ECUACIONES

 las ecuaciones de rotación de Euler son una ecuación diferencial ordinaria vectorial cuasilínea de primer orden que describe la rotación de un cuerpo rígido , utilizando un marco de referencia giratorio con sus ejes fijos al cuerpo y paralelos a los ejes de inercia principales del cuerpo . Su forma general es:

$${\ displaystyle \ mathbf {I} {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M}.}

donde M es los pares de torsión aplicados , I es la matriz de inercia y ω es la velocidad angular sobre los ejes principales.

En 3D las coordenadas ortogonales principales , se convierten en:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} I_ {1} {\ dot {\ omega}} _ {1} + (I_ {3} -I_ {2}) \ omega _ {2} \ omega _ {3} & = M_ {1} \\ I_ {2} {\ punto {\ omega}} _ {2} + (I_ {1} -I_ {3}) \ omega _ {3} \ omega _ {1} & = M_ {2} \\ I_ {3} {\ dot {\ omega}} _ {3} + (I_ {2} -I_ {1}) \ omega _ {1} \ omega _ {2} & = M_ {3 } \ end {alineado}}}

donde M _k son los componentes de los pares de torsión aplicados, I _k son los principales momentos de inercia y ω _k son los componentes de la velocidad angular en torno a los ejes principales.

La motivación y derivación [ editar ]

A partir de la segunda ley de Newton , en un marco de referencia inercial (subíndice "en"), la derivada temporaldel momento angular L es igual al par aplicado

$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L} _ {\ text {in}}} {dt}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {d} {dt }} \ left (\ mathbf {I} _ {\ text {in}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M} _ {\ text {in}}}

donde I _en es el momento de inercia del tensor calculado en el marco de inercia. Aunque esta ley es universalmente cierta, no siempre es útil para resolver el movimiento de un cuerpo rígido giratorio general, ya que tanto I _in como ω pueden cambiar durante el movimiento.

Por lo tanto, cambiamos a un marco de coordenadas fijo en el cuerpo giratorio, y elegido de modo que sus ejes estén alineados con los ejes principales del momento del tensor de inercia . En este cuadro, al menos el momento del tensor de inercia es constante (y diagonal), lo que simplifica los cálculos. Como se describe en el momento de inercia , el momento angular L puede escribirse

$${\ displaystyle \ mathbf {L} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ L_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + L_ {2} \ mathbf {e} _ {2 } + L_ {3} \ mathbf {e} _ {3} = I_ {1} \ omega _ {1} \ mathbf {e} _ {1} + I_ {2} \ omega _ {2} \ mathbf {e } _ {2} + I_ {3} \ omega _ {3} \ mathbf {e} _ {3}}

donde M _k , I _k y ω _k son los anteriores.

En un marco de referencia giratorio , la derivada de tiempo debe reemplazarse por (vea la derivada de tiempo en el marco de referencia giratorio )

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \ right) _ {\ mathrm {rot}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L} = \ mathbf {M}}

donde el subíndice "rot" indica que se toma en el marco de referencia giratorio. Las expresiones para el par de torsión en los marcos giratorios e inerciales están relacionadas por

$${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ text {in}} = \ mathbf {Q} \ mathbf {M},}

donde Q es el tensor de rotación (no la matriz de rotación ), un tensor ortogonal relacionado con el vector de velocidad angular mediante

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {v}} = {\ dot {\ mathbf {Q}}} \ mathbf {Q} ^ {- 1} {\ boldsymbol {v}}}

para cualquier vector v .

En general, L = Iω se sustituye y las derivadas de tiempo se toman al darse cuenta de que el tensor de inercia, y también los momentos principales, no dependen del tiempo. Esto conduce a la forma vectorial general de las ecuaciones de Euler.

$${\ displaystyle \ mathbf {I} {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M}.}

Si la rotación del eje principal

$${\ displaystyle L_ {k} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ I_ {k} \ omega _ {k}}

se sustituye, y luego tomando el producto cruzado y utilizando el hecho de que los momentos principales no cambian con el tiempo, llegamos a las ecuaciones de Euler en los componentes al comienzo del artículo.

Soluciones sin par [ editar ]

Para los RHS iguales a cero, existen soluciones no triviales: precesión sin par . Observe que si I es constante (porque el tensor de inercia es la matriz de identidad 3 × 3 , porque trabajamos en el marco intrínseco o porque el par impulsa la rotación alrededor del mismo eje)$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}para que no esté cambiando) entonces podemos escribir

$${\ displaystyle \ mathbf {M} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ I {\ frac {d \ omega} {dt}} \ mathbf {\ hat {n}} = I \ alpha \, \ mathbf {\ hat {n}}}

dónde

α se llama aceleración angular (o aceleración rotacional ) sobre el eje de rotación$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}.

Sin embargo, si I no es constante en el marco de referencia externo (es decir, el cuerpo se está moviendo y su tensor de inercia no es la identidad), no podemos tomar el I fuera de la derivada . En este caso, tendremos una precesión sin par , de tal manera que I ( t ) y ω ( t ) cambien juntos de modo que su derivada sea cero. Este movimiento puede ser visualizado por la construcción de Poinsot .

Generalizaciones [ editar ]

También es posible usar estas ecuaciones si los ejes en los cuales

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \ right) _ {\ mathrm {relativo}}}

Se describe que no están conectados al cuerpo. Entonces ω debe reemplazarse con la rotación de los ejes en lugar de la rotación del cuerpo. Sin embargo, todavía es necesario que los ejes elegidos sigan siendo los ejes principales de inercia. Esta forma de las ecuaciones de Euler es útil para objetos simétricos de rotación que permiten elegir libremente algunos de los ejes principales de rotación.

Las ecuaciones de Faddeev , nombradas en honor a su inventor Ludvig Faddeev , son ecuaciones que describen, a la vez, todos los intercambios / interacciones posibles en un sistema de tres partículas en una formulación mecánica completamente cuántica . Se pueden resolver de forma iterativa .

En general, las ecuaciones de Faddeev necesitan como entrada un potencial que describa la interacción entre dos partículas individuales. También es posible introducir un término en la ecuación para tener en cuenta también las fuerzas de tres cuerpos .

Las ecuaciones de Faddeev son las formulaciones no perturbativas más utilizadas del problema de la mecánica cuántica de tres cuerpos. A diferencia del problema de los tres cuerpos en la mecánica clásica , el problema cuántico de los tres cuerpos es uniformemente soluble.

En física nuclear , se ha estudiado la interacción de la capa de energía nucleon-nucleon mediante el análisis de las reacciones (n, 2n) y (p, 2p) en objetivos de deuterio , utilizando las ecuaciones de Faddeev. La interacción nucleón-nucleón se expande (se aproxima) como una serie de potenciales separables. La interacción de Coulomb entre dos protones es un problema especial, ya que su expansión en los potenciales separables no converge, pero esto se maneja al hacer coincidir las soluciones de Faddeev con las soluciones de Coulomb de largo alcance, en lugar de a las ondas planas .

Los potenciales separables son interacciones que no preservan la ubicación de una partícula. Los potenciales locales ordinarios se pueden expresar como sumas de potenciales separables. No se espera que la interacción física nucleón-nucleón, que implica el intercambio de mesones , sea local o separable.

La ecuación de Fenske en la destilación fraccionada continua es una ecuación utilizada para calcular el número mínimo de placas teóricasrequeridas para la separación de una corriente de alimentación binaria mediante una columna de fraccionamiento que se opera a reflujo total (es decir, lo que significa que no hay destilado del producto de cabeza). siendo retirado de la columna).

La ecuación fue derivada en 1932 por Merrell Fenske, ^[1] un profesor que se desempeñó como jefe del departamento de ingeniería química en la Universidad Estatal de Pennsylvania desde 1959 hasta 1969. ^[2]

Cuando se diseñan torres de destilación industriales continuas a gran escala, es muy útil calcular primero el número mínimo de placas teóricas necesarias para obtener la composición del producto deseada.

Versiones comunes de la ecuación de Fenske [ editar ]

Esta es una de las muchas versiones diferentes pero equivalentes de la ecuación de Fenske, válida solo para mezclas binarias: ^{[3] [4] [5] [6] [7]}

$${\ displaystyle \ N = {\ frac {\ log \, {\ bigg [} {\ Big (} {\ frac {X_ {d}} {1-X_ {d}}} {\ Big)} {\ Big (} {\ frac {1-X_ {b}} {X_ {b}}} {\ Big)} {\ bigg]}} {\ log \, \ alpha _ {avg}}}}

dónde:

• $${\ displaystyle N} es el número mínimo de placas teóricas requeridas a reflujo total (de las cuales el recalentador es uno),
• $${\ displaystyle X_ {d}}  es la fracción molar de componente más volátil en el destilado de cabeza,
• $${\ displaystyle X_ {b}}  es la fracción molar de componente más volátil en los fondos,
• $${\ displaystyle \ alpha _ {avg}}  es la volatilidad relativa promedio del componente más volátil al componente menos volátil.

Para una mezcla de múltiples componentes se mantiene la siguiente fórmula. Para facilitar la expresión, los componentes más volátiles y menos volátiles se conocen comúnmente como la tecla ligera (LK) y la tecla pesada (HK), respectivamente. Usando esa terminología, la ecuación anterior se puede expresar como: ^[4]

$${\ displaystyle \ N = {\ frac {\ log \, {\ bigg [} {\ Big (} {\ frac {LK_ {d}} {HK_ {d}}} {\ Big)} {\ Big (} {\ frac {HK_ {b}} {LK_ {b}}} {\ Big)} {\ bigg]}} {\ log \, \ alpha _ {avg}}}}

o también:

$${\ displaystyle \ N = {\ frac {\ log \, {\ bigg [} {\ Big (} {\ frac {LK_ {d}} {1-LK_ {d}}} {\ Big)} {\ Big (} {\ frac {1-LK_ {b}} {LK_ {b}}} {\ Big)} {\ bigg]}} {\ log \, \ alpha _ {avg}}}}

Si la volatilidad relativa de la tecla ligera a la tecla pesada es constante desde la parte superior de la columna hasta la parte inferior de la columna, entonces$${\ displaystyle \ alpha _ {avg.}} es simple $${\ displaystyle \ alpha}. Si la volatilidad relativa no es constante de arriba a abajo de la columna, se puede usar la siguiente aproximación: ^[3]

$${\ displaystyle \ alpha _ {prom.} = {\ sqrt {(\ alpha _ {t}) (\ alpha _ {b})}}}

dónde:

• $${\ displaystyle \ alpha _ {t}} es la volatilidad relativa de la clave ligera a la clave pesada en la parte superior de la columna,
• $${\ displaystyle \ alpha _ {b}} es la volatilidad relativa de la tecla ligera a la tecla pesada en la parte inferior de la columna.

Las formas anteriores de la ecuación de Fenske pueden modificarse para su uso en la destilación por reflujo total de alimentaciones de múltiples componentes. ^[6] También es útil para resolver problemas de extracción líquido-líquido , porque un sistema de extracción también puede representarse como una serie de etapas de equilibrio y la solubilidad relativa puede sustituirse por una volatilidad relativa.

Otra forma de la ecuación de Fenske [ editar ]

Una derivación de otra forma de la ecuación de Fenske para su uso en cromatografía de gases está disponible en el sitio web de la Academia Naval de los Estados Unidos . Usando la ley de Raoult y la Ley de Dalton para una serie de ciclos de condensación y evaporación (es decir, etapas de equilibrio ), se obtiene la siguiente forma de la ecuación de Fenske:

$${\ displaystyle \ {\ frac {Z_ {a}} {Z_ {b}}} = {\ frac {X_ {a}} {X_ {b}}} \ left ({\ frac {P_ {a} ^ { 0}} {P_ {b} ^ {0}}} \ right) ^ {N}}

dónde:

• $${\ displaystyle N}  es el número de etapas de equilibrio,
• $${\ displaystyle Z_ {n}}  es la fracción molar del componente n en la fase de vapor,
• $${\ displaystyle X_ {n}}  es la fracción molar del componente n en la fase líquida,
• $${\ displaystyle {P_ {n} ^ {0}}}  Es la presión de vapor del componente puro n.

ecuación de Fisher en las matemáticas financieras y la economía estima la relación entre nominales y reales las tasas de interés en virtud de la inflación . Lleva el nombre de Irving Fisher , quien fue famoso por sus trabajos sobre la teoría del interés . En finanzas , la ecuación de Fisher se usa principalmente en los cálculos de bonos YTM o en los cálculos de inversiones de IRR . En economía, esta ecuación se usa para predecir el comportamiento de la tasa de interés nominal y real.

Dejando que r denote la tasa de interés real , yo denote la tasa de interés nominal , y si π denota la tasa de inflación , la ecuación de Fisher es:

$${\ displaystyle i \ approx r + \ pi}

Esta es una aproximación lineal , pero como aquí, a menudo se escribe como una igualdad:

$${\ displaystyle i = r + \ pi}

La ecuación de Fisher se puede utilizar en el análisis ex ante (antes) o ex post (después). A posteriori, se puede utilizar para describir el poder de compra real de un préstamo:

$${\ displaystyle r = i- \ pi}

Reorganizada en una ecuación de Fisher aumentada de expectativas y dada una tasa de rendimiento real deseada y una tasa de inflación π ^e (con el superíndice e que significa "esperado") durante el período de un préstamo, puede utilizarse como una versión ex ante para Decidir sobre la tasa nominal que se debe cobrar por el préstamo:

$${\ displaystyle i = r + \ pi ^ {e}}

Esta ecuación existía antes de Fisher, ^{[1] [2] [3]} pero Fisher propuso una mejor aproximación que se da a continuación. La aproximación se puede derivar de la ecuación exacta:

$${\ displaystyle 1 + i = (1 + r) (1+ \ pi).}

Derivación [ editar ]

Aunque a veces se omiten los subíndices de tiempo, la intuición detrás de la ecuación de Fisher es la relación entre las tasas de interés nominal y real, a través de la inflación , y el cambio porcentual en el nivel de precios entre dos períodos de tiempo. Entonces, supongamos que alguien compra un bono de $ 1 en el período t,mientras que la tasa de interés es i _t . Si se canjea en el período t + 1 , el comprador recibirá (1 + i _t ) dólares. Sin embargo, si se anticipa que la tasa de inflación en t + 1 será π _t +1 , entonces el valor presente de los ingresos del bono es (1 + i _t) / (1 + π _t +1 ) , que es equivalente al crecimiento real en t + 1 dado por (1 + r _t +1 ). Por lo tanto,

$${\ displaystyle (1 + r_ {t + 1}) = {\ frac {1 + i_ {t}} {1+ \ pi _ {t + 1}}}}

Desde aquí se puede resolver el tipo de interés nominal.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 1 + i_ {t} & = \ left (1 + r_ {t + 1} \ right) \ left (1+ \ pi _ {t + 1} \ right) \\ & = 1 + r_ {t + 1} + \ pi _ {t + 1} + r_ {t + 1} \ pi _ {t + 1} \ end {alineado}}}

Por lo tanto,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} i_ {t} & = r_ {t + 1} + \ pi _ {t + 1} + r_ {t + 1} \ pi _ {t + 1} \\ & \ approx r_ {t + 1} + \ pi _ {t + 1} \ end {alineado}}}

La última línea se deduce del supuesto de que tanto las tasas de interés reales como la tasa de inflación son bastante pequeñas, (quizás del orden de varios porcentajes, aunque esto depende de la aplicación), por lo tanto, r _t +1 + π _t +1 es mucho mayor que r _t +1  π _t +1 y así r _t +1  π _t +1 se puede eliminar.

Más formalmente, esta aproximación lineal se da utilizando dos expansiones de Taylor de primer orden , a saber:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {1} {1 + x}} & \ approx 1-x, \\ (1 + x) (1 + y) & \ approx 1 + x + y. \ fin {alineado}}}

Combinando estos se obtiene la aproximación:

$${\ displaystyle 1 + r = {\ frac {1 + i} {1+ \ pi}} \ approx (1 + i) (1- \ pi) \ approx 1 + i- \ pi,}

y por lo tanto

$${\ displaystyle r \ approx i- \ pi.}

Estas aproximaciones, válidas solo para pequeños cambios, pueden ser reemplazadas por igualdades, válidas para cualquier cambio de tamaño, si se usan unidades logarítmicas .

Ejemplo [ editar ]

La tasa de rendimiento de mercado del 4,25% del bono del gobierno del Reino Unido con vencimiento el 8 de marzo de 2050 es del 3,81% anual. Supongamos que esto se puede desglosar en una tasa real de exactamente 2% y una prima de inflación de 1.775% (sin prima de riesgo, ya que se considera que los bonos del gobierno están "libres de riesgo"):

1,02 × 1,01775 = (1 + 0,02) × (1 + 0,01775) = 1.0381.

Este artículo implica que puede ignorar el término menos significativo en la expansión ( 0.02 × 0.01775 = 0.00035 o 0.035% ) y simplemente llamar a la tasa de rendimiento nominal 3.775%, con el argumento de que es casi igual al 3.81%.

A una tasa de rendimiento nominal de 3.81% por año, el valor del bono es de £ 107.84 por £ 100 nominal. A una tasa de rendimiento de 3.775% por año, el valor es de £ 108.50 por £ 100 nominales, o 66p más.

El tamaño promedio de las transacciones reales en este bono en el mercado en el último trimestre de 2005 fue de £ 10 millones. Entonces, una diferencia en el precio de 66p por £ 100 se traduce en una diferencia de £ 66,000 por transacción.

Aplicaciones [ editar ]

Análisis costo-beneficio [ editar ]

Según lo detallado por Steve Hanke , Philip Carver y Paul Bugg (1975), ^{[4] el} análisis de costo-beneficio puede distorsionarse mucho si no se aplica la ecuación de Fisher exacta. Los precios y las tasas de interés deben proyectarse en términos reales o nominales.

Para fines de análisis de costo-beneficio, la inflación se puede manejar de dos maneras de manera consistente. Primero, al calcular el valor presente de los beneficios netos esperados, los precios y las tasas de interés pueden calcularse en términos reales. Es decir, no se incluyen componentes inflacionarios en los precios ni en las tasas de interés. El segundo enfoque incluye la inflación tanto en el precio como en los cálculos de la tasa de interés; Los cálculos se realizan en términos nominales. Como se detalla a continuación, ambos enfoques son equivalentes siempre que los precios y las tasas de interés se proyecten en términos reales, o ambos se proyecten en términos nominales.

Por ejemplo, suponga que Z _i representa los beneficios netos esperados no descontados al final del año t , evaluados a precios constantes, y R _t , I _t y r _t son la tasa de interés real, la tasa de inflación esperada y el Tipo de interés nominal para el año t , t = 1, ..., n , respectivamente. El valor presente de los beneficios netos esperados PVNB está dado por

$${\ displaystyle {\ text {PVNB}} = {\ frac {Z_ {1}} {1 + R_ {1}}} + {\ frac {Z_ {2}} {(1 + R_ {1}) (1 + R_ {2})}} + \ cdots + {\ frac {Z_ {n}} {(1 + R_ {1}) \ cdots (1 + R_ {n})}}}

donde no se incluyen componentes de inflación ni en los precios ni en la tasa de interés. Alternativamente, el valor presente de los beneficios netos esperados está dado por

$${\ displaystyle {\ text {PVNB}} = {\ frac {Z_ {1} (1 + I_ {1})} {1 + r_ {1}}} + {\ frac {Z_ {2} (1 + I_ {1}) (1 + I_ {2})} {(1 + r_ {1}) (1 + r_ {2})}} + \ cdots + {\ frac {Z_ {n} (1 + I_ {1 }) \ cdots (1 + I_ {n})} {(1 + r_ {1}) \ cdots (1 + r_ {n})}}}

oa través de la relación dictada por la ecuación exacta de Fisher

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ text {PVNB}} & = {\ frac {Z_ {1} (1 + I_ {1})} {(1 + R_ {1}) (1 + I_ {1 })}} + {\ frac {Z_ {2} (1 + I_ {1}) (1 + I_ {2})} {(1 + R_ {1}) (1 + R_ {2}) (1+ I_ {1}) (1 + I_ {2})}} + \ cdots \\ [8pt] & {} \ qquad \ cdots + {\ frac {Z_ {n} (1 + I_ {1}) \ cdots ( 1 + I_ {n})} {(1 + R_ {1}) \ cdots (1 + R_ {n}) (1 + I_ {1}) \ cdots (1 + I_ {n})}} \ end { alineado}}}

Al observar las ecuaciones anteriores, está claro que el valor presente de los beneficios netos derivados de cualquiera de las ecuaciones será idéntico. Esto alivia cualquier pregunta sobre si realizar un análisis de costo-beneficio en términos de precios constantes o nominales.

Bonos indexados a la inflación [ editar ]

La ecuación de Fisher tiene implicaciones importantes en la negociación de bonos indexados a la inflación , donde los cambios en los pagos de cupones son el resultado de cambios en la inflación de equilibrio, las tasas de interés reales y las tasas de interés nominales. ^{[ cita requerida ]}

La política monetaria [ editar ]

La ecuación de Fisher desempeña un papel clave en la hipótesis de Fisher , que afirma que la tasa de interés real no se ve afectada por la política monetaria y, por lo tanto, no se ve afectada por la tasa de inflación esperada. Con una tasa de interés real fija, un cambio porcentual dado en la tasa de inflación esperada, según la ecuación, se logrará necesariamente con un cambio porcentual igual en la tasa de interés nominal en la misma dirección.