GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

la geometría continua es un análogo de la geometría proyectiva compleja introducida por von Neumann  ( 1936 , 1998 ), donde en lugar de la dimensión de un subespacio en un conjunto discreto 0, 1, ..., n , puede ser un elemento de la unidad de intervalo [0,1]. Von Neumann fue motivado por su descubrimiento de álgebras de von Neumann con una función de dimensión que tomaba un rango continuo de dimensiones, y el primer ejemplo de una geometría continua distinta del espacio proyectivo fueron las proyecciones del factor hiperfinito tipo II .

Definición [ editar ]

Menger y Birkhoff dieron axiomas para la geometría proyectiva en términos de la red de subespacios lineales del espacio proyectivo. Los axiomas de Von Neumann para geometría continua son una forma debilitada de estos axiomas.

Una geometría continua es una celosía L con las siguientes propiedades

• L es modular .
• L está completa .
• Las operaciones de celosía ∧, ∨ satisfacen una cierta propiedad de continuidad,

  $${\ displaystyle (\ bigwedge _ {\ alpha \ in A} a _ {\ alpha}) \ lor b = \ bigwedge _ {\ alpha} (a _ {\ alpha} \ lor b)}, donde A es un conjunto dirigido y si α < β entonces a _α < a _β , y la misma condición con ∧ y ∨ invertidos.

• Cada elemento en L tiene un complemento (no necesariamente único). Un complemento de un elemento de una es un elemento b con un ∧ b = 0 , un ∨ b = 1 , en donde 0 y 1 son los elementos mínimos y máximos de L.
• L es irreductible: esto significa que los únicos elementos con complementos únicos son 0 y 1.

Ejemplos [ editar ]

• El espacio proyectivo complejo de dimensión finita, o más bien su conjunto de subespacios lineales, es una geometría continua, con dimensiones que toman valores en el conjunto discreto {0, 1 / n , 2 / n , ..., 1}
• Las proyecciones de un álgebra de von Neumann finito de tipo II forman una geometría continua con dimensiones que toman valores en el intervalo unitario [0,1].
• Kaplansky (1955) demostró que cualquier retícula modular completa ortocomplementada es una geometría continua.
• Si V es un espacio vectorial sobre un campo (o anillo de división ) F , entonces hay un mapa natural de la red PG ( V ) de los subespacios de V a la red de los subespacios de V ⊗ F ² que multiplica las dimensiones por 2. Así que podemos tomar un límite directo de

$${\ displaystyle PG (F) \ subconjunto PG (F ^ {2}) \ subconjunto PG (F ^ {4}) \ subconjunto PG (F ^ {8}) \ cdots}

Esto tiene una función de dimensión que toma valores todos los racionales diádicos entre 0 y 1. Su finalización es una geometría continua que contiene elementos de cada dimensión en [0,1]. Esta geometría fue construida por von Neumann (1936b) , y se llama la geometría continua sobre "F"

Dimensión [ editar ]

Esta sección resume algunos de los resultados de von Neumann (1998 , Parte I). Estos resultados son similares a, y fueron motivados por, el trabajo de von Neumann sobre proyecciones en álgebras de von Neumann.

Dos elementos a y b de L se llaman perspectiva , escritos a ∼ b , si tienen un complemento común. Esta es una relación de equivalencia en L ; La prueba de que es transitiva es bastante dura.

Las clases de equivalencia A , B , ... de L tienen un orden total definido por A ≤ B si hay alguna a en A y b en Bcon a ≤ b . (Esto no es necesario para todos a en A y b en B ).

La función de dimensión D desde L hasta el intervalo de la unidad se define de la siguiente manera.

• Si las clases de equivalencia A y B contienen elementos a y b con a ∧ b = 0 , su suma A + B se define como la clase de equivalencia de a ∨ b . De lo contrario, la suma A + B no está definida. Para un entero positivo n , el producto nA se define como la suma de n copias de A , si se define esta suma.
• Para las clases de equivalencia A y B con A no {0}, el entero [ B  : A ] se define como el entero único n ≥ 0 , de manera que B = nA + C con C < B .
• Para las clases de equivalencia A y B con A no {0}, el número real ( B  : A ) se define como el límite de [ B  : C ] / [ A  : C ], ya que C se ejecuta a través de una secuencia mínima: esto significa que C contiene un elemento mínimo distinto de cero, o una secuencia infinita de elementos distintos de cero, cada uno de los cuales es a lo sumo la mitad del anterior.
• D ( a ) se define como ({ a }: {1}) , donde { a } y {1} son las clases de equivalencia que contienen a y 1.

La imagen de D puede ser el intervalo de la unidad completa, o el conjunto de números 0, 1 / n , 2 / n , ..., 1 para algún entero positivo n . Dos elementos de L tienen la misma imagen debajo de D si y solo si son en perspectiva, por lo que se administra una inyección de las clases de equivalencia a un subconjunto del intervalo de la unidad. La función de dimensión D tiene las propiedades:

• Si a < b entonces D ( a ) < D ( b )
• D ( a ∨ b ) + D ( a ∧ b ) = D ( a ) + D ( b )
• D ( a ) = 0 si y solo si a = 0 , y D ( a ) = 1 si y solo si a = 1
• 0 ≤ D ( a ) ≤ 1

Coordinatization teorema [ editar ]

En geometría proyectiva, el teorema de Veblen-Young afirma que una geometría proyectiva de dimensión al menos 3 es isomorfa a la geometría proyectiva de un espacio vectorial sobre un anillo de división. Esto se puede reafirmar diciendo que los subespacios en la geometría proyectiva corresponden a los ideales correctos principales de un álgebra matricial sobre un anillo de división.

Neumann generalizó esto a geometrías continuas, y más generalmente a celosías modulares complementadas, como sigue ( Neumann 1998 , Parte II). Su teorema establece que si una red modular L complementada tiene orden ^{[ cuando se define como? ]} al menos 4, entonces los elementos de L corresponden a los ideales de derecho principales de un anillo regular de von Neumann . Más precisamente si la red tiene un orden n, entonces el anillo regular de von Neumann puede tomarse como un anillo de matriz n por n M _n ( R ) sobre otro anillo regular de von Neumann R. Aquí una celosía modular complementado tiene orden n si tiene una base homogénea de nelementos, donde una base es n elementos un ₁ , ..., un _n de tal manera que un _i ∧ un _j = 0 si i ≠ j , y un ₁ ∨ ... ∨ a _n = 1, y una base se llama homogénea si cualquiera de los dos elementos es perspectiva. El orden de una celosía no tiene por qué ser único; por ejemplo, cualquier red tiene orden 1. La condición de que la red tenga orden al menos 4 corresponde a la condición de que la dimensión es al menos 3 en el teorema de Veblen-Young, ya que un espacio proyectivo tiene dimensión al menos 3 si y solo si Tiene un conjunto de al menos 4 puntos independientes.

Por el contrario, los ideales correctos principales de un anillo regular de von Neumann forman una red modular complementaria ( Neumann 1998 , Parte II teorema 2.4).

Supongamos que R es un anillo regular de Von Neumann y L su red de ideales correctos principales, de modo que L es una red modular complementaria. Neumann demostró que L es una geometría continua si y solo si R es un anillo de rango completo irreducible .

correlación es una transformación de un espacio proyectivo d- dimensional que mapea subespacios de dimensión k a subespacios de dimensión d - k - 1 , invirtiendo la inclusión y preservando la incidencia . Las correlaciones también se llaman reciprocidades o transformaciones recíprocas .

En dos dimensiones [ editar ]

En el plano proyectivo real , los puntos y las líneas son duales entre sí. Según lo expresado por Coxeter,

Una correlación es una transformación punto a línea y una línea a punto que preserva la relación de incidencia de acuerdo con el principio de dualidad. De este modo, transforma los rangos en lápices , los lápices en rangos, los cuadriláteros en cuadriláteros, y así sucesivamente. ^[1]

Dada una línea m y P un punto no en m , una correlación elemental se obtiene como sigue: por cada Q en mformar la línea PQ . La correlación inversa comienza con el lápiz en P : para cualquier línea q en este lápiz, tome el punto m ∩ q . La composición de dos correlaciones que comparten el mismo lápiz es una perspectividad .

En tres dimensiones [ editar ]

En un espacio proyectivo tridimensional, una correlación mapea un punto a un plano . Como se indica en un libro de texto: ^[2]

Si κ es una correlación de este tipo, cada punto P se transforma en un plano π ′ = κP y, a la inversa, cada punto P surge de un plano único π ′ por la transformación inversa κ ⁻¹ .

Las correlaciones tridimensionales también transforman las líneas en líneas, por lo que pueden considerarse colinciones de los dos espacios.

En dimensiones superiores [ editar ]

En general , el espacio proyectivo n- dimensional, una correlación lleva un punto a un hiperplano . Este contexto fue descrito por Paul Yale:

Una correlación del espacio proyectivo P ( V ) es una permutación reversa de inclusión de los subespacios adecuados de P ( V ). ^[3]

Demuestra un teorema que indica que una correlación φ intercambia juntas e intersecciones, y para cualquier subespacio proyectivo W de P ( V ), la dimensión de la imagen de W debajo de φ es ( n - 1) - dim W , donde n es la dimensión del espacio vectorial V utilizado para producir el espacio proyectivo P ( V ).

Existencia de correlaciones [ editar ]

Las correlaciones solo pueden existir si el espacio es auto-dual. Para las dimensiones 3 y superiores, la auto-dualidad es fácil de probar: existe un campo de coordinación coordinado y la auto-dualidad falla si y solo si el campo de skew no es isomorfo a su opuesto.

Tipos especiales de correlaciones [ editar ]

Polaridad [ editar ]

Si una correlación φ es una involución (es decir, dos aplicaciones de la correlación es igual a la identidad: φ ² ( P ) = P para todos los puntos P ), entonces se llama polaridad . Las polaridades de los espacios proyectivos conducen a espacios polares , que se definen tomando la colección de todos los subespacios que están contenidos en su imagen bajo la polaridad.

Correlación Natural [ editar ]

Existe una correlación natural, inducida entre un espacio proyectivo P ( V ) y su doble P ( V ^* ) por la pareja natural ⟨⋅, ⋅⟩ entre los espacios vectoriales subyacentes V y su dual V ^* , donde cada subespacio W de V ^* se asigna a su complemento ortogonal W ^⊥ en V , definido como W ^⊥ = { v ∈ V | ⟨ W , v ⟩ = 0, ∀ w ∈W }. ^[4]

La composición de esta correlación natural con un isomorfismo de espacios proyectivos inducidos por un mapa semilineal produce una correlación de P ( V ) consigo misma. De esta manera, cada mapa semilineal no generado V → V ^∗ induce una correlación de un espacio proyectivo hacia sí mismo.