GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

 plano proyectivo es una estructura geométrica que extiende el concepto de un plano . En el plano euclidiano ordinario, dos líneas típicamente se intersecan en un solo punto, pero hay algunos pares de líneas (a saber, líneas paralelas) que no se intersecan. Un plano proyectivo puede considerarse como un plano ordinario equipado con "puntos al infinito" adicionales donde las líneas paralelas se intersecan. Por lo tanto cualquier dos líneas distintas en un plano proyectivo se cruzan en uno y sólo un punto.

Los artistas del Renacimiento , al desarrollar las técnicas de dibujo en perspectiva , sentaron las bases para este tema matemático. El ejemplo arquetípico es el plano proyectivo real , también conocido como el plano euclidiano extendido . ^[1] Este ejemplo, en formas ligeramente diferentes, es importante en geometría algebraica , topología y geometría proyectiva, donde se puede denotar de varias formas por PG (2, R ) , RP ² o P ₂ ( R ), entre otras notaciones. Hay muchos otros planos proyectivos, ambos infinitos, como elPlano proyectivo complejo , y finito, como el plano Fano .

Un plano proyectivo es un espacio proyectivo bidimensional , pero no todos los planos proyectivos se pueden incrustar en espacios proyectivos tridimensionales. Tal integración es una consecuencia de una propiedad conocida como el teorema de Desargues , no compartida por todos los planos proyectivos.

Definición [ editar ]

Un plano proyectivo consiste en un conjunto de líneas , un conjunto de puntos y una relación entre puntos y líneas llamadas incidencia , que tiene las siguientes propiedades: ^[2]

1. Dados dos puntos distintos, hay exactamente una línea incidente con ambos.
2. Dadas dos líneas distintas, hay exactamente un punto incidente con ambas.
3. Hay cuatro puntos tales que ninguna línea es incidente con más de dos de ellos.

La segunda condición significa que no hay líneas paralelas . La última condición excluye los llamados casos degenerados (ver más abajo ). El término "incidencia" se usa para enfatizar la naturaleza simétrica de la relación entre puntos y líneas. Así, la expresión "punto P es incidente con la línea ℓ " se utiliza en lugar de cualquiera de " P está en ℓ " o " ℓ pasa a través de P ".

Algunos ejemplos [ editar ]

El plano euclidiano extendido [ editar ]

Para convertir el plano euclidiano ordinario en un plano proyectivo, haga lo siguiente:

1. A cada conjunto de líneas paralelas entre sí, agregue un solo punto nuevo. Ese punto se considera incidente con cada línea de este conjunto. El punto agregado es distinto para cada uno de estos conjuntos. Estos nuevos puntos se llaman puntos en el infinito .
2. Agregue una nueva línea, que se considera incidente con todos los puntos en el infinito (y ningún otro punto). Esta línea se llama la línea en el infinito .

La estructura extendida es un plano proyectivo y se denomina plano euclidiano extendido o plano proyectivo real . El proceso descrito anteriormente, que se utiliza para obtenerlo, se denomina "finalización proyectiva" o proyectivización . Este plano también se puede construir comenzando desde R ³ visto como un espacio vectorial, consulte § Construcción del espacio vectorial a continuación.

Proyectiva Moulton plano [ editar ]

El avión de Moulton . Las líneas inclinadas hacia abajo y hacia la derecha están dobladas donde cruzan el eje y .

Los puntos del plano de Moulton son los puntos del plano euclidiano, con coordenadas de la manera habitual. Para crear el plano de Moulton desde el plano euclidiano, algunas de las líneas se redefinen. Es decir, algunos de sus conjuntos de puntos se cambiarán, pero otras líneas se mantendrán sin cambios. Redefina todas las líneas con pendientes negativas para que se vean como líneas "dobladas", lo que significa que estas líneas mantienen sus puntos con coordenadas x negativas , pero el resto de sus puntos se reemplazan con los puntos de la línea con la misma intersección en y pero el doble de la pendiente dondequiera que su coordenada x es positiva.

El plano de Moulton tiene clases paralelas de líneas y es un plano afín . Se puede proyectivizar, como en el ejemplo anterior, para obtener el plano proyectivo de Moulton . El teorema de Desargues no es un teorema válido ni en el plano de Moulton ni en el plano de Moulton proyectivo.

Un ejemplo finito [ editar ]

Este ejemplo tiene solo trece puntos y trece líneas. Etiquetamos los puntos P ₁ , ..., P ₁₃ y las líneas m ₁ , ..., m ₁₃. La relación de incidencia (cuyos puntos se encuentran en qué líneas) se puede dar mediante la siguiente matriz de incidencia . Las filas están etiquetadas por los puntos y las columnas están etiquetadas por las líneas. Un 1 en la fila i y la columna j significa que el punto P _i está en la línea m _j , mientras que un 0 (que representamos aquí con una celda en blanco para facilitar la lectura) significa que no son incidentes. La matriz está en forma normal de Paige-Wexler.

	m 1	m 2	m 3	m 4	m 5	m 6	m 7	m 8	m 9	m 10	m 11	m 12	m 13
P 1	1	1	1	1
P 2	1				1	1	1
P 3	1							1	1	1
P 4	1										1	1	1
P 5		1			1			1			1
P 6		1				1			1			1
P 7		1					1			1			1
P 8			1		1				1				1
P 9			1			1				1	1
P 10			1				1	1				1
P 11				1	1					1		1
P 12				1		1		1					1
P 13				1			1		1		1

Para verificar las condiciones que hacen que esto sea un plano proyectivo, observe que cada dos filas tienen exactamente una columna común en la que aparecen 1 (cada par de puntos distintos está exactamente en una línea común) y que cada dos columnas tiene exactamente una fila común en la que Aparece 1 (cada par de líneas distintas se encuentran exactamente en un punto). Entre muchas posibilidades, los puntos P ₁ , P ₄ , P ₅ y P ₈ , por ejemplo, cumplirán la tercera condición. Este ejemplo se conoce como el plano proyectivo de orden tres .

Construcción de espacios vectoriales [ editar ]

Aunque la línea en el infinito del plano real extendido puede parecer tener una naturaleza diferente a las otras líneas de ese plano proyectivo, este no es el caso. Otra construcción del mismo plano proyectivo muestra que no se puede distinguir ninguna línea (sobre un fondo geométrico) de ninguna otra. En esta construcción, cada "punto" del plano proyectivo real es el subespacio unidimensional (una línea geométrica ) a través del origen en un espacio vectorial tridimensional, y una "línea" en el plano proyectivo surge de una ( geométrica ) Plano a través del origen en el espacio 3. Esta idea se puede generalizar y hacer más precisa de la siguiente manera. ^[3]

Sea K cualquier anillo de división (skewfield). Sea K ³ el conjunto de todos los triples x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) de los elementos de K (un producto cartesiano visto como un espacio vectorial ). Para cualquier x distinto a cero en K ³ , el subespacio mínimo de K ^{3 que} contiene x (que puede visualizarse como todos los vectores en una línea a través del origen) es el subconjunto

$${\ displaystyle \ {kx: k \ en K \}}

de K ³ . De manera similar, sea x e y sean elementos linealmente independientes de K ³ , lo que significa que kx + my = 0 implica que k = m = 0 . El subespacio mínimo de K ^{3 que} contiene x e y (que se puede visualizar como todos los vectores en un plano a través del origen) es el subconjunto

$${\ displaystyle \ {kx + my: k, m \ en K \}}

de K ³ . Este subespacio 2-dimensional contiene varios subespacios 1-dimensionales pasan por el origen que se puede obtener mediante la fijación de k y m y teniendo los múltiplos del vector resultante. Las diferentes opciones de k y m que están en la misma proporción darán la misma línea.

El plano proyectivo sobre K , denotado PG (2, K ) o K P ² , tiene un conjunto de puntos que consiste en todos los subespacios unidimensionales en K ³ . Un subconjunto L de los puntos de PG (2, K ) es una línea en PG (2, K) si existe un subespacio de 2 dimensiones de K ³ cuyo conjunto de subespacios 1-dimensional es exactamente L .

La verificación de que esta construcción produce un plano proyectivo generalmente se deja como un ejercicio de álgebra lineal.

Una vista alternativa (algebraica) de esta construcción es la siguiente. Los puntos de este plano proyectivo son las clases de equivalencia del conjunto K ³ ∖ {(0, 0, 0)} módulo la relación de equivalencia

x ~ kx , para todos los k en K ^× .

Las líneas en el plano proyectivo se definen exactamente como arriba.

Las coordenadas ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) de un punto en PG (2, K ) se llaman coordenadas homogéneas . Cada triple ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) representa un punto bien definido en PG (2, K ), excepto el triple (0, 0, 0), que no representa ningún punto. Cada punto en PG (2, K ), sin embargo, está representado por muchos triples.

Si K es un espacio topológico , entonces K P ² , hereda una topología a través de las topologías de producto , subespacio y cociente .

Ejemplos clásicos [ editar ]

El plano proyectivo real de RP ² , surge cuando K se toma para ser los números reales , R . Como un colectorreal cerrado, no orientable , sirve como un ejemplo fundamental en la topología. ^[4]

En esta construcción, considere la unidad de esfera centrada en el origen en R ³ . Cada una de las líneas R ³ en esta construcción intersecta la esfera en dos puntos antípodas. Dado que la línea R ³ representa un punto de RP ² , obtendremos el mismo modelo de RP ² identificando los puntos antípodas de la esfera. Las líneas de RP ²serán los grandes círculos de la esfera después de esta identificación de puntos antípodas. Esta descripción da el modelo estándar de geometría elíptica .

El plano proyectivo complejo CP ² , surge cuando K se toma como los números complejos , C . Es un complejo cerrado de 2 colectores, y por lo tanto es un colector real cerrado, orientable. Esto y los planos proyectivos sobre otros campos (conocidos como planos pappianos ) sirven como ejemplos fundamentales en la geometría algebraica . ^[5]

El plano proyectivo cuaterniónico HP ² también es de interés independiente. ^{[ cita requerida ]}

Planos de campo finitos [ editar ]

Según el teorema de Wedderburn , un anillo de división finita debe ser conmutativo y, por lo tanto, un campo. Así, los ejemplos finitos de esta construcción se conocen como "planos de campo". Tomando K como el campo finitode q = p ^{n los} elementos con p primo produce un plano proyectivo de q ² + q + 1 puntos. Los planos de campo generalmente se indican mediante PG (2, q ), donde PG significa geometría proyectiva, el "2" es la dimensión yqse llama el ordendel plano (es uno menos que el número de puntos en cualquier línea). El plano de Fano, que se discute más adelante, se denota por PG (2,2). El tercer ejemplo anterior es el plano proyectivo PG (2,3).

El avión de fano. Los puntos se muestran como puntos; Las líneas se muestran como líneas o círculos.

El plano de Fano es el plano proyectivo que surge del campo de dos elementos. Es el plano proyectivo más pequeño, con solo siete puntos y siete líneas. En la figura de la derecha, los siete puntos se muestran como pequeñas bolas negras, y las siete líneas se muestran como seis segmentos de línea y un círculo. Sin embargo, uno podría considerar de manera equivalente que las bolas son las "líneas" y que los segmentos de línea y el círculo son los "puntos"; este es un ejemplo de dualidad en el plano proyectivo: si las líneas y los puntos se intercambian, el resultado es todavía Un plano proyectivo (ver abajo ). Una permutación de los siete puntos que transporta puntos colineales (puntos en la misma línea) a puntos colineales se denomina colinción osimetría del plano. Las colinciones de una geometría forman un grupo bajo composición, y para el plano Fano este grupo (PΓL (3,2) = PGL (3,2)) tiene 168 elementos.

Teorema de Desargues y planos desarguesianos [ editar ]

El teorema de Desargues es universalmente válido en un plano proyectivo si, y solo si, el plano puede construirse a partir de un espacio vectorial tridimensional sobre un campo de inclinación como anteriormente . ^[6] Estos planos se llaman planos desarguesianos , llamados así por Girard Desargues . El plano proyectivo real (o complejo) y el plano proyectivo de orden 3 dados anteriormente son ejemplos de planos proyectivos desarguesianos. Los planos proyectivos que no pueden construirse de esta manera se denominan planos no desarguesianos , y el plano de Moulton dado anteriormente es un ejemplo de uno. El PG (2, K) La notación está reservada para los planos desarguesianos. Cuando K es un campo , un caso muy común, también se les conoce como planos de campo y si el campo es un campo finito , pueden llamarse planos de Galois .

Subplanos [ editar ]

Un subplano de un plano proyectivo es un subconjunto de los puntos del plano que forman un plano proyectivo con las mismas relaciones de incidencia.

( Bruck 1955 ) demuestra el siguiente teorema. Vamos Π haber un plano proyectivo finito de orden N con un subplano Π adecuada ₀ de orden M . Entonces, o N = M ² o N ≥ M ² + M .

Cuando N es un cuadrado, los subplanos de orden √ N se llaman subplanos de Baer . Cada punto del plano se encuentra en una línea de un subplano Baer y cada línea del plano contiene un punto del subplano Baer.

En los planos finitos de Desarguesian PG (2, p ⁿ ), los subplanos tienen órdenes que son las órdenes de los subcampos del campo finito GF ( p ⁿ ), es decir, p ⁱ donde i es un divisor de n . Sin embargo, en los aviones no desarguesianos, el teorema de Bruck proporciona la única información sobre las órdenes de los subplanos. El caso de igualdad en la desigualdad de este teorema no se sabe que ocurra. Si existe o no un subplano de orden M en un plano de orden N con M ² + M = NEs una pregunta abierta. Si existieran dichos subplanos, habría planos proyectivos de orden compuesto (potencia no principal).

Subplanos de Fano [ editar ]

Un subplano de Fano es un subplano isomorfo a PG (2,2), el plano proyectivo único de orden 2.

Si considera un cuadrángulo (un conjunto de 4 puntos no tres colineales) en este plano, los puntos determinan seis de las líneas del plano. Los tres puntos restantes (llamados puntos diagonales del cuadrángulo) son los puntos donde se encuentran las líneas que no se intersecan en un punto del cuadrilátero. La séptima línea consiste en todos los puntos diagonales (usualmente dibujados como un círculo o semicírculo).

El nombre Fano para este subplano es realmente un nombre inapropiado. Gino Fano (1871–1952), al desarrollar un nuevo conjunto de axiomas para la geometría euclidiana, tomó como un axioma que los puntos diagonales de cualquier cuadrángulo nunca son colineales. Esto se llama el axioma de Fano . Un subplano de Fano, sin embargo, viola el Axioma de Fano. Realmente deberían llamarse subplanos Anti-Fano , pero este cambio de nombre no ha tenido muchos partidarios.

En los planos desarguesianos finitos, los subplanos PG (2, q ) y Fano existen si y solo si q es par (es decir, una potencia de 2). La situación en los planos no desarguesianos es inestable. Podrían existir en cualquier plano no desarguesiano de orden superior a 6, y de hecho, se han encontrado en todos los planos no desarguesianos en los que se han buscado (tanto en órdenes impares como en órdenes).

Una pregunta abierta es: ¿Todos los planos no desarguesianos contienen un subplano Fano?

Un teorema relativo a los subplanos de Fano debido a ( Gleason 1956 ) es:

Si cada cuadrángulo en un plano proyectivo finito tiene puntos diagonales colineales, entonces el plano es desarguesiano (de orden par).

Planos afines [ editar ]

La proyectivización del plano euclidiano produjo el plano proyectivo real. La operación inversa, que comienza con un plano proyectivo, elimina una línea y todos los puntos que inciden en esa línea, produce un plano afín .

Definición [ editar ]

Más formalmente, un plano afín consiste en un conjunto de líneas y un conjunto de puntos , y una relación entre puntos y líneas llamadas incidencia , que tiene las siguientes propiedades:

1. Dados dos puntos distintos, hay exactamente una línea incidente con ambos.
2. Dada cualquier línea l y cualquier punto P que no sea incidente con l, hay exactamente una línea incidente con P que no cumple con l.
3. Hay cuatro puntos tales que ninguna línea es incidente con más de dos de ellos.

La segunda condición significa que hay líneas paralelas y se conoce como el axioma de Playfair . La expresión "no cumple" en esta condición es una abreviatura de "no existe un incidente puntual con ambas líneas".

El plano euclidiano y el plano de Moulton son ejemplos de infinitos planos afines. Un plano proyectivo finito producirá un plano afín finito cuando se eliminan una de sus líneas y los puntos en él. El orden de un plano afín finito es el número de puntos en cualquiera de sus líneas (este será el mismo número que el orden del plano proyectivo del que proviene). Los planos afines que surgen de los planos proyectivos PG (2, q ) están indicados por AG (2, q ).

Hay un plano proyectivo de orden N si y sólo si existe un plano afín de orden N . Cuando solo hay un plano afín de orden N, solo hay un plano proyectivo de orden N , pero lo contrario no es cierto. Los planos afines formados por la eliminación de diferentes líneas del plano proyectivo serán isomorfos si y solo si las líneas eliminadas están en la misma órbita del grupo de colineación del plano proyectivo. Estas afirmaciones son válidas también para planos proyectivos infinitos.

La construcción de aviones descriptivos de los aviones afines [ editar ]

El plano afín K ² sobre K se incrusta en K P ^{2 a} través del mapa que envía coordenadas afines (no homogéneas) a coordenadas homogéneas,

$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ mapsto (1, x_ {1}, x_ {2}).}

El complemento de la imagen es el conjunto de puntos de la forma (0, x ₁ , x ₂ ). Desde el punto de vista de la inserción que se acaba de dar, estos puntos son los puntos en el infinito . Constituyen una línea en K P ² , es decir, la línea que surge del plano

$${\ displaystyle \ {k (0,0,1) + m (0,1,0): k, m \ en K \}}

en K ³ - llamó a la línea al infinito . Los puntos en el infinito son los puntos "extra" donde las líneas paralelas se intersecan en la construcción del plano real extendido; el punto (0, x ₁ , x ₂ ) es donde todas las líneas de pendiente x ₂ / x _{1 se} intersecan. Consideremos por ejemplo las dos líneas.

$${\ displaystyle u = \ {(x, 0): x \ en K \}}

$${\ displaystyle y = \ {(x, 1): x \ en K \}}

en el plano afín K ² . Estas líneas tienen pendiente 0 y no se intersecan. Se pueden considerar como subconjuntos de K P ^{2 a} través de la incorporación anterior, pero estos subconjuntos no son líneas en K P ² . Agregue el punto (0, 1, 0) a cada subconjunto; es decir, vamos

$${\ displaystyle {\ bar {u}} = \ {(1, x, 0): x \ en K \} \ cup \ {(0,1,0) \}}

$${\ displaystyle {\ bar {y}} = \ {(1, x, 1): x \ en K \} \ cup \ {(0,1,0) \}}

Estas son líneas en K P ² ; ū surge del plano

$${\ displaystyle \ {k (1,0,0) + m (0,1,0): k, m \ en K \}}

en K ³ , mientras que ȳ surge del plano

$${\ displaystyle {k (1,0,1) + m (0,1,0): k, m \ en K}.}

Las líneas proyectivas ū y ȳ se intersecan en (0, 1, 0). De hecho, todas las líneas en K ² de la pendiente 0, cuando se proyectan de esta manera, se intersecan en (0, 1, 0) en K P ² .

La incrustación de K ² en K P ² dada anteriormente no es única. Cada incrustación produce su propia noción de puntos en el infinito. Por ejemplo, la incrustación

$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ a (x_ {2}, 1, x_ {1}),}

tiene como complemento aquellos puntos de la forma ( x ₀ , 0, x ₂ ), que luego son considerados como puntos en el infinito.

Cuando un plano afín no tiene la forma de K ² con K y un anillo de división, todavía se puede incrustar en un plano proyectivo, pero la construcción utilizada anteriormente no funciona. Un método comúnmente utilizado para llevar a cabo la incrustación en este caso implica expandir el conjunto de coordenadas afines y trabajar en un "álgebra" más general.

Coordenadas generalizadas [ editar ]

Artículo principal: Anillo ternario planar.

Se puede construir un "anillo" de coordenadas, el llamado anillo ternario plano (no un anillo genuino), que corresponde a cualquier plano proyectivo. Un anillo ternario plano no necesita ser un campo o anillo de división, y hay muchos planos proyectivos que no se construyen a partir de un anillo de división. Se denominan planos proyectivos no desarguesianos y son un área activa de investigación. El plano de Cayley ( OP ² ), un plano proyectivo sobre los octoniones , es uno de estos porque los octoniones no forman un anillo de división. ^[3]

A la inversa, dado un anillo ternario plano (R, T), se puede construir un plano proyectivo (ver más abajo). La relación no es de uno a uno. Un plano proyectivo puede asociarse con varios anillos ternarios planos no isomorfos. El operador ternario T se puede utilizar para producir dos operadores binarios en el conjunto R, mediante:

a + b = T (a, 1, b), y

a • b = T (a, b, 0).

El operador ternario es lineal si T (x, m, k) = x • m + k. Cuando el conjunto de coordenadas de un plano proyectivo forma realmente un anillo, un operador ternario lineal puede definirse de esta manera, utilizando las operaciones de anillo de la derecha, para producir un anillo ternario plano.

Las propiedades algebraicas de este anillo de coordenadas ternarias planas se corresponden con las propiedades de incidencia geométricas del plano. Por ejemplo, el teorema de Desargues corresponde al anillo de coordenadas que se obtiene de un anillo de división , mientras que el teorema de Pappus corresponde a que este anillo se obtiene de un conmutativo campo . Un plano proyectivo que satisface universalmente el teorema de Pappus se denomina plano pappiano . Álgebras de división alternativas , no necesariamente asociativas , como los octoniones corresponden a los planos de Moufang .

No hay pruebas puramente geométricas conocidas de la afirmación puramente geométrica de que el teorema de Desargues implica el teorema de Pappus en un plano proyectivo finito (los planos desarguesianos finitos son Pappian). (Lo contrario es cierto en cualquier plano proyectivo y es demostrable geométricamente, pero la finitud es esencial en esta afirmación, ya que hay infinitos planos desarguesianos que no son Pappianos.) La prueba más común usa coordenadas en un anillo de división y el teorema de Wedderburn de que los anillos de división finita debe ser conmutativo; Bamberg y Penttila (2015) ofrecen una prueba que utiliza solo más datos algebraicos "elementales" sobre los anillos de división.

Para describir un plano proyectivo finito de orden N (≥ 2) utilizando coordenadas no homogéneas y un anillo ternario plano:

Deja que un punto sea etiquetado ( ∞ ).

Etiqueta N puntos, ( r ) donde r = 0, ..., ( N  - 1).

Etiqueta N ² puntos, ( r , c ) donde r , c = 0, ..., ( N  - 1).

Sobre estos puntos, construye las siguientes líneas:

Una línea [ ∞ ] = {( ∞ ), (0), ..., ( N  - 1)}

N líneas [ c ] = {( ∞ ), ( c , 0), ..., ( c , N  - 1)}, donde c = 0, ..., ( N  - 1)

N ² líneas [ r , c ] = {( r ) y los puntos ( x , T ( x , r , c ))}, donde x , r , c = 0, ..., ( N  - 1) y T Es el operador ternario del anillo ternario planar.

Por ejemplo, para N = 2 podemos usar los símbolos {0,1} asociados con el campo finito de orden 2. La operación ternaria definida por T (x, m, k) = xm + k con las operaciones de la derecha La multiplicación y la suma en el campo produce lo siguiente:

Una línea [ ∞ ] = {( ∞ ), (0), (1)},

2 líneas [ c ] = {( ∞ ), ( c , 0), ( c , 1): c = 0, 1},

[0] = {( ∞ ), (0,0), (0,1)}

[1] = {( ∞ ), (1,0), (1,1)}

4 líneas [ r , c ]: ( r ) y los puntos ( i , ir + c ), donde i = 0, 1: r , c = 0, 1.

[0,0]: {(0), (0,0), (1,0)}

[0,1]: {(0), (0,1), (1,1)}

[1,0]: {(1), (0,0), (1,1)}

[1,1]: {(1), (0,1), (1,0)}

Planos degenerados [ editar ]

(No-vacío) Planos proyectivos degenerados

Los planos degenerados no cumplen la tercera condición en la definición de un plano proyectivo. No son lo suficientemente complejos estructuralmente como para ser interesantes por derecho propio, pero de vez en cuando surgen como casos especiales en argumentos generales. Hay siete planos degenerados ( Albert & Sandler 1968 ). Son:

1. el conjunto vacío
2. un solo punto, sin líneas;
3. una sola línea, sin puntos;
4. un solo punto, una colección de líneas, el punto es incidente con todas las líneas;
5. una sola línea, una colección de puntos, los puntos son todos incidentes con la línea;
6. un incidente del punto P con una línea m, una colección arbitraria (puede estar vacía) de todas las incidencias con P y una colección arbitraria de puntos todos los incidentes con m;
7. un punto P que no incide con una línea m, una colección arbitraria (quizás vacía) de todas las incidencias con P y todos los puntos de intersección de estas líneas con m.

Estos siete casos no son independientes, el cuarto y el quinto pueden considerarse casos especiales del sexto, mientras que el segundo y el tercero son casos especiales del cuarto y quinto respectivamente. Por lo tanto, los siete casos pueden organizarse en dos familias de planos degenerados de la siguiente manera (esta representación es para planos degenerados finitos, pero puede extenderse a los infinitos de manera natural):

1) Para cualquier número de puntos P ₁ , ..., P _n , y líneas L ₁ , ..., L _m ,

L ₁ = { P ₁ , P ₂ , ..., P _n }

L ₂ = { P ₁ }

L ₃ = { P ₁ }

...

L _m = { P ₁ }

2) Para cualquier número de puntos P ₁ , ..., P _n , y líneas L ₁ , ..., L _n , (igual número de puntos que líneas)

L ₁ = { P ₂ , P ₃ , ..., P _n }

L ₂ = { P ₁ , P ₂ }

L ₃ = { P ₁ , P ₃ }

...

L _n = { P ₁ , P _n }

Collineations [ editar ]

Artículo principal: Collineation

Una colineación de un plano proyectivo es un mapa biyectivo del plano a sí mismo que mapea puntos a puntos y líneas a líneas que conserva la incidencia, lo que significa que si σ es una bijección y el punto P está en la línea m, entonces P ^σ está en m ^σ . ^[7]

Si σ es una colineación de un plano proyectivo, un punto P con P = P ^σ se llama un punto fijo de σ , y una línea m con m = m ^σ se llama una línea fija de  σ . Los puntos en una línea fija no necesitan ser puntos fijos, sus imágenes bajo σ están limitadas a estar en esta línea. La colección de puntos fijos y líneas fijas de una colineación forman una configuración cerrada , que es un sistema de puntos y líneas que satisfacen los dos primeros, pero no necesariamente la tercera condición en la definición.de un plano proyectivo. Por lo tanto, el punto fijo y la estructura de línea fija para cualquier colineación forman un plano proyectivo por sí mismos o un plano degenerado . Las colinciones cuya estructura fija forma un plano se denominan colinciones planas .

Homografía [ editar ]

Artículo principal: Transformación proyectiva.

Una homografía (o transformación proyectiva ) de PG (2, K ) es una combinación de este tipo de plano proyectivo que es una transformación lineal del espacio vectorial subyacente. Usando coordenadas homogéneas, pueden representarse mediante matrices invertibles 3 × 3 sobre K que actúan sobre los puntos de PG (2, K ) mediante y = M x ^T , donde x e y son puntos en K ³ (vectores) y M es un invertible matriz de 3 x 3 sobre K . ^[8]Dos matrices representan la misma transformación proyectiva si una es un múltiplo constante de la otra. Por lo tanto, el grupo de transformaciones proyectivas es el cociente del grupo lineal general por las matrices escalares llamadas el grupo lineal proyectivo .

Otro tipo de colinción de PG (2, K ) es inducido por cualquier automorfismo de K , estos se llaman colinciones automórficas . Si α es un automorfismo de K , entonces la colinción dada por (x ₀ , x ₁ , x ₂ ) → (x ₀ ^α , x ₁ ^α , x ₂ ^α) es una colinción automórfica. El teorema fundamental de la geometría proyectiva dice que todas las colinciones de PG (2, K ) son composiciones de homografías y colinajes automórficos. Las colinciones automórficas son colinciones planas.

Plano dualidad [ editar ]

Artículo principal: Dualidad (geometría proyectiva).

Más información: Estructura de incidencia § Estructura dual.

Un plano proyectivo se define axiomáticamente como una estructura de incidencia , en términos de un conjunto Pde puntos, un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que determina qué puntos se encuentran en qué líneas. Como P y L son solo conjuntos, uno puede intercambiar sus roles y definir una estructura dual plana .

Al intercambiar el papel de "puntos" y "líneas" en

C = ( P , L , I )

obtenemos la estructura dual

C * = ( L , P , I *),

donde I * es la relación inversa de la I .

En un plano proyectivo, una declaración que involucra puntos, líneas e incidencia entre ellos que se obtiene de otra declaración similar al intercambiar las palabras "punto" y "línea" y hacer todos los ajustes gramaticales que sean necesarios, se denomina la declaración dual plana del primer . La declaración dual del plano de "Dos puntos están en una línea única". es "Dos líneas se encuentran en un punto único". Formar el plano dual de una declaración se conoce como dualizar la declaración.

Si una afirmación es verdadera en un plano proyectivo C, entonces el plano dual de esa afirmación debe ser verdadero en el plano dual C *. Esto se sigue, ya que la dualización de cada declaración en la prueba "en C" da una declaración de la prueba "en C *".

En el plano proyectivo C, se puede mostrar que existen cuatro líneas, de las cuales tres no son concurrentes. La dualización de este teorema y los dos primeros axiomas en la definición de un plano proyectivo muestra que la estructura dual del plano C * también es un plano proyectivo, denominado plano dual de C.

Si C y C * son isomorfos, entonces C se llama auto-dual . Los planos proyectivos PG (2, K ) para cualquier anillo de división K son auto-duales. Sin embargo, hay planos no desarguesianos que no son auto-duales, como los planos Hall y algunos que lo son, como los planos Hughes. .

El Principio de la dualidad de planos dice que la dualización de cualquier teorema en un plano proyectivo auto-dual C produce otro teorema válido en C.

Correlaciones [ editar ]

Artículo principal: correlación (geometría proyectiva)

Una dualidad es un mapa desde un plano proyectivo C = ( P , L , I) a su plano dual C * = ( L , P , I *) (ver arriba ) que conserva la incidencia. Es decir, una dualidad σ asignará puntos a líneas y líneas a puntos ( P ^σ = L y L ^σ = P) de tal manera que si un punto Q está en una línea m (denotada por Q I m ) entonces Q ^σ I * m ^σ ⇔ m ^σYo Q ^σ . Una dualidad que es un isomorfismo se llama correlación . ^[9] Si existe una correlación, entonces el plano proyectivo C es auto-dual.

En el caso especial de que el plano proyectivo es del tipo PG (2, K ) , con K un anillo de división, una dualidad se llama reciprocidad . ^[10] Estos planos son siempre auto-duales. Por el teorema fundamental de la geometría proyectiva, una reciprocidad es la composición de una función automórfica de K y una homografía . Si el automorfismo involucrado es la identidad, entonces la reciprocidad se llama correlación proyectiva .

Una correlación de orden dos (una involución ) se llama polaridad . Si una correlación φ no es una polaridad, entonces φ ² es una colinción no trivial.

Planos proyectivos finitos [ editar ]

Se puede mostrar que un plano proyectivo tiene el mismo número de líneas que puntos (infinito o finito). Por lo tanto, para cada plano proyectivo finito hay un entero N ≥ 2 tal que el plano tiene

N ² + N + 1 puntos,

N ² + N + 1 líneas,

N + 1 puntos en cada línea, y

N + 1 líneas a través de cada punto.

El número N se llama orden del plano proyectivo.

El plano proyectivo de orden 2 se llama el plano de Fano . Véase también el artículo sobre geometría finita .

Usando la construcción del espacio vectorial con campos finitos, existe un plano proyectivo de orden N = p ⁿ , para cada potencia principal p ⁿ . De hecho, para todos los planos proyectivos finitos conocidos, el orden N es una potencia principal.

La existencia de planos proyectivos finitos de otras órdenes es una pregunta abierta. La única restricción general conocida en el pedido es el teorema de Bruck-Ryser-Chowla de que si el orden N es congruente con 1 o 2 mod 4, debe ser la suma de dos cuadrados. Esto descarta N = 6. El siguiente caso N = 10 ha sido descartado por cálculos masivos por computadora. Nada más se sabe; en particular, la cuestión de si existe un plano proyectivo finito de orden N = 12 aún está abierta.

Otro problema abierto de larga data es si existen planos proyectivos finitos de primer orden que no son planos de campo finitos (de manera equivalente, si existe un plano proyectivo no desarguesiano de primer orden).

Un plano proyectivo de orden N es un sistema Steiner S (2, N  + 1, N ²  +  N  + 1) (ver sistema Steiner ). A la inversa, uno puede probar que todos los sistemas Steiner de esta forma (λ = 2) son planos proyectivos.

El número de mutuamente cuadrados latinos ortogonales de orden N es como máximo N - 1. N - 1 existe si y sólo si existe un plano proyectivo de orden N .

Si bien la clasificación de todos los planos proyectivos está lejos de ser completa, los resultados son conocidos para pedidos pequeños:

• 2: todo isomorfo a PG (2,2)
• 3: todo isomorfo a PG (2,3)
• 4: todo isomorfo a PG (2,4)
• 5: todo isomorfo a PG (2,5)
• 6: imposible según el orden de un avión proyectivo, demostrado por Tarry que demostró que el problema de los treinta y seis oficiales de Euler no tiene solución. Sin embargo, la conexión entre estos problemas no se conocía hasta que Bose lo probó en 1938. ^[11]
• 7: todo isomorfo a PG (2,7)
• 8: todo isomorfo a PG (2,8)
• 9: PG (2,9) y otros tres planos no desarguesianos diferentes (no isomórficos) . (Todo descrito en ( Room & Kirkpatrick 1971 )).
• 10: imposible como un orden de un plano proyectivo, demostrado por el cálculo computarizado pesado. ^[12]
• 11: al menos PG (2,11), otras no se conocen pero son posibles.
• 12: se conjetura que es imposible como un orden de un plano proyectivo.

Planos proyectivos en espacios proyectivos de dimensiones superiores [ editar ]

Los planos proyectivos pueden considerarse como geometrías proyectivas de dimensión "geométrica" ​​dos. ^[13]Las geometrías proyectivas de dimensión superior pueden definirse en términos de relaciones de incidencia de una manera análoga a la definición de un plano proyectivo. Estos resultan ser más "modestos" que los planos proyectivos, ya que los grados adicionales de libertad permiten que el teorema de Desargues se demuestre geométricamente en la geometría de dimensión superior. Esto significa que el "anillo" de coordenadas asociado a la geometría debe ser un anillo de división (skewfield) K , y la geometría proyectiva es isomorfa a la construida a partir del espacio vectorial K ^d +1 , es decir, PG ( d , K). Como en la construcción dada anteriormente, los puntos del espacio proyectivo d- dimensional PG ( d , K ) son las líneas a través del origen en K ^{d + 1} y una línea en PG ( d , K ) corresponde a un plano a través del origen en K ^{d + 1} . De hecho, cada objeto i-dimensional en PG ( d , K ), con i < d , es un  subespacio vectorial ( i + 1) -dimensional (algebraico) de K ^{d + 1}("Pasa por el origen"). Los espacios proyectivos a su vez generalizan a los espacios grassmannianos .

Se puede mostrar que si el teorema de Desargues se sostiene en un espacio proyectivo de dimensión mayor que dos, entonces también debe mantenerse en todos los planos que están contenidos en ese espacio. Como hay planos proyectivos en los que falla el teorema de Desargues (planos no desarguesianos ), estos planos no pueden incrustarse en un espacio proyectivo de dimensión superior. Solo los planos de la construcción del espacio vectorial PG (2, K ) pueden aparecer en espacios proyectivos de dimensión superior. Algunas disciplinas en matemáticas restringen el significado de plano proyectivo solo a este tipo de plano proyectivo, ya que de otro modo las declaraciones generales sobre espacios proyectivos siempre tendrían que mencionar las excepciones cuando la dimensión geométrica sea dos.