ infty} {\ frac {d {\ tilde {x}}} {2 \ pi i}} \ exp \ left (\ varepsilon \ left [- {\ tilde {x}} {\ frac {(x ^ {\ prime} -x)} {\ varepsilon}} + {\ tilde {x}} D_ {1} f (x, t) + {\ tilde {x}} ^ {2} D_ {2} (x, t) \ right] \ right) p (x, t) + O (\ varepsilon ^ {2}). \ end {alineado}}}

Esta ecuación expresa $${\ displaystyle p (x ^ {\ prime}, t + \ varepsilon)} como funcional de $${\ displaystyle p (x, t)}. Iterando$${\ displaystyle (t ^ {\ prime} -t) / \ varepsilon} tiempos y realizando el limite $${\ displaystyle \ varepsilon \ rightarrow 0}Da un camino integral con la acción.

$${\ displaystyle S = \ int dt \ left [{\ tilde {x}} D_ {1} (x, t) + {\ tilde {x}} ^ {2} D_ {2} (x, t) - { \ tilde {x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial t}} \ right].}

Las variables $${\ displaystyle {\ tilde {x}}} conjugado a $${\ displaystyle x}Se llaman "variables de respuesta". ^[12]

Aunque formalmente equivalentes, diferentes problemas pueden resolverse más fácilmente en la ecuación de Fokker-Planck o en la formulación integral de la trayectoria. La distribución de equilibrio, por ejemplo, puede obtenerse más directamente de la ecuación de Fokker-Planck.

La fórmula de Friis o la fórmula de Friis (a veces la fórmula de Friis ), llamada así por el ingeniero eléctrico danés-estadounidense Harald T. Friis , es una de las dos fórmulas utilizadas en la ingeniería de telecomunicaciones para calcular la relación señal-ruido de un amplificador de múltiples etapas . Uno se relaciona con el factor de ruido mientras que el otro se relaciona con la temperatura de ruido .

La fórmula de Friis para el factor de ruido [ editar ]

La fórmula de Friis se utiliza para calcular el factor de ruido total de una cascada de etapas, cada una con su propio factor de ruido y ganancia de potencia (suponiendo que las impedancias se combinan en cada etapa). El factor de ruido total se puede utilizar para calcular la cifra de ruido total . El factor de ruido total se da como

$${\ displaystyle F _ {\ text {total}} = F_ {1} + {\ frac {F_ {2} -1} {G_ {1}}} + {\ frac {F_ {3} -1} {G_ { 1} G_ {2}}} + {\ frac {F_ {4} -1} {G_ {1} G_ {2} G_ {3}}} + \ cdots + {\ frac {F_ {n} -1} {G_ {1} G_ {2} \ cdots G_ {n-1}}}}

dónde $${\ displaystyle F_ {i}} y $${\ displaystyle G_ {i}}son el factor de ruido y la ganancia de potencia disponible , respectivamente, de la i -ª etapa, y nes el número de etapas. Tenga en cuenta que ambas magnitudes se expresan como relaciones, no en decibelios.

Consecuencias [ editar ]

Una consecuencia importante de esta fórmula es que la cifra de ruido general de un receptor de radio se establece principalmente por la cifra de ruido de su primera etapa de amplificación. Las etapas posteriores tienen un efecto decreciente en la relación señal / ruido . Por esta razón, el amplificador de la primera etapa en un receptor a menudo se llama amplificador de bajo ruido (LNA). El "factor" global del ruido del receptor es entonces

$${\ displaystyle F _ {\ mathrm {receptor}} = F _ {\ mathrm {LNA}} + {\ frac {F _ {\ mathrm {rest}} -1} {G _ {\ mathrm {LNA}}}}}

dónde $${\ displaystyle F _ {\ mathrm {rest}}}Es el factor de ruido global de las etapas posteriores. Según la ecuación, el factor de ruido global,$${\ displaystyle F _ {\ mathrm {receptor}}}, está dominado por el factor de ruido del LNA, $${\ displaystyle F _ {\ mathrm {LNA}}}, si la ganancia es suficientemente alta. La Figura de Ruido resultante expresada en dB es:

$${\ displaystyle \ mathrm {NF} _ {\ mathrm {receiver}} = 10 \ log (F _ {\ mathrm {receiver}})}

Derivación [ editar ]

Para una derivación de la fórmula de Frii para el caso de tres amplificadores en cascada ($${\ displaystyle n = 3}) Considera la imagen de abajo. 

Una fuente emite una señal de potencia. $${\ displaystyle S_ {i}} y ruido de poder $${\ displaystyle N_ {i}}. Por lo tanto, la SNR en la entrada de la cadena del receptor es$${\ displaystyle {\ text {SNR}} _ {i} = S_ {i} / P_ {i}}. La señal de poder.$${\ displaystyle S_ {i}}se amplifica por los tres amplificadores. Así, la potencia de señal en la salida del tercer amplificador es$${\ displaystyle S_ {o} = S_ {i} \ cdot G_ {1} G_ {2} G_ {3}}. La potencia de ruido en la salida de la cadena de amplificador consta de cuatro partes:

• El ruido amplificado de la fuente ($${\ displaystyle N_ {i} \ cdot G_ {1} G_ {2} G_ {3}})
• La salida se refiere al ruido del primer amplificador. $${\ displaystyle N_ {a1}} Amplificado por el segundo y tercer amplificador ($${\ displaystyle N_ {a1} \ cdot G_ {2} G_ {3}})
• La salida se refiere al ruido del segundo amplificador. $${\ displaystyle N_ {a2}} amplificado por el tercer amplificador ($${\ displaystyle N_ {a2} \ cdot G_ {3}})
• La salida se refiere al ruido del tercer amplificador. $${\ displaystyle N_ {a3}}

Por lo tanto, la potencia de ruido total en la salida de la cadena del amplificador es igual a

$${\ displaystyle N_ {o} = N_ {i} G_ {1} G_ {2} G_ {3} + N_ {a1} G_ {2} G_ {3} + N_ {a2} G_ {3} + N_ {a3 }}

y la SNR en la salida de la cadena del amplificador es igual a

$${\ displaystyle {\ text {SNR}} _ {o} = {\ frac {S_ {i} G_ {1} G_ {2} G_ {3}} {N_ {i} G_ {1} G_ {2} G_ {3} + N_ {a1} G_ {2} G_ {3} + N_ {a2} G_ {3} + N_ {a3}}}}.

El factor de ruido total ahora se puede calcular como cociente de la SNR de entrada y salida:

$${\ displaystyle F _ {\ text {total}} = {\ frac {{\ text {SNR}} _ {i}} {{\ text {SNR}} _ {o}}} = {\ frac {\ frac { S_ {i}} {N_ {i}}} {\ frac {S_ {i} G_ {1} G_ {2} G_ {3}} {N_ {i} G_ {1} G_ {2} G_ {3} + N_ {a1} G_ {2} G_ {3} + N_ {a2} G_ {3} + N_ {a3}}}} = 1 + {\ frac {N_ {a1}} {N_ {i} G_ {1 }}} + {\ frac {N_ {a2}} {N_ {i} G_ {1} G_ {2}}} + {\ frac {N_ {a3}} {N_ {i} G_ {1} G_ {2 } G_ {3}}}}

Usando las definiciones de los factores de ruido de los amplificadores obtenemos el resultado final:

$${\ displaystyle F _ {\ text {total}} = \ underbrace {1 + {\ frac {N_ {a1}} {N_ {i} G_ {1}}}} _ {= F_ {1}} + \ underbrace { \ frac {N_ {a2}} {N_ {i} G_ {1} G_ {2}}} _ {= {\ frac {F_ {2} -1} {G_ {1}}}} + \ underbrace {\ frac {N_ {a3}} {N_ {i} G_ {1} G_ {2} G_ {3}}} _ {= {\ frac {F_ {3} -1} {G_ {1} G_ {2}} }} = F_ {1} + {\ frac {F_ {2} -1} {G_ {1}}} + {\ frac {F_ {3} -1} {G_ {1} G_ {2}}}}.

La fórmula de Friis para la temperatura de ruido [ editar ]

La fórmula de Friis se puede expresar de manera equivalente en términos de temperatura de ruido :

$${\ displaystyle T _ {\ text {eq}} = T_ {1} + {\ frac {T_ {2}} {G_ {1}}} + {\ frac {T_ {3}} {G_ {1} G_ { 2}}} + \ cdots}