GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

Una proyección de mapa gnomónico muestra todos los círculos grandes como líneas rectas, lo que da como resultado cualquier segmento de línea recta en un mapa gnomónico que muestra una geodésica , la ruta más corta entre los dos puntos finales del segmento. Esto se logra mediante el lanzamiento de puntos de superficie de la esfera en un plano tangente , cada aterrizaje donde un rayo desde el centro de la esfera pasa a través del punto en la superficie y luego pasa al plano. No se produce distorsión en el punto tangente, pero la distorsión aumenta rápidamente al alejarse de ella. Menos de la mitad de la esfera se puede proyectar en un mapa finito. En consecuencia, una lente fotográfica rectilínea , que se basa en el principio gnomónico, no puede obtener imágenes de más de 180 grados.

Historia [ editar ]

Se dice que la proyección gnomónica es la proyección de mapa más antigua, desarrollada por Thales en el siglo VI a. La trayectoria de la punta de la sombra o el punto de luz en un reloj de sol basado en nódulos traza las mismas hipérbola formadas por paralelos en un mapa gnomónico.

Propiedades [ editar ]

Como los meridianos y el ecuador son grandes círculos, siempre se muestran como líneas rectas en un mapa gnomónico.

• Si el punto tangente es uno de los polos, entonces los meridianos son radiales e igualmente espaciados. El ecuador está en el infinito en todas las direcciones. Otros paralelos se representan como círculosconcéntricos .
• Si el punto tangente no está en un polo o en el ecuador, entonces los meridianos son líneas rectas radialmente hacia afuera desde un polo, pero no están espaciadas por igual. El ecuador es una línea recta perpendicular a un solo meridiano, lo que indica que la proyección no es conforme . Otros paralelos se representan como secciones cónicas .
• Si el punto tangente está en el ecuador, los meridianos son paralelos pero no están espaciados por igual. El ecuador es una línea recta perpendicular a los meridianos. Otros paralelos se representan como hipérboles .

Los grandes círculos se transforman en líneas rectas a través de la proyección gnomónica.

Al igual que con todas las proyecciones azimutales , los ángulos desde el punto tangente se conservan. La distancia del mapa desde ese punto es una función r ( d ) de la distancia verdadera d , dada por

$${\ displaystyle r (d) = R \, \ tan {\ frac {d} {R}}}

donde R es el radio de la Tierra. La escala radial es

$${\ displaystyle r '(d) = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} {\ frac {d} {R}}}}}

y la escala transversal

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ cos {\ frac {d} {R}}}}}

así, la escala transversal aumenta hacia el exterior, y la escala radial aún más.

Utilizar [ editar ]

Las proyecciones gnomónicas se utilizan en el trabajo sísmico porque las ondas sísmicas tienden a viajar a lo largo de grandes círculos. Las armadas también los utilizan para trazar la dirección , ya que las señales de radioviajan a lo largo de grandes círculos. Los meteoros también viajan a lo largo de grandes círculos, con el Gnomonic Atlas Brno 2000.0 como el conjunto recomendado de cartas de estrellas de la OMI para las observaciones visuales de meteoros. Los pilotos de aeronaves y barcos usan la proyección para encontrar la ruta más corta entre el inicio y el destino.

La proyección gnomónica se utiliza ampliamente en fotografía , donde se denomina proyección rectilínea .

La proyección gnomónica se utiliza en astronomía donde el punto tangente se centra en el objeto de interés. La esfera que se proyecta en este caso es la esfera celeste, R  = 1, y no la superficie de la Tierra.

Comparación de la proyección gnomónica y algunas proyecciones azimutales centradas en 90 ° N en la misma escala, ordenadas por la altitud de proyección en los radios terrestres.

 Grassmannian Gr ( k , V ) es un espacio que parametriza todos los k - dimensional subespacios lineales de la n-dimensional espacio vectorial V . Por ejemplo, el Grassmannian Gr (1, V ) es el espacio de líneas a través del origen en V , por lo que es el mismo que el espacio proyectivo de una dimensión menor que V .

Cuando V es un espacio vectorial real o complejo, los Grassmannianos son colectores lisos y compactos . ^[1] En general tienen la estructura de una variedad algebraica suave , de dimensión$${\ displaystyle k (nk).}

El primer trabajo en un Grassmanniano no trivial se debe a Julius Plücker , quien estudió el conjunto de líneas en el espacio 3 proyectivo y las parametrizó por lo que ahora se llaman coordenadas de Plücker . Los Grassmannianos llevan el nombre de Hermann Grassmann , quien introdujo el concepto en general.

Las notaciones varían entre los autores, con $${\ displaystyle Gr_ {k} (V)}siendo equivalente a Gr ( k , V ) , y algunos autores usando $${\ displaystyle Gr_ {k} (n)}o Gr ( k , n ) para denotar el Grassmanniano de subespacios k- dimensionales de un espacio vectorial n- dimensional no especificado .

Motivación [ editar ]

Al dar a una colección de subespacios de un espacio vectorial una estructura topológica , es posible hablar de una elección continua de subespacio o colecciones abiertas y cerradas de subespacios; Al darles la estructura de una variedad diferencial, se puede hablar de opciones sin problemas de subespacio.

Un ejemplo natural proviene de los haces tangentes de múltiples lisos incrustados en el espacio euclidiano . Supongamos que tenemos una variedad M de dimensión k incrustada en R ⁿ . En cada punto x en M , el espacio tangente a M puede considerarse como un subespacio del espacio tangente de R ⁿ , que es solo R ⁿ . La asignación del mapa a x su espacio tangente define un mapa de M a Gr ( k , n ). (Para hacer esto, tenemos que traducir el espacio geométrico tangente a M para que pase por el origen en lugar de x , y por lo tanto define un subespacio vectorial de dimensión k . Esta idea es muy similar al mapa de Gauss para superficies en Un espacio tridimensional.

Esta idea puede extenderse con cierto esfuerzo a todos los conjuntos de vectores sobre una variedad M , de modo que cada conjunto de vectores genere un mapa continuo de M a un Grassmanniano adecuadamente generalizado, aunque debe demostrarse que varios teoremas de incrustación lo demuestran. Luego, encontramos que las propiedades de nuestros paquetes de vectores están relacionadas con las propiedades de los mapas correspondientes vistos como mapas continuos. En particular, encontramos que los haces de vectores que inducen mapas homotópicos al Grassmann son isomorfos. Pero la definición de homotópico se basa en una noción de continuidad y, por ende, en una topología.

Dimensiones bajas [ editar ]

Para k = 1 , Grassmannian Gr (1, n ) es el espacio de líneas a través del origen en el espacio n , por lo que es el mismo que el espacio proyectivo de n −1 dimensiones.

Para k = 2 , Grassmannian es el espacio de todos los planos bidimensionales que contienen el origen. En el espacio 3 euclidiano, un plano que contiene el origen se caracteriza completamente por la única línea a través del origen que es perpendicular a ese plano (y viceversa); por lo tanto, los espacios Gr (2, 3), Gr (1, 3) y P ²(el plano proyectivo ) pueden identificarse entre sí.

El Grassmanniano más simple que no es un espacio proyectivo es Gr (2, 4) , que se puede parametrizar a través de las coordenadas Plücker .

La definición geométrica del Grassmannian como un conjunto [ editar ]

Sea V una$${\ displaystyle n}espacio vectorial dimensional sobre un campo K . El Grassmannian Gr ( k , V ) es el conjunto de todos los k subespacios lineales -dimensional de V . El Grassmanniano también se denota Gr ( k , n ) o$${\ displaystyle Gr_ {k} (n)}.

El Grassmannian como un colector diferenciable [ editar ]

Para dotar al Grassmannian $${\ displaystyle Gr_ {k} (V)} Con la estructura de una variedad diferenciable, elija una base para $${\ displaystyle V}. Esto es equivalente a identificarlo con$${\ displaystyle V = K ^ {n}} con la base estandar, denotada $${\ displaystyle (e_ {1}, \ dots, e_ {n})}, vistos como vectores de columna. Entonces para cualquier$${\ displaystyle k} subespacio dimensional $${\ displaystyle w \ subset V}, visto como un elemento de $${\ displaystyle Gr_ {k} (V)}, podemos elegir una base consistente en $${\ displaystyle k} vectores de columna linealmente independientes $${\ displaystyle (W_ {1}, \ dots, W_ {k})}. Las coordenadas homogéneas del elemento. $${\ displaystyle w \ in Gr_ {k} (V)} consisten en los componentes de la $${\ displaystyle n \ times k} matriz rectangular $${\ displaystyle W} de rango máximo cuya $${\ displaystyle i}el vector de columna es $${\ displaystyle W_ {i}, \ quad i = 1, \ dots, k}. Dado que la elección de la base es arbitraria, dos matrices rectangulares de rango máximo$${\ displaystyle W} y $${\ displaystyle {\ tilde {W}}} representar el mismo elemento $${\ displaystyle w \ in Gr_ {k} (V)} si y solo si $${\ displaystyle {\ tilde {W}} = Wg} por algun elemento $${\ displaystyle g \ en GL (k, K)} del grupo lineal general de invertible $${\ displaystyle k \ times k} matrices con entradas en $${\ displaystyle K}.

Ahora definimos un atlas de coordenadas. Para cualquier$${\ displaystyle n \ times k} matriz $${\ displaystyle W}, podemos aplicar operaciones de columna elementales para obtener su forma escalonada de columna reducida . Si el primero$${\ displaystyle k} filas de $${\ displaystyle W} Son linealmente independientes, el resultado tendrá la forma.

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ & 1 \\ && \ ddots \\ &&& 1 \\ a_ {1,1} & \ cdots & \ cdots & a_ {1, k} \\\ vdots &&& \ vdots \\ a_ {nk, 1} & \ cdots & \ cdots & a_ {nk, k} \ end {bmatrix}}.

los $${\ displaystyle (nk) \ times k} matriz $${\ displaystyle A = (a_ {ij})} determina $${\ displaystyle w}. En general, los primeros$${\ displaystyle k} Las filas no necesitan ser independientes, pero para cualquier $${\ displaystyle W} cuyo rango es $${\ displaystyle k}, existe un conjunto ordenado de enteros {\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} <\ cdots  tal que la submatriz $${\ displaystyle W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} que consiste en la $${\ displaystyle i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}-th filas de $${\ displaystyle W}es no singular Podemos aplicar operaciones de columna para reducir esta submatriz a la identidad, y las entradas restantes corresponden únicamente a$${\ displaystyle w}. De ahí tenemos la siguiente definición:

Para cada conjunto ordenado de enteros {\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} <\ cdots , dejar $${\ displaystyle U_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} ser el conjunto de $${\ displaystyle n \ times k}matrices $${\ displaystyle W} cuyo $${\ displaystyle k \ times k} submatriz $${\ displaystyle W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} es no singular, donde el $${\ displaystyle j}la fila de $${\ displaystyle W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} es el $${\ displaystyle i_ {j}}la fila de $${\ displaystyle W}. La función de coordenadas en$${\ displaystyle U_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} entonces se define como el mapa $${\ displaystyle A ^ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} que envía $${\ displaystyle W} al $${\ displaystyle (nk) \ times k}matriz rectangular cuyas filas son las filas de la matriz $${\ displaystyle WW_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} ^ {- 1}} complementario a $${\ displaystyle (i_ {1}, \ dots, i_ {k})}. La elección de la matriz de coordenadas homogéneas.$${\ displaystyle W} representando el elemento $${\ displaystyle w \ in Gr_ {k} (V)} No afecta los valores de la matriz de coordenadas. $${\ displaystyle A ^ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} representando $${\ displaystyle w} en el barrio de coordenadas $${\ displaystyle U_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}. Además, las matrices de coordenadas.$${\ displaystyle A ^ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} pueden tomar valores arbitrarios, y definen un difeomorfismo de $${\ displaystyle U_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} en el espacio de $${\ displaystyle (nk) \ times k} dimensional $${\ displaystyle K}Matrices -valoradas.

En la superposición

$${\ displaystyle U_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} \ cap U_ {j_ {1}, \ dots, j_ {k}}}

de cualquiera de estas dos vecindades de coordenadas, los valores de la matriz de coordenadas están relacionados por la relación de transición

$${\ displaystyle A ^ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} = A ^ {j_ {1}, \ dots, j_ {k} } W_ {j_ {1}, \ dots, j_ {k}},}

donde ambos $${\ displaystyle W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} y $${\ displaystyle W_ {j_ {1}, \ dots, j_ {k}}}son invertibles. Por lo tanto$${\ displaystyle (U_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}, A ^ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}})} da un atlas de $${\ displaystyle Gr_ {k} (V)}.

El Grassmannian como un espacio homogéneo [ editar ]

La forma más rápida de darle al Grassmannian una estructura geométrica es expresarla como un espacio homogéneo . En primer lugar, recordar que el grupo lineal general GL ( V ) actúa transitivamente en los rsubespacios -dimensional de V . Por lo tanto, si H es el estabilizador de cualquiera de los subespacios bajo esta acción, tenemos

Gr ( r , V ) = GL ( V ) / H .

Si el campo subyacente es R o C y GL ( V ) se considera un grupo de Lie , entonces esta construcción convierte al Grassmannian en una variedad uniforme . También es posible utilizar otros grupos para hacer esta construcción. Para hacer esto, fijar un producto interno en V . Sobre R , uno reemplaza GL ( V ) por el grupo ortogonal O ( V ) , y al restringirse a marcos ortonormales, se obtiene la identidad

Gr ( r , n ) = O ( n ) / (O ( r ) × O ( n - r )) .

En particular, la dimensión del Grassmanniano es r ( n - r ) .

Sobre C , uno reemplaza GL ( V ) por el grupo unitario U ( V ) . Esto demuestra que el Grassmanniano es compacto . Estas construcciones también hacen que el Grassmannian en un espacio métrico : Para un subespacio W de V , deja P _W sea la proyección de V a W . Entonces

$${\ displaystyle d (W, W ') = \ lVert P_ {W} -P_ {W'} \ rVert,

donde || ⋅ || Denota la norma del operador , es una métrica en Gr ( r , V ) . El producto interno exacto utilizado no importa, porque un producto interno diferente dará una norma equivalente en V , y por lo tanto dará una métrica equivalente.

Si el campo de tierra k es arbitrario y GL ( V ) se considera como un grupo algebraico, entonces esta construcción muestra que el Grassmanniano es una variedad algebraica no singular . De la existencia de la incrustación Plücker se deduce que el Grassmanniano está completo como una variedad algebraica. En particular, H es un subgrupo parabólico de GL ( V ) .

El Grassmannian como un esquema [ editar ]

En el ámbito de la geometría algebraica , el Grassmanniano puede construirse como un esquema expresándolo como un functor representable . ^[2]

Functor representable [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}ser un cuasi-coherente gavilla en un esquema de S . Fijar un entero positivo r . Luego, a cada S-esquema T , el functor Grassmanniano asocia el conjunto de módulos de cociente de

$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {T}: = {\ mathcal {E}} \ otimes _ {O_ {S}} O_ {T}}

localmente libre de rango r en t . Denotamos este conjunto por$${\ displaystyle \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}} _ {T})}.

Este funtor es representable por un esquema S separado .$${\ displaystyle \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}})}. Este último es proyectivo si$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}Se genera finamente. Cuando S es el espectro de un campo k , entonces la gavilla$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}viene dada por un espacio vectorial V y recuperamos la variedad Grassmanniana habitual del espacio dual de V , a saber: Gr ( r , V ^∗ ) .

Por construcción, el esquema Grassmannian es compatible con los cambios de base: para cualquier S -Esquema S ' , tenemos un isomorfismo canónico

$${\ displaystyle \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}}) \ times _ {S} S '\ simeq \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}} _ {S'}) }

En particular, para cualquier punto s de S , el morfismo canónico { s } = Spec ( k ( s )) → S , induce un isomorfismo de la fibra$${\ displaystyle \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}}) _ {s}} a la habitual Grassmannian $${\ displaystyle {Gr} (r, {\ mathcal {E}} \ otimes _ {O_ {S}} k (s))}sobre el campo de residuos k ( s ) .

Familia universal [ editar ]

Dado que el esquema Grassmanniano representa un funtor, viene con un objeto universal, $${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}, que es objeto de

$${\ displaystyle \ mathbf {Gr} \ left (r, {\ mathcal {E}} _ {\ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}})} \ right),

y por lo tanto un módulo cociente. $${\ displaystyle {\ mathcal {G}}} de $${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {\ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}})}}, localmente libre de rango r sobre$${\ displaystyle \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}})}. El cociente homomorfismo induce una inmersión cerrada desde el haz proyectivo.$${\ displaystyle \ mathbf {P} ({\ mathcal {G}})}:

$${\ displaystyle \ mathbf {P} ({\ mathcal {G}}) \ to \ mathbf {P} \ left ({\ mathcal {E}} _ {\ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E} })} \ right) = \ mathbf {P} ({\ mathcal {E}}) \ times _ {S} \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}}).}

Para cualquier morfismo de esquemas S :

$${\ displaystyle T \ to \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}}),}

Esta inmersión cerrada induce una inmersión cerrada.

$${\ displaystyle \ mathbf {P} ({\ mathcal {G}} _ {T}) \ to \ mathbf {P} ({\ mathcal {E}}) \ times _ {S} T.}

A la inversa, cualquier inmersión cerrada de este tipo proviene de un homomorfismo suprayectivo de los módulos O _T de$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {T}}a un módulo localmente gratuito de rango r . ^[3] Por lo tanto, los elementos de$${\ displaystyle \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}}) (T)}son exactamente los subbundles proyectivos de rango r en

$${\ displaystyle \ mathbf {P} ({\ mathcal {E}}) \ times _ {S} T.}

Bajo esta identificación, cuando T = S es el espectro de un campo k y$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}Está dada por un espacio vectorial V , el conjunto de puntos racionales.$${\ displaystyle \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}}) (k)}corresponden a los subespacios lineales proyectivos de la dimensión r - 1 en P ( V ) , y la imagen de$${\ displaystyle \ mathbf {P} ({\ mathcal {G}}) (k)} en

$${\ displaystyle \ mathbf {P} (V) \ times _ {k} \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}})}

es el conjunto

$${\ displaystyle \ {(x, v) \ in \ mathbf {P} (V) (k) \ times \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}}) (k) \ mid x \ in v \}.}

La incorporación de Plücker [ editar ]

Artículo principal: Plücker embedding

La incrustación Plücker es una incrustación natural del Grassmannian$${\ displaystyle \ \ mathbf {Gr} (k, V)} En la proyectivización del álgebra exterior. $${\ displaystyle \ bigwedge ^ {k} V}:

$${\ displaystyle \ iota: \ mathbf {Gr} (k, V) \ to \ mathbf {P} \ left (\ bigwedge ^ {k} V \ right).}

Supongamos que W es un subespacio k- dimensional del$${\ displaystyle n}dimensional espacio vectorial V . Definir$${\ displaystyle \ iota (W)}, elige una base { w ₁ , ..., w _k }, de W , y deja$${\ displaystyle \ iota (M)} Ser el producto en cuña de estos elementos básicos:

$${\ displaystyle \ iota (W) = [w_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge w_ {k}].}

Una base diferente para W dará un producto de cuña diferente, pero los dos productos diferirán solo por un escalar distinto de cero (el determinante del cambio de la matriz de base). Dado que el lado derecho toma valores en un espacio proyectivo,$${\ displaystyle \ iota}está bien definido. Para ver eso$${\ displaystyle \ iota} Es una incrustación, aviso que es posible recuperar. $${\ displaystyle W} desde $${\ displaystyle \ iota} como el lapso del conjunto de todos los vectores $${\ displaystyle w} tal que $${\ displaystyle w \ wedge \ iota (W) = 0}.

Las coordenadas de Plücker y las relaciones de Plücker [ editar ]

La inserción Plücker del Grassmanniano satisface algunas relaciones cuadráticas muy simples llamadas relaciones Plücker . Estos muestran que Grassmannian se incrusta como una subvariedad algebraica de P (∧ ^k V ) y da otro método para construir el Grassmann. Para establecer las relaciones de Plücker, arregle una base { e ₁ , ..., e _n } de V , y sea W un subespacio k- dimensional de V con base { w ₁ , ..., w _k }. Vamos ( w _i1, ...,w _en ) sean las coordenadas de w _i con respecto a la base { e ₁ , ..., e _n } de V , sea

{\ displaystyle {\ mathsf {W}} = {\ begin {bmatrix} w_ {11} & \ cdots & w_ {1n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ w_ {k1} & \ cdots & w_ {kn } \ end {bmatrix}},}

y sean { W ₁ , ..., W _n } las columnas de$${\ displaystyle {\ mathsf {W}}}. Para cualquier secuencia ordenada. {\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} <\ cdots  de $${\ displaystyle k}enteros positivos, vamos $${\ displaystyle W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} ser el determinante de la $${\ displaystyle k \ times k} matriz con columnas $${\ displaystyle W_ {i_ {1}}, \ dots, W_ {i_ {k}}}. El conjunto{\ displaystyle \ {W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}: 1 \ leq i_ {1} <\ cdots Se llama las coordenadas Plücker del elemento.$${\ displaystyle W}del Grassmanniano (con respecto a la base { e ₁ , ..., e _n } de V ). Son las coordenadas lineales de la imagen.$${\ displaystyle \ iota (W)}de $${\ displaystyle W} bajo el mapa Plücker, en relación con la base del poder exterior $${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} V}inducido por la base { e ₁ , ..., e _n }de V .

Para cualesquiera dos secuencias ordenadas {\ displaystyle 1 \ leq i_ {1}  y {\ displaystyle 1 \ leq j_ {1}  de $${\ displaystyle k-1} y $${\ displaystyle k + 1}los enteros positivos, resp., las siguientes ecuaciones homogéneas son válidas y determinan la imagen de W bajo la incrustación Plücker:

$${\ displaystyle \ sum _ {\ ell = 1} ^ {k + 1} W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k-1}, j _ {\ ell}} W_ {j_ {1}, \ dots , {\ widehat {j _ {\ ell}}}, \ dots j_ {k + 1}} = 0,}

dónde $${\ displaystyle j_ {1}, \ ldots, {\ widehat {j _ {\ ell}}}, \ ldots j_ {k + 1}} denota la secuencia $${\ displaystyle j_ {1}, \ ldots, j_ {k + 1}} con el termino $${\ displaystyle j _ {\ ell}} omitido

Cuando dim ( V ) = 4 , y k = 2 , el Grassmanniano más simple que no es un espacio proyectivo, lo anterior se reduce a una sola ecuación. Denotando las coordenadas de P (∧ ^k V ) por W ₁₂ , W ₁₃ , W ₁₄ , W ₂₃ , W ₂₄ , W ₃₄ , la imagen de Gr (2, V ) debajo del mapa Plücker se define mediante la ecuación única

W ₁₂ W ₃₄ - W ₁₃ W ₂₄ + W ₂₃ W ₁₄ = 0.

En general, sin embargo, se necesitan muchas más ecuaciones para definir la inserción Plücker de un Grassmanniano en el espacio proyectivo. ^[4]

El Grassmanniano como una verdadera variedad algebraica afín [ editar ]

Deje Gr ( r , R ⁿ ) denota el Grassmannian de r subespacios -dimensional de R ⁿ . Sea M ( n , R ) el espacio de matrices reales n × n . Considere el conjunto de matrices A ( r , n ) ⊂ M ( n , R ) definido por X ∈ A ( r , n )si y solo si se cumplen las tres condiciones:

• X es un operador de proyección: X ² = X .
• X es simétrica: X ^t = X .
• X tiene traza r : tr ( X ) = r .

A ( r , n ) y Gr ( r , R ⁿ ) son homeomorfos, con una correspondencia establecida mediante el envío deX ∈ A ( r , n ) al espacio de la columna de X .

La dualidad [ editar ]

Cada r subespacio -dimensional W de V determina un ( n - r ) -dimensional espacio cociente V / W de V . Esto da la secuencia exacta corta natural :

0 → W → V → V / W → 0 .

Tomando el dual a cada uno de estos tres espacios y transformaciones lineales se obtiene una inclusión de ( V / W ) ^∗ en V ^∗ con cociente W ^∗ :

0 → ( V / W ) ^∗ → V ^∗ → W ^∗ → 0 .

El uso del isomorfismo natural de un espacio vectorial de dimensión finita con su doble doble muestra que al volver a tomar el dual se recupera la secuencia exacta corta original. En consecuencia, hay una correspondencia uno a uno entre los subespacios r- dimensionales de V y los subespacios ( n - r ) tridimensionales de V ^∗ . En términos del Grassmanniano, este es un isomorfismo canónico.

Gr ( r , V ) ≅ Gr ( n - r , V ^∗ ) .

La elección de un isomorfismo de V con V ^∗ determina un isomorfismo (no canónico) de Gr ( r , V ) y Gr ( n - r , V ) . Un isomorfismo de V con V ^* es equivalente a una elección de un producto interno , y con respecto al producto interior elegido, este isomorfismo de Grassmannians envía un r subespacio -dimensional en su ( n - r ) -dimensional complemento ortogonal.

Células de Schubert [ editar ]

El estudio detallado de los Grassmannianos utiliza una descomposición en subconjuntos llamados células de Schubert , que se aplicaron por primera vez en geometría enumerativa . Las celdas de Schubert para Gr ( r , n )se definen en términos de un indicador auxiliar : tomar subespacios V ₁ , V ₂ , ..., V _r , con V _i ⊂ V _{i + 1} . Luego consideramos el subconjunto correspondiente de Gr ( r , n ) , que consiste enWteniendo una intersección con V _i de dimensión al menos i , para i = 1, ..., r . La manipulación de las células de Schubert es el cálculo de Schubert .

Aquí hay un ejemplo de la técnica. Considere el problema de determinar la característica de Euler de la Grassmannian de r subespacios -dimensional de R ⁿ . Arregle un subespacio 1 d R ⊂ R ⁿ y considere la partición de Gr ( r , n ) en esos subespacios r- dimensionales de R ⁿ que contienen R y los que no. El primero es Gr ( r - 1, n - 1) y el último es un paquete vectorial r -dimensional sobreGr ( r , n - 1) . Esto da fórmulas recursivas:

$${\ displaystyle \ chi _ {r, n} = \ chi _ {r-1, n-1} + (- 1) ^ {r} \ chi _ {r, n-1}, \ qquad \ chi _ { 0, n} = \ chi _ {n, n} = 1.}

Si uno resuelve esta relación de recurrencia, obtiene la fórmula: χ _{r, n} = 0 si y solo si n es par y r es impar. De otra manera:

$${\ displaystyle \ chi _ {r, n} = {\ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor \ elegir \ lfloor {\ frac {r} {2}} \ rfloor}.}

Anillo de cohomología del complejo Grassmanniano [ editar ]

Cada punto en el complejo Grassmannian manifold Gr ( r , n ) define un r -plane en n -space. Fiberando estos planos sobre el de Grassmann, se llega al paquete vectorial E, que generaliza el paquete tautológico de un espacio proyectivo . Del mismo modo el ( n - r ) -dimensional complementos ortogonales de estos planos producen un vector haz ortogonal F . La cohomología integral de los Grassmannianos se genera, como un anillo, por las clases de Chern.de e . En particular, toda la cohomología integral está en un grado uniforme como en el caso de un espacio proyectivo.

Estos generadores están sujetos a un conjunto de relaciones, que definen el anillo. Las relaciones que definen son fáciles de expresar un conjunto más amplio de los generadores, que consiste en las clases de Chern de E y F . Luego, las relaciones simplemente afirman que la suma directa de los paquetes E y F es trivial. La funcionalidad de las clases totales de Chern permite escribir esta relación como

$${\ displaystyle c (E) c (F) = 1.}

El anillo de cohomología cuántica fue calculado por Edward Witten en el Álgebra Verlinde y la Cohomología del Grassmanniano . Los generadores son idénticos a los del anillo de cohomología clásico, pero la relación superior se cambia a

$${\ displaystyle c_ {k} (E) c_ {nk} (F) = (- 1) ^ {nr}}

que refleja la existencia en el correspondiente teoría de campo cuántico de un instantón con 2 n fermionic cero modos que viola el grado de la cohomología correspondiente a un estado por 2 n unidades.

Medida asociada [ editar ]

Cuando V es n espacio euclidiano dimensional, se puede definir una medida uniforme sobre Gr ( r , n ) de la siguiente manera. Deje θ _n sea la unidad de medida de Haar en el grupo ortogonal O ( n ) y fijar V en Gr ( r , n ). Luego para un conjunto A ⊆ Gr ( r , n ) , defina

$${\ displaystyle \ gamma _ {r, n} (A) = \ theta _ {n} \ {g \ in \ operatorname {O} (n): gV \ in A \}.}

Esta medida es invariante bajo las acciones del grupo O ( n ) , es decir, γ _{r, n} ( gA ) = γ _{r, n} ( A ) para todos los gen O ( n ) . Como θ _n (O ( n )) = 1 , tenemos γ _{r, n} ( Gr ( r , n )) = 1 . Además, γ _{r, n} es una medida de radóncon respecto a la topología del espacio métrico y es uniforme en el sentido de que cada bola del mismo radio (con respecto a esta métrica) es de la misma medida.

Orientada Grassmannian [ editar ]

Esta es la variedad que consiste en todos los subespacios r -orientales orientados de R ⁿ . Es una portada doble de Gr ( r , n ) y se denota por:

$${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {Gr}}} (r, n).}

Como espacio homogéneo se puede expresar como:

$${\ displaystyle \ operatorname {SO} (n) / (\ operatorname {SO} (r) \ times \ operatorname {SO} (nr)).}

Aplicaciones [ editar ]

Los colectores Grassmann han encontrado aplicación en tareas de visión por computadora del reconocimiento facial basado en video y el reconocimiento de formas. ^[5] También se utilizan en la técnica de visualización de datos conocida como la gran gira .

Los Grassmannianos permiten que las amplitudes de dispersión de las partículas subatómicas se calculen a través de un constructo Grassmanniano positivo llamado amplituedro .