GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

No debe confundirse con Odds ratio .

Los puntos A , B , C , D y A ′, B ′, C′, D ′ están relacionados por una transformación proyectiva, por lo que sus relaciones cruzadas, ( A , B ; C , D ) y ( A ′, B ′; C ′ , D ′) son iguales.

En geometría , la relación cruzada , también llamada relación doble y proporción anharmónica , es un número asociado con una lista de cuatro puntos colineales , particularmente puntos en una línea proyectiva. Dados cuatro puntos A , B , C y D en una línea, su relación cruzada se define como

$${\ displaystyle (A, B; C, D) = {\ frac {AC \ cdot BD} {BC \ cdot AD}}}

donde una orientación de la línea determina el signo de cada distancia y la distancia se mide como se proyecta en el espacio euclidiano . (Si uno de los cuatro puntos es el punto de la línea en el infinito, entonces las dos distancias que involucran ese punto se eliminan de la fórmula). El punto D es el conjugado armónico de C con respecto a A y Bprecisamente si la relación cruzada de la cuádruple es −1, llamada relación armónica . Por lo tanto, puede considerarse que la relación cruzada mide la desviación cuádruple de esta relación; De ahí el nombre de relación anarmónica .

La relación cruzada se conserva mediante transformaciones fraccionales lineales . Es esencialmente el único invariante proyectivo de un cuádruple de puntos colineales; esto subraya su importancia para la geometría proyectiva .

La relación cruzada había sido definida en la antigüedad profunda, posiblemente ya por Euclid , y fue considerada por Pappus , quien notó su propiedad clave de invariancia. Fue ampliamente estudiado en el siglo XIX. ^[1]

Existen variantes de este concepto para un cuádruple de líneas concurrentes en el plano proyectivo y un cuádruple de puntos en la esfera de Riemann . En el modelo de geometría hiperbólica de Cayley-Klein , la distancia entre puntos se expresa en términos de una cierta relación cruzada.

Terminología e historia [ editar ]

D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B , de modo que la relación cruzada ( A , B ; C , D ) es igual a -1.

Pappus de Alejandría hizo uso implícito de conceptos equivalentes a la relación cruzada en su Colección: Libro VII. Los primeros usuarios de Pappus incluyeron a Isaac Newton , Michel Chasles y Robert Simson . En 1986, Alexander Jones hizo una traducción del original de Pappus, luego escribió un comentario sobre cómo los lemas de Pappus se relacionan con la terminología moderna. ^[2]

El uso moderno de la relación cruzada en la geometría proyectiva comenzó con Lazare Carnot en 1803 con su libro Géométrie de Position . El término utilizado fue le rapport anharmonique (Fr: relación anharmónica). Los geometristasalemanes lo llaman das Doppelverhältnis (relación Ger: doble).

Dados tres puntos en una línea, un cuarto punto que hace que la relación cruzada sea igual a menos uno se llama el conjugado armónico proyectivo . En 1847, Carl von Staudtllamó a la construcción del cuarto punto un Tiro ( Wurf ), y usó la construcción para mostrar aritmética implícita en la geometría. His Algebra of Throws proporciona un acercamiento a las proposiciones numéricas, usualmente tomadas como axiomas, pero probadas en geometría proyectiva. ^[3]

El término inglés "relación cruzada" fue introducido en 1878 por William Kingdon Clifford . ^[4]

Definición [ editar ]

La relación cruzada de un cuádruple de puntos distintos en la línea real con las coordenadas z ₁ ,  z ₂ ,  z ₃ ,  z ₄está dada por

$${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {(z_ {3} -z_ {1}) (z_ {4} -z_ {2} )} {(z_ {3} -z_ {2}) (z_ {4} -z_ {1})}}.}

También se puede escribir como una "proporción doble" de dos relaciones de división de triples de puntos:

$${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {z_ {3} -z_ {1}} {z_ {3} -z_ {2}} }: {\ frac {z_ {4} -z_ {1}} {z_ {4} -z_ {2}}}.}

La relación cruzada normalmente se extiende al caso cuando uno de z ₁ ,  z ₂ ,  z ₃ ,  z ₄ es infinito $${\ displaystyle (\ infty);} Esto se hace eliminando las dos diferencias correspondientes de la fórmula.

Por ejemplo: si $${\ displaystyle z_ {1} = \ infty} la relación cruzada se convierte en:

$${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {(z_ {3} - \ infty) (z_ {4} -z_ {2})} {(z_ {3} -z_ {2}) (z_ {4} - \ infty)}} = {\ frac {(z_ {4} -z_ {2})} {(z_ {3} -z_ {2 })}}.}

En geometría, si A , B , C y D son puntos colineales, la relación cruzada se define de manera similar a

$${\ displaystyle (A, B; C, D) = {\ frac {AC \ cdot BD} {BC \ cdot AD}},}

donde cada una de las distancias se firma de acuerdo con una orientación consistente de la línea.

Las mismas fórmulas se pueden aplicar a cuatro números complejos diferentes o, más generalmente, a elementos de cualquier campo y también se pueden extender al caso cuando uno de ellos es el símbolo ∞, eliminando las dos diferencias correspondientes de la fórmula. La fórmula muestra que la relación cruzada es una función de cuatro puntos, generalmente cuatro números$${\ displaystyle z_ {1}, \ z_ {2}, \ z_ {3}, \ z_ {4}} tomado de un campo.

Propiedades [ editar ]

La relación cruzada de los cuatro puntos colineales A , B , C , D se puede escribir como

$${\ displaystyle (A, B; C, D) = {\ frac {AC} {CB}}: {\ frac {AD} {DB}}}

dónde $${\ displaystyle {\ frac {AC} {CB}}}describe la relación con la cual el punto C divide el segmento de línea AB , y$${\ displaystyle {\ frac {AD} {DB}}}describe la relación con la que el punto D divide ese mismo segmento de línea. La relación cruzada aparece entonces como una relación de relaciones, que describe cómo los dos puntos C , D están situados con respecto al segmento de línea AB . Mientras los puntos A , B , C y D sean distintos, la relación cruzada ( A , B ; C , D ) será un número real distinto de cero. Podemos deducir fácilmente que

• ( A , B ; C , D ) <0 de="" font="" los="" nbsp="" puntos="" si="" solo="" uno="" y="">C , D se encuentra entre los puntos A , B y el otro no
• ( A , B ; C , D ) = 1 / ( A , B ; D , C )
• ( A , B ; C , D ) = ( C , D ; A , B )
• ( A , B ; C , D ) ≠ ( A , B ; C , E ) ↔ D ≠ E

Seis relaciones cruzadas [ editar ]

Cuatro puntos se pueden pedir en 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 maneras, pero solo hay seis formas de particionarlas en dos pares no ordenados. Por lo tanto, cuatro puntos pueden tener solo seis relaciones cruzadas diferentes, que se relacionan como:

$${\ displaystyle (A, B; C, D) = (B, A; D, C) = (C, D; A, B) = (D, C; B, A) = \ lambda}

$${\ displaystyle (A, B; D, C) = (B, A; C, D) = (C, D; B, A) = (D, C; A, B) = {\ frac {1} { \ lambda}}}

$${\ displaystyle (A, C; B, D) = (B, D; A, C) = (C, A; D, B) = (D, B; C, A) = 1- \ lambda}

$${\ displaystyle (A, C; D, B) = (B, D; C, A) = (C, A; B, D) = (D, B; A, C) = {\ frac {1} { 1- \ lambda}}}

$${\ displaystyle (A, D; B, C) = (B, C; A, D) = (C, B; D, A) = (D, A; C, B) = {\ frac {\ lambda - 1} {\ lambda}}}

$${\ displaystyle (A, D; C, B) = (B, C; D, A) = (C, B; A, D) = (D, A; B, C) = {\ frac {\ lambda} {\ lambda -1}}}

Geometría proyectiva [ editar ]

Más información: Geometría proyectiva.

Uso de relaciones cruzadas en geometría proyectiva para medir las dimensiones del mundo real de las características representadas en una proyección en perspectiva . A, B, C, D y V son puntos en la imagen, su separación dada en píxeles; A ', B', C 'y D' están en el mundo real, su separación en metros.

• En (1), el ancho de la calle lateral, W se calcula a partir de los anchos conocidos de las tiendas adyacentes.
• En (2), el ancho de una sola tienda es necesario porque en un punto de fuga , V es visible.

La relación cruzada es un invarianteproyectivo en el sentido de que se conserva por las transformaciones proyectivas de una línea proyectiva.

En particular, si cuatro puntos se encuentran en una línea recta L en R ^2,entonces su relación cruzada es una cantidad bien definida, porque cualquier elección del origen e incluso de la escala en la línea dará el mismo valor que la cruz transversal. proporción.

Además, vamos a { L _i | 1 ≤ i ≤ 4} ser cuatro líneas distintas en el plano que pasa por el mismo punto Q . Entonces, cualquier línea L que no pase a través de Q interseca estas líneas en cuatro puntos distintos P _i (si L es paralela a L _i, entonces el punto de intersección correspondiente es "en el infinito"). Resulta que la relación cruzada de estos puntos (tomada en un orden fijo) no depende de la elección de una línea L , y por lo tanto es una invariante de la tupla de líneas 4 { L _i }.

Esto se puede entender de la siguiente manera: si L y L ′ son dos líneas que no pasan por Q, entonces la transformación de perspectiva de L a L ′ con el centro Q es una transformación proyectiva que lleva el cuádruple { P _i } de puntos en L a la cuadruplicar { P _i ′} de puntos en L ′.

Por lo tanto, la invariancia de la relación cruzada bajo los automorfismos proyectivos de la línea implica (de hecho, es equivalente a) la independencia de la relación cruzada de los cuatro puntos colineales { P _i } en las líneas { L _i } de la elección De la línea que los contiene.

Definición en coordenadas homogéneas [ editar ]

Si cuatro puntos colineales están representados en coordenadas homogéneas por los vectores a ,  b ,  c ,  d , de manera que c = a + b y d = ka + b , entonces su relación cruzada es  k . ^[5]

Rol en la geometría no euclidiana [ editar ]

Arthur Cayley y Felix Klein encontraron una aplicación de la relación cruzada a la geometría no euclidiana . Dado un no singular cónica C en el verdadero plano proyectivo , su estabilizador G _C en el grupo proyectivo G = PGL (3, R ) actúa transitivamente en los puntos en el interior de C . Sin embargo, hay una invariante para la acción de G _C en pares de puntos. De hecho, cada invariante es expresable en función de la relación cruzada apropiada. ^{[ cita requerida]}

Geometría hiperbólica [ editar ]

Explícitamente, deja que la cónica sea el círculo unitario . Para cualquiera de los dos puntos P , Q , dentro del círculo unitario. Si la línea que los conecta se cruza con el círculo en dos puntos, X y Y y los puntos son, en orden, X , P , Q , Y . Entonces, la distancia hiperbólica entre P y Q en el modelo de Cayley-Klein del plano hiperbólico se puede expresar como

$${\ displaystyle d_ {h} (P, Q) = {\ frac {1} {2}} \ left | \ log \ left ({\ frac {| XQ || PY |} {| XP || QY |} } \ derecha) \ derecha |}

(Se necesita el factor medio para hacer la curvatura −1). Dado que la relación cruzada es invariante en las transformaciones proyectivas, se deduce que la distancia hiperbólica es invariante en las transformaciones proyectivas que preservan la C cónica .

A la inversa, el grupo G actúa de manera transitoria sobre el conjunto de pares de puntos ( p , q ) en el disco de la unidad a una distancia hiperbólica fija.

Más tarde, en parte gracias a la influencia de Henri Poincaré , se usó la relación cruzada de cuatro números complejos en un círculo para las métricas hiperbólicas. Estar en un círculo significa que los cuatro puntos son la imagen de cuatro puntos reales en una transformación de Möbius y, por lo tanto, la relación cruzada es un número real. El modelo de semiplano de Poincaré y el modelo de disco de Poincaré son dos modelos de geometría hiperbólica en la compleja línea proyectiva .

Estos modelos son instancias de métricas de Cayley-Klein .

El grupo anarmónico [ editar ]

La relación cruzada se puede definir por cualquiera de estas cuatro expresiones:

$${\ displaystyle (A, B; C, D) = (B, A; D, C) = (C, D; A, B) = (D, C; B, A). \,}

Estos difieren por las siguientes permutaciones de las variables:

$${\ displaystyle {\ begin {alineado} (A, B) (C, D) \\ [6pt] (A, C) (B, D) \\ [6pt] (A, D) (B, C) \ fin {alineado}}}

Estos tres y la permutación de identidad dejan inalterada la relación cruzada. Forman una realización del Klein four-group , un grupo de orden 4 en el que el orden de cada elemento de no identidad es 2.

Otras permutaciones de las cuatro variables alteran la relación cruzada de modo que puede tomar cualquiera de los siguientes seis valores.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (A, B; C, D) & = \ lambda & (A, B; D, C) & = {\ frac {1} {\ lambda}} \\ [6pt] (A, C; D, B) & = {\ frac {1} {1- \ lambda}} & (A, C; B, D) & = 1- \ lambda \\ [6pt] (A, D; C, B) & = {\ frac {\ lambda} {\ lambda -1}} & (A, D; B, C) & = {\ frac {\ lambda -1} {\ lambda}} \ end {alineado }}}

Como funciones de λ , forman un grupo no abeliano de orden 6 con la operación de composición de funciones. Este es el grupo anarmónico . Es un subgrupo del grupo de todas las transformaciones de Möbius . Las seis relaciones cruzadas enumeradas anteriormente representan elementos de torsión (geométricamente, transformadas elípticas ) de PGL (2, Z ) . A saber,$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda}}}, $${\ displaystyle 1- \ lambda \,}y $${\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {\ lambda -1}}}son de orden 2 en PGL (2, Z ) , con puntos fijos , respectivamente, −1, 1/2 y 2 (es decir, la órbita de la relación cruzada armónica). Mientras tanto, elementos$${\ displaystyle {\ frac {1} {1- \ lambda}}} y $${\ displaystyle {\ frac {\ lambda -1} {\ lambda}}}son de orden 3 en PGL (2, Z ) - en PSL (2, Z ) (esto corresponde al subgrupo A ₃ de elementos pares). Cada uno de ellos arregla ambos valores.$${\ displaystyle e ^ {\ pm i \ pi / 3}} de la relación cruzada "más simétrica".

El grupo anarmónico es generado por λ ↦ 1 / λ y λ ↦ 1 - λ . Su acción en {0, 1, ∞} da un isomorfismo con S ₃ . También puede realizarse como las seis transformaciones de Möbius mencionadas, ^[6] que producen una representación proyectiva de S ₃ sobre cualquier campo (ya que se define con entradas de números enteros), y siempre es fiel / inyectiva (ya que no hay dos términos que difieran solo por 1 / −1). Sobre el campo con dos elementos, la línea proyectiva solo tiene tres puntos, por lo que esta representación es un isomorfismo y es el isomorfismo excepcional. $${\ displaystyle \ mathrm {S} _ {3} \ approx \ mathrm {PGL} (2,2)}. En la característica 3, esto estabiliza el punto.$${\ displaystyle -1 = [- 1: 1]}, que corresponde a la órbita de la relación cruzada armónica siendo solo un punto único, ya que $${\ displaystyle 2 = 1/2 = -1}. Sobre el campo con 3 elementos, la línea proyectiva tiene solo 4 puntos y$${\ displaystyle \ mathrm {S} _ {4} \ approx \ mathrm {PGL} (2,3)}, y por lo tanto la representación es exactamente el estabilizador de la relación cruzada armónica, produciendo una incrustación $${\ displaystyle \ mathrm {S} _ {3} \ hookrightarrow \ mathrm {S} _ {4}} es igual al estabilizador del punto $${\ displaystyle -1}.

Papel de cuatro grupos de Klein [ editar ]

En el lenguaje de la teoría de grupos , el grupo simétrico S ₄ actúa sobre la relación cruzada permutando las coordenadas. El núcleo de esta acción es isomorfo para los cuatro grupos K de Klein . Este grupo consta de permutaciones de tipo de 2 ciclos.$${\ displaystyle (AB) (CD)}(Además de la identidad), que conserva la relación cruzada. El grupo de simetría efectivo es entonces el grupo cociente. $${\ displaystyle \ mathrm {S} _ {4} / \ mathrm {K}}, que es isomorfo a S ₃ .

Órbitas excepcionales [ editar ]

Para ciertos valores de λ habrá una mayor simetría y, por lo tanto, menos de seis valores posibles para la relación cruzada. Estos valores de λ corresponden a puntos fijos de la acción de S ₃ en la esfera de Riemann (dados por las seis funciones anteriores); o, equivalentemente, aquellos puntos con un estabilizador no trivial en este grupo de permutación.

El primer conjunto de puntos fijos es {0, 1, ∞}. Sin embargo, la relación cruzada nunca puede tomar estos valores si los puntos A , B , C y D son distintos. Estos valores son valores límite cuando un par de coordenadas se aproximan entre sí:

$${\ displaystyle (Z, B; Z, D) = (A, Z; C, Z) = 0}

$${\ displaystyle (Z, Z; C, D) = (A, B; Z, Z) = 1}

$${\ displaystyle (Z, B; C, Z) = (A, Z; Z, D) = \ infty.}

El segundo conjunto de puntos fijos es {−1, 1/2, 2}. Esta situación es lo que se llama clásicamente la relación cruzada armónica , y surge en conjugados armónicos proyectivos . En el caso real, no hay otras órbitas excepcionales.

En el caso complejo, la relación cruzada más simétrica ocurre cuando $${\ displaystyle \ lambda = e ^ {\ pm i \ pi / 3}}. Estos son los únicos dos valores de la relación cruzada, y se actúan de acuerdo con el signo de la permutación.

Enfoque de transformación [ editar ]

Artículo principal: Transformación de Möbius.

La relación cruzada es invariante en las transformaciones proyectivas de la línea. En el caso de una línea proyectiva compleja , o la esfera de Riemann , estas transformaciones se conocen como transformaciones de Möbius . Una transformación general de Möbius tiene la forma.

$${\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}} \;, \ quad {\ mbox {where}} a, b, c, d \ in {\ mathbb {C}} {\ mbox {y}} ad-bc \ neq 0.}

Estas transformaciones forman un grupo que actúa sobre la esfera de Riemann , el grupo de Möbius .

La invariancia proyectiva de la relación cruzada significa que

$${\ displaystyle (f (z_ {1}), f (z_ {2}); f (z_ {3}), f (z_ {4})) = (z_ {1}, z_ {2}; z_ { 3}, z_ {4}). \}

La relación cruzada es real si y solo si los cuatro puntos son colineales o concíclicos , lo que refleja el hecho de que cada transformación de Möbius mapea círculos generalizados a círculos generalizados.

La acción del grupo de Möbius es simplemente transitiva en el conjunto de triples de puntos distintos de la esfera de Riemann: dado cualquier triple ordenado de puntos distintos, ( z ₂ , z ₃ , z ₄ ) , hay una transformación de Möbius única f ( z) ) que lo mapea al triple (1, 0, ∞) . Esta transformación se puede describir convenientemente usando la relación cruzada: ya que ( z , z ₂ , z ₃ , z ₄ ) debe ser igual ( f ( z), 1; 0, ∞) , que a su vez es igual a f ( z), obtenemos

$${\ displaystyle f (z) = (z, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}).}

Una explicación alternativa para la invariancia de la relación cruzada se basa en el hecho de que el grupo de transformaciones proyectivas de una línea es generado por las traducciones, las homotecias y la inversión multiplicativa. Las diferencias z _j - z _k son invariantes bajo las traducciones

$${\ displaystyle z \ mapsto z + a}

donde una es una constante en el campo de suelo F . Además, las relaciones de división son invariantes bajo un homothety

$${\ displaystyle z \ mapsto bz}

para un no-cero constante b en F . Por lo tanto, la relación cruzada es invariante en las transformaciones afines .

Para obtener un mapeo de inversión bien definido .

$${\ displaystyle T: z \ mapsto z ^ {- 1},}

la línea afín necesita aumentarse por el punto en el infinito , denotado, formando la línea proyectiva P ¹ ( F ). Cada mapeo afín f  : F → F puede extenderse de manera única a un mapeo de P ¹ ( F ) en sí mismo que fija el punto en el infinito. El mapa T intercambia 0 y ∞. El grupo proyectivo es generado por T y las asignaciones afines se extienden a P ¹ ( F ). En el caso F = C , el plano complejo , esto resulta en elGrupo möbius . Dado que la relación cruzada también es invariante en T , es invariante en cualquier mapeo proyectivo de P ¹ ( F ) en sí misma.

Descripción de coordenadas [ editar ]

Si escribimos los puntos complejos como vectores. $${\ displaystyle {\ overrightarrow {x}} _ {n} = [\ Re (z_ {n}), \ Im (z_ {n})] ^ {\ rm {T}}} y definir $${\ displaystyle x_ {nm} = x_ {n} -x_ {m}}. Dejar$${\ displaystyle (a, b)} ser el producto puntual de $${\ displaystyle a} con $${\ displaystyle b} entonces la parte real de la relación cruzada está dada por:

$${\ displaystyle C_ {1} = {\ frac {(x_ {12}, x_ {14}) (x_ {23}, x_ {34}) - (x_ {12}, x_ {34}) (x_ {14 }, x_ {23}) + (x_ {12}, x_ {23}) (x_ {14}, x_ {34})} {| x_ {23} | ^ {2} | x_ {14} | ^ { 2}}}}

Esta es una invariante de la transformación conformal especial 2D , como la inversión$${\ displaystyle x ^ {\ mu} \ rightarrow {\ frac {x ^ {\ mu}} {| x | ^ {2}}}}.

La parte imaginaria debe hacer uso del producto cruzado bidimensional. $${\ displaystyle a \ times b = [a, b] = a_ {2} b_ {1} -a_ {1} b_ {2}}

$${\ displaystyle C_ {2} = {\ frac {(x_ {12}, x_ {14}) [x_ {34}, x_ {23}] - (x_ {43}, x_ {23}) [x_ {12 }, x_ {34}]} {| x_ {23} | ^ {2} | x_ {14} | ^ {2}}}}

Anillo homografía [ editar ]

El concepto de relación cruzada solo depende de las operaciones de suma, multiplicación e inversión del anillo(aunque la inversión de un elemento dado no es cierta en un anillo). Una aproximación a la relación cruzada lo interpreta como una homografía que lleva tres puntos designados a 0, 1 e infinito. Bajo restricciones que tienen que ver con inversos, es posible generar tal mapeo con operaciones de anillo en la línea proyectiva sobre un anillo . La relación cruzada de cuatro puntos es la evaluación de esta homografía en el cuarto punto.

Punto de vista geométrico-diferencial [ editar ]

La teoría adquiere un aspecto de cálculo diferencial cuando los cuatro puntos se acercan. Esto conduce a la teoría de la derivada de Schwarz , y más generalmente de las conexiones proyectivas .

Generalizaciones de dimensiones superiores [ editar ]

Más información: Posición general.

La relación cruzada no se generaliza de una manera simple a dimensiones más altas, debido a otras propiedades geométricas de las configuraciones de los puntos, especialmente la colinealidad: los espacios de configuración son más complicados, y las distintas k- parejas de puntos no están en la posición general .

Mientras que el grupo lineal proyectivo del plano es 3-transitivo (cualquiera de los tres puntos distintos se pueden mapear a cualquiera de los otros tres puntos), y de hecho simplemente 3-transitivo (hay un mapa proyectivo único que toma cualquier triple a otro triple), con el Por lo tanto, la relación cruzada es el invariante proyectivo único de un conjunto de cuatro puntos, hay invariantes geométricos básicos en una dimensión superior. El grupo lineal proyectivo de n -space.$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {n} = \ mathbf {P} (K ^ {n + 1})}tiene ( n  + 1) ²  - 1 dimensiones (porque es$${\ displaystyle \ mathrm {PGL} (n, K) = \ mathbf {P} (\ mathrm {GL} (n + 1, K)),proyectivización eliminando una dimensión), pero en otras dimensiones, el grupo lineal proyectivo es solo 2-transitivo, ya que tres puntos colineales deben asignarse a tres puntos colineales (que no es una restricción en la línea proyectiva), y por lo tanto no hay una " relación cruzada generalizada "que proporciona el invariante único de n ² puntos.

La colinealidad no es la única propiedad geométrica de las configuraciones de puntos que se deben mantener; por ejemplo, cinco puntos determinan una cónica , pero seis puntos generales no se encuentran en una cónica, por lo tanto, si alguna 6-tupla de puntos se encuentra en una cónica es también Un invariante proyectivo. Uno puede estudiar las órbitas de los puntos en la posición general , en la línea "posición general" es equivalente a ser distinto, mientras que en las dimensiones más altas requiere consideraciones geométricas, como se explicó, pero, como lo indica más arriba, esto es más complicado y menos informativo.

Sin embargo, existe una generalización a las superficies de Riemann del género positivo , utilizando el mapa Abel-Jacobi y las funciones theta .