ECUACIONES

El factor calibrador (GF) o el factor de tensión de un medidor de tensión es la relación entre el cambio relativo en la resistencia eléctrica R y la tensión mecánica ε. El factor de calibración se define como ^[1] :

$${\ displaystyle GF = {\ frac {\ Delta R / R} {\ Delta L / L}} = {\ frac {\ Delta R / R} {\ varepsilon}} = 1 + 2 \ nu + {\ frac { \ Delta \ rho / \ rho} {\ varepsilon}}}

dónde

• ε = tensión =$${\ displaystyle \ Delta L / L_ {0}}
  • $${\ displaystyle \ Delta L} = cambio absoluto en la longitud
  • $${\ displaystyle L_ {0}} = longitud original
• ν = relación de Poisson
• ρ = resistividad
• ΔR = cambio en la resistencia del medidor de deformación debido a la deformación axial y la deformación lateral
• R = resistencia sin restricciones del medidor de tensión

Efecto piezo-resistivo [ editar ]

Es un error común pensar que el cambio en la resistencia de un medidor de deformación se basa únicamente, o principalmente, en los términos geométricos. Esto es cierto para algunos materiales ($${\ displaystyle \ Delta \ rho = 0}), y el factor gauge es simplemente:

$${\ displaystyle GF = 1 + 2 \ nu}

Sin embargo, la mayoría de los medidores de tensión comerciales utilizan resistores hechos de materiales que demuestran un fuerte efecto piezorresistivo . La resistividad de estos materiales cambia con la tensión, lo que explica la$${\ displaystyle {\ frac {\ Delta \ rho / \ rho} {\ varepsilon}}}término de la ecuación definitoria anterior. En los medidores de tensión constante (los más populares comercialmente), el efecto representa el 20% del factor de medición, pero en los medidores de silicio, la contribución del término piezorresistivo es mucho mayor que los términos geométricos. Esto se puede ver en los ejemplos generales de medidores de tensión a continuación:

Material	Factor de calibre
Galga extensiométrica de lámina metálica	2-5
Metal de película delgada (por ejemplo, constantán)	2
Silicio monocristalino	-125 a + 200
Polisilicio	± 30
Resistencias de película gruesa	100
p-type Ge	102

Efecto de la temperatura [ editar ]

La definición del factor de medición no se basa en la temperatura, sin embargo, el factor de medición solo relaciona la resistencia a la tensión si no hay efectos de temperatura. En la práctica, donde existen cambios en la temperatura o en los gradientes de temperatura, la ecuación para derivar la resistencia tendrá un término de temperatura . El efecto total es:

$${\ displaystyle {\ frac {\ Delta R} {R}} = GF \ varepsilon + \ alpha \ theta}

dónde

• α = coeficiente de temperatura
• θ = cambio de temperatura

ecuaciones de Lotka-Volterra generalizadas son un conjunto de ecuaciones que son más generales que los ejemplos competitivos o predadores-presas de los tipos de Lotka-Volterra. ^[1] [2] Se pueden usar para modelar la competencia directa y las relaciones tróficas entre un número arbitrario de especies. Su dinámica puede ser analizada analíticamente hasta cierto punto. Esto los hace útiles como una herramienta teórica para modelar las redes alimenticias . Sin embargo, carecen de las características de otros modelos ecológicos, como la preferencia de los depredadores y las respuestas funcionales no lineales , y no pueden utilizarse para modelar el mutualismo sin permitir un crecimiento indefinido de la población.

Las ecuaciones de Lotka-Volterra generalizadas modelan la dinámica de las poblaciones. $${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots} de $${\ displaystyle n}especies biológicas. Juntas, estas poblaciones pueden ser consideradas como un vector. $${\ displaystyle \ mathbf {x}}. Son un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias dadas por

$${\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {dt}} = x_ {i} f_ {i} (\ mathbf {x}),}

donde el vector $${\ displaystyle \ mathbf {f}} es dado por

$${\ displaystyle \ mathbf {f} = \ mathbf {r} + A \ mathbf {x},}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {r}}es un vector y A es una matriz conocida como la matriz comunitaria .

Significado de los parámetros [ editar ]

Las ecuaciones de Lotka-Volterra generalizadas pueden representar competencia y depredación, según los valores de los parámetros, como se describe a continuación. Son menos adecuados para describir el mutualismo.

Los valores de $${\ displaystyle \ mathbf {r}}Son las tasas de nacimiento o muerte intrínsecas de la especie. Un valor positivo para$${\ displaystyle r_ {i}} significa que la especie i puede reproducirse en ausencia de cualquier otra especie (por ejemplo, porque es una planta), mientras que un valor negativo significa que su población disminuirá a menos que estén presentes otras especies apropiadas (por ejemplo, un herbívoro que no pueda sobrevivir sin plantas para comer, o un depredador que no puede persistir sin su presa).

Los valores de la matriz A representan las relaciones entre las especies. El valor de$${\ displaystyle a_ {ij}}representa el efecto que la especie j tiene sobre la especie i. El efecto es proporcional a las poblaciones de ambas especies, así como al valor de$${\ displaystyle a_ {ij}}. Así, si ambos$${\ displaystyle a_ {ij}} y $${\ displaystyle a_ {ji}}son negativos, entonces se dice que las dos especies compiten directamente entre sí, ya que cada una tiene un efecto negativo directo en la población de la otra. Si$${\ displaystyle a_ {ij}} es positivo pero $${\ displaystyle a_ {ji}} es negativo, entonces la especie i se considera un depredador (o parásito) de la especie j, ya que la población de i crece a expensas de j.

Valores positivos para ambos $${\ displaystyle a_ {ij}} y $${\ displaystyle a_ {ji}}Sería considerado el mutualismo. Sin embargo, esto no se usa a menudo en la práctica, ya que puede hacer posible que las poblaciones de ambas especies crezcan indefinidamente.

Efectos indirectos negativos y positivos también son posibles. Por ejemplo, si dos depredadores comen la misma presa, entonces compiten indirectamente, aunque no tengan un término de competencia directa en la matriz de la comunidad.

Los términos diagonales $${\ displaystyle a_ {ii}}generalmente se consideran negativos (es decir, la población de la especie i tiene un efecto negativo sobre sí misma). Esta autolimitación evita que las poblaciones crezcan indefinidamente.

Dinamicas y soluciones [ editar ]

Las ecuaciones de Lotka-Volterra generalizadas son capaces de una amplia variedad de dinámicas, que incluyen ciclos límite y caos , así como atractores de puntos (ver Hofbauer y Sigmund). Al igual que con cualquier conjunto de EDO, los puntos fijos se pueden encontrar configurando$${\ displaystyle dx_ {i} / dt} a 0 para todo i, que da, si no hay especies extintas, es decir, si $${\ displaystyle x_ {i} \ neq 0} para todos $${\ displaystyle i},

$${\ displaystyle \ mathbf {x} = -A ^ {- 1} \ mathbf {r}.}

Esto puede o no tener valores positivos para todos los $${\ displaystyle x_ {i}}; si no lo hace, entonces no hay un atractor estable para el cual las poblaciones de todas las especies sean positivas. Si hay un punto fijo con todas las poblaciones positivas, puede o no ser estable ; si es inestable, puede haber o no un atractor periódico o caótico para el cual todas las poblaciones permanezcan positivas. En cualquier caso, también puede haber atractores para los cuales algunas de las poblaciones son cero y otras son positivas. $${\ displaystyle \ mathbf {x} = (0,0, \ dots 0)}Siempre es un punto fijo, correspondiente a la ausencia de todas las especies. por$${\ displaystyle n = 2}especies, una clasificación completa de esta dinámica, para todos los patrones de signos de los coeficientes anteriores, está disponible, ^[3] que se basa en la equivalencia de la ecuación del replicador de 3 tipos .

Vistas alternativas [ editar ]

Una alternativa creíble y simple al modelo de depredador-presa Lotka-Volterra y sus generalizaciones dependientes de presas comunes es la relación dependiente o el modelo de Arditi-Ginzburg . ^[4] Los dos son los extremos del espectro de los modelos de interferencia de depredadores. Según los autores de la visión alternativa, los datos muestran que las verdaderas interacciones en la naturaleza están tan lejos del extremo de Lotka-Volterra en el espectro de interferencia que el modelo puede simplemente descartarse como incorrecto. Están mucho más cerca del extremo dependiente de la proporción, por lo que si se necesita un modelo simple, se puede usar el modelo de Arditi-Ginzburg como primera aproximación.

desviación geodésica describe la tendencia de los objetos a acercarse o retroceder unos de otros mientras se mueve bajo la influencia de un campo gravitacional que varía espacialmente . Dicho de otra manera, si dos objetos se ponen en movimiento a lo largo de dos trayectorias inicialmente paralelas, la presencia de una fuerza gravitacional de marea hará que las trayectorias se inclinen una hacia la otra, produciendo una aceleración relativa entre los objetos. ^[1]

Matemáticamente, la fuerza de marea en la relatividad general está descrita por el tensor de curvatura de Riemann , ^[1] y la trayectoria de un objeto únicamente bajo la influencia de la gravedad se denomina geodésica . La ecuación de desviación geodésica relaciona el tensor de curvatura de Riemann con la aceleración relativa de dos geodésicas vecinas. En geometría diferencial , la ecuación de desviación geodésica se conoce más comúnmente como la ecuación de Jacobi .

Definición matemática [ editar ]

Para cuantificar la desviación geodésica, se comienza configurando una familia de geodésicas estrechamente espaciadas indexadas por una variable continua s y parametrizadas por un parámetro afín τ. Es decir, para cada s fija , la curva barrida por γ _s (τ), ya que τ varía, es una geodésica. Cuando se considera la geodésica de un objeto masivo, a menudo es conveniente elegir τ para que sea el momento adecuado del objeto . Si x ^μ ( s , τ) son las coordenadas de la geodésica γ _s (τ), entonces el vector tangente de esta geodésica es

$${\ displaystyle T ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial x ^ {\ mu} (s, \ tau)} {\ partial \ tau}}.}

Si τ es el tiempo adecuado, entonces T ^μ es la velocidad de cuatro del objeto que viaja a lo largo de la geodésica.

También se puede definir un vector de desviación , que es el desplazamiento de dos objetos que viajan a lo largo de dos geodésicas separadas infinitesimalmente:

$${\ displaystyle X ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial x ^ {\ mu} (s, \ tau)} {\ partial s}}.}

La aceleración relativa A ^μ de los dos objetos se define, aproximadamente, como la segunda derivada del vector de separación X ^{μ a} medida que los objetos avanzan a lo largo de sus respectivas geodésicas. Específicamente, A ^μ se encuentra al tomar el derivado covariante direccional de X a lo largo de T dos veces:

$${\ displaystyle A ^ {\ mu} = T ^ {\ alpha} \ nabla _ {\ alpha} (T ^ {\ beta} \ nabla _ {\ beta} X ^ {\ mu}).}

La ecuación de desviación geodésica se relaciona con A ^μ , T ^μ , X ^μ y el tensor de Riemann R ^μ _νρσ : ^[2]

$${\ displaystyle A ^ {\ mu} = {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ {\ nu} T ^ {\ rho} X ^ {\ sigma}.}

Una notación alternativa para el derivado covariante direccional. $${\ displaystyle T ^ {\ alpha} \ nabla _ {\ alpha}} es $${\ displaystyle D / d \ tau}, por lo que la ecuación de desviación geodésica también se puede escribir como

$${\ displaystyle {\ frac {D ^ {2} X ^ {\ mu}} {d \ tau ^ {2}}} = {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ { \ nu} T ^ {\ rho} X ^ {\ sigma}.}

La ecuación de desviación geodésica se puede derivar de la segunda variación de la partícula puntual Lagrangian a lo largo de las geodésicas, o de la primera variación de un Lagrangian combinado. ^{[ aclaración necesaria ]} El enfoque lagrangiano tiene dos ventajas. En primer lugar, permite aplicar varios enfoques formales de cuantificación al sistema de desviación geodésica. En segundo lugar, permite que la desviación se formule para objetos mucho más generales que las geodésicas (cualquier sistema dinámico que tenga un momento indexado de espacio-tiempo parece tener una generalización correspondiente de la desviación geodésica). ^{[ cita requerida ]}

Límite de campo débil [ editar ]

La conexión entre la desviación geodésica y la aceleración de la marea se puede ver más explícitamente al examinar la desviación geodésica en el límite del campo débil , donde la métrica es aproximadamente Minkowski, y se asume que las velocidades de las partículas de prueba son mucho menores que c . Entonces el vector tangente T ^μ es aproximadamente (1, 0, 0, 0); es decir, solo el componente de tiempo es distinto de cero.

Las componentes espaciales de la aceleración relativa son dadas por

$${\ displaystyle A ^ {i} = - {R ^ {i}} _ {0j0} X ^ {j},}

donde i y j se ejecutan solo sobre los índices espaciales 1, 2 y 3.

En el caso particular de una métrica correspondiente al potencial newtoniano Φ ( x , y , z ) de un objeto masivo en x = y = z = 0, tenemos

$${\ displaystyle {R ^ {i}} _ {0j0} = - {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial x ^ {i} \ parcial x ^ {j}}},}

que es el tensor tidal del potencial newtoniano.