GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

métrica de estudio de Fubini es una métrica de Kähler en el espacio proyectivo de Hilbert , es decir, en un espacio proyectivo complejo CP ⁿ dotado de una forma hermitiana . Esta métrica fue descrita originalmente en 1904 y 1905 por Guido Fubini y Eduard Study .

Una forma hermitiana en (el espacio vectorial) C ^n +1 define un subgrupo unitario U ( n +1) en GL ( n +1, C ). Una métrica de estudio de Fubini se determina hasta la homotety (escala global) por invariancia bajo tal acción U ( n+1); Por eso es homogéneo. Equipado con una métrica de estudio de Fubini, CP ⁿ es un espacio simétrico . La normalización particular en la métrica depende de la aplicación. En la geometría riemanniana , se usa una normalización de modo que la métrica de estudio de Fubini simplemente se relaciona con la métrica estándar en la esfera (2 n +1) . EnEn la geometría algebraica , se utiliza una normalización que hace de CP ⁿ una variedad Hodge .

Construcción [ editar ]

La métrica de estudio de Fubini surge naturalmente en la construcción del espacio de cociente del espacio proyectivo complejo .

Específicamente, uno puede definir que CP ⁿ es el espacio que consiste en todas las líneas complejas en C ^n +1 , es decir, el cociente de C ^n +1 \ {0} por la relación de equivalencia que relaciona todos los múltiplos complejos de cada punto juntos. Esto concuerda con el cociente por la acción del grupo diagonal del grupo multiplicativo C ^*  =  C  \ {0}:

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\,\right\}/\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}$

Este cociente realiza C ^n +1 \ {0} como un paquete de líneas complejas sobre el espacio base CP ⁿ . (De hecho, este es el llamado paquete tautológico sobre CP ⁿ .) Un punto de CP ⁿ se identifica así con una clase de equivalencia de ( n +1) -tuples [ Z ₀ , ..., Z _n ] módulo no cero complejo reescalamiento Las z _i se llaman coordenadas homogéneas del punto.

Además, uno puede darse cuenta de este cociente en dos pasos: dado que la multiplicación por un complejo no cero escalar z  =  R  e ^iθ puede considerarse de manera única como la composición de una dilatación por el módulo R seguida de una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen por un ángulo$${\ displaystyle \ theta}, el cociente C ^n +1  →  CP ^{n se} divide en dos partes.

$${\ displaystyle \ mathbf {C} ^ {n + 1} \ setminus \ {0 \} {\ stackrel {(a)} {\ longrightarrow}} S ^ {2n + 1} {\ stackrel {(b)} { \ longrightarrow}} \ mathbf {CP} ^ {n}}

donde la etapa (a) es un cociente por la dilatación Z  ~  R Z para R  ∈  R ⁺ , el grupo multiplicativo de los números reales positivos , y la etapa (b) es un cociente por las rotaciones Z  ~  e ^iθ Z .

El resultado del cociente en (a) es la hiperesfera real S ^2 n +1 definida por la ecuación | Z | ² = | Z ₀ | ²  + ... + | Z _n| ²  = 1. El cociente en (b) realiza CP ⁿ  =  S ^{2 n + 1} / S ¹ , donde S ¹ representa el grupo de rotaciones. Este cociente se realiza explícitamente por la famosa fibración de Hopf S ¹  →  S ^2 n +1  → CP ⁿ , cuyas fibras se encuentran entre los grandes círculos de$${\ displaystyle S ^ {2n + 1}}.

Como un cociente métrico [ editar ]

Cuando se toma un cociente de una variedad Riemanniana (o espacio métrico en general), se debe tener cuidado para garantizar que el espacio del cociente esté dotado de una métrica bien definida. Por ejemplo, si un grupo G actúa sobre una variedad de Riemann ( X , g ), entonces para que la órbita X / G posea una métrica inducida,$${\ displaystyle g}debe ser constante a lo largo de G -abits en el sentido de que para cualquier elemento h  ∈  G y par de campos vectoriales$${\ displaystyle X, Y}debemos tener g ( Xh , Yh ) =  g ( X , Y ).

La métrica estándar de Hermitian en C ^n +1 se da en la base estándar por

$${\ displaystyle ds ^ {2} = d \ mathbf {Z} \ otimes d {\ overline {\ mathbf {Z}}} = dZ_ {0} \ otimes d {\ overline {Z_ {0}}} + \ cdots + dZ_ {n} \ otimes d {\ overline {Z_ {n}}}}

cuya realización es la métrica euclidiana estándar en R ^2 n +2 . Esta métrica no es invariante bajo la acción diagonal de C ^* , por lo que no podemos empujarla directamente a CP ⁿ en el cociente. Sin embargo, esta métrica es invariante bajo la acción diagonal de S ¹  = U (1), el grupo de rotaciones. Por lo tanto, el paso (b) en la construcción anterior es posible una vez que el paso (a) se realiza.

La métrica de estudio de Fubini es la métrica inducida en el cociente CP ⁿ  =  S ^2 n +1 / S ¹ , donde$${\ displaystyle S ^ {2n + 1}}lleva la llamada "métrica redonda" dotada de ella por la restricción de la métrica euclidiana estándar a la unidad de hiperesfera.

En coordenadas afines locales [ editar ]

Correspondiente a un punto en CP ⁿ con coordenadas homogéneas ( Z ₀ , ..., Z _n ), hay un conjunto único de ncoordenadas ( z ₁ , ..., z _n ) tal que

${\displaystyle [Z_{0},\dots ,Z_{n}]{\sim }[1,z_{1},\dots ,z_{n}],}$

siempre Z ₀  ≠ 0; específicamente, z _j  =  Z _j / Z ₀ . El ( z ₁ , ..., z _n ) forma un sistema de coordenadas afines para CP ⁿ en el parche de coordenadas U ₀ = { Z ₀  ≠ 0}. Uno puede desarrollar un sistema de coordenadas afines en cualquiera de los parches de coordenadas U _i  = { Z _i  ≠ 0} al dividir en lugar de Z _i de la manera obvia. Los parches de coordenadas n +1 U_i cubrir CP ⁿ , y es posible dar la métrica explícitamente en términos de las coordenadas afines ( z ₁ , ..., z _n ) en U _i . Las coordenadas derivadas definen un marco.$${\ displaystyle \ {\ partial _ {1}, \ ldots, \ partial _ {n} \}}del paquete holomorfo tangente de CP ⁿ , en términos de los cuales la métrica Fubini-Estudio tiene componentes hermitianos

$${\ displaystyle h_ {i {\ bar {j}}} = h (\ partial _ {i}, {\ bar {\ partial}} _ {j}) = {\ frac {(1+ | \ mathbf {z } | ^ {2}) \ delta _ {i {\ bar {j}}} - {\ bar {z}} _ {i} z_ {j}} {(1+ | \ mathbf {z} | ^ { 2}) ^ {2}}}.}

donde | z | ²  = | z ₁ | ² + ... + | z _n | ² . Es decir, la matriz hermitiana de la métrica de estudio de Fubini en este marco es

{\ displaystyle {\ bigl (} h_ {i {\ bar {j}}} {\ bigr)} = {\ frac {1} {(1+ | \ mathbf {z} | ^ {2}) ^ {2 }}} \ left [{\ begin {array} {cccc} 1+ | \ mathbf {z} | ^ {2} - | z_ {1} | ^ {2} & - {\ bar {z}} _ { 1} z_ {2} & \ cdots & - {\ bar {z}} _ {1} z_ {n} \\ - {\ bar {z}} _ {2} z_ {1} & 1 + | \ mathbf {z } | ^ {2} - | z_ {2} | ^ {2} & \ cdots & - {\ bar {z}} _ {2} z_ {n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ - {\ bar {z}} _ {n} z_ {1} & - {\ bar {z}} _ {n} z_ {2} & \ cdots & 1 + | \ mathbf {z} | ^ {2} - | z_ {n} | ^ {2} \ end {array}} \ right]}

Tenga en cuenta que cada elemento de la matriz es unitario-invariante: la acción diagonal $${\ displaystyle \ mathbf {z} \ mapsto e ^ {i \ theta} \ mathbf {z}} dejará esta matriz sin cambios.

En consecuencia, el elemento de línea está dado por

{\ displaystyle {\ begin {alineado} ds ^ {2} & = {\ frac {(1+ | \ mathbf {z} | ^ {2}) | d \ mathbf {z} | ^ {2} - ({ \ bar {\ mathbf {z}}} \ cdot d \ mathbf {z}) (\ mathbf {z} \ cdot d {\ bar {\ mathbf {z}}})} {(1+ | \ mathbf {z } | ^ {2}) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {(1 + z_ {i} {\ bar {z}} ^ {i}) dz_ {j} d {\ bar {z }} ^ {j} - {\ bar {z}} ^ {j} z_ {i} dz_ {j} d {\ bar {z}} ^ {i}} {(1 + z_ {i} {\ bar {z}} ^ {i}) ^ {2}}}. \ end {alineado}}}

En esta última expresión, la convención de suma se utiliza para sumar los índices latinos i , j que van de 1 a n .

La métrica se puede derivar del siguiente potencial de Kähler:

$${\ displaystyle K = \ ln (1+ \ delta _ {ij ^ {*}} z ^ {i} {\ bar {z}} ^ {j ^ {*}})}

como

$${\ displaystyle g_ {ij ^ {*}} = K_ {ij ^ {*}} = {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial z ^ {i} \ parcial {\ bar {z}} ^ {j ^ {*}}}} K}

Coordenadas homogéneas [ editar ]

También es posible una expresión en las coordenadas homogéneas Z  = [ Z ₀ , ..., Z _n ]. Formalmente, sujeto a interpretar adecuadamente las expresiones involucradas, uno tiene

{\ displaystyle {\ begin {alineado} ds ^ {2} & = {\ frac {| \ mathbf {Z} | ^ {2} | d \ mathbf {Z} | ^ {2} - ({\ bar {\ mathbf {Z}}} \ cdot d \ mathbf {Z}) (\ mathbf {Z} \ cdot d {\ bar {\ mathbf {Z}}})} {| \ mathbf {Z} | ^ {4}} } \\ & = {\ frac {Z _ {\ alpha} {\ bar {Z}} ^ {\ alpha} dZ _ {\ beta} d {\ bar {Z}} ^ {\ beta} - {\ bar {Z }} ^ {\ alpha} Z _ {\ beta} dZ _ {\ alpha} d {\ bar {Z}} ^ {\ beta}} {(Z _ {\ alpha} {\ bar {Z}} ^ {\ alpha} ) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {2Z _ {[\ alpha} dZ _ {\ beta]} {\ overline {Z}} ^ {[\ alpha} {\ overline {dZ}} ^ {\ beta]}} {\ left (Z _ {\ alpha} {\ overline {Z}} ^ {\ alpha} \ right) ^ {2}}}. \ end {alineado}}}

Aquí, la convención de suma se usa para sumar los índices griegos α β que van de 0 a n , y en la última igualdad se usa la notación estándar para la parte sesgada de un tensor:

$${\ displaystyle Z _ {[\ alpha} W _ {\ beta]} = {\ frac {1} {2}} \ left (Z _ {\ alpha} W _ {\ beta} -Z _ {\ beta} W _ {\ alpha} \Correcto).}

Ahora, esta expresión para d s ² aparentemente define un tensor en el espacio total del paquete tautológico C ⁿ⁺¹ \ {0}. Debe entenderse correctamente como un tensor en CP ⁿ tirando de él hacia atrás a lo largo de una sección holomórfica σ del paquete tautológico de CP ⁿ . Entonces, queda por verificar que el valor del retroceso sea independiente de la elección de la sección: esto se puede hacer mediante un cálculo directo.

La forma Kähler de esta métrica es, hasta una normalización constante general,

$${\ displaystyle \ omega = i \ partial {\ overline {\ partial}} \ log | \ mathbf {Z} | ^ {2}}

cuyo retroceso es claramente independiente de la elección de la sección holomórfica. La cantidad de registro | Z | ² es el escalar de Kähler de CP ⁿ .

El caso n = 1 [ editar ]

Cuando n = 1, hay un difeomorfismo$${\ displaystyle S ^ {2} \ cong \ mathbb {CP} ^ {1}}Dada por proyección estereográfica . Esto conduce a la "especial" fibración de Hopf S ¹  →  S ³  →  S ² . Cuando la métrica de estudio de Fubini se escribe en coordenadas en CP ¹ , su restricción al paquete tangente real produce una expresión de la "métrica redonda" ordinaria de radio 1/2 (y curvatura gaussiana 4) en S ² .

A saber, si z  =  x  + i y es el gráfico de coordenadas afines estándar en la esfera de Riemann CP ¹ y x  =  r  cosθ, y  =  r  sinθ son coordenadas polares en C , entonces un cálculo de rutina muestra

$${\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {\ operatorname {Re} (dz \ otimes d {\ overline {z}})} {\ left (1+ | z | ^ {2} \ right) ^ { 2}}} = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {\ left (1 + r ^ {2} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {4 }} (d \ phi ^ {2} + \ sin ^ {2} \ phi \, d \ theta ^ {2}) = {\ frac {1} {4}} ds_ {us} ^ {2}}

dónde $${\ displaystyle ds_ {us} ^ {2}}Es la métrica redonda en la unidad 2-esfera. Aquí φ, θ son " coordenadas esféricas del matemático " en S ² provenientes de la proyección estereográfica r  tan (φ / 2) = 1, tanθ =  y / x . (Muchas referencias físicas intercambian los roles de φ y θ.)

Propiedades de la curvatura [ editar ]

En el caso especial n = 1, la métrica de estudio de Fubini tiene una curvatura seccional constante idénticamente igual a 4, de acuerdo con la equivalencia con la métrica redonda de la esfera 2 (que dado un radio R tiene una curvatura seccional$${\ displaystyle 1 / R ^ {2}}). Sin embargo, para n > 1, la métrica de estudio de Fubini no tiene una curvatura constante. Su curvatura seccional está dada por la ecuación ^[1]

$${\ displaystyle K (\ sigma) = 1 + 3 \ langle JX, Y \ rangle ^ {2}}

dónde $${\ displaystyle \ {X, Y \} \ en T_ {p} \ mathbf {CP} ^ {n}}es una base ortonormal de σ de 2 planos, J  :  T CP ⁿ  →  T CP ⁿ es la estructura compleja en CP ⁿ , y$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle} Es la métrica de estudio de Fubini.

Una consecuencia de esta fórmula es que la curvatura seccional satisface $${\ displaystyle 1 \ leq K (\ sigma) \ leq 4} para todos los 2 planos $${\ displaystyle \ sigma}. La curvatura máxima de sección (4) se alcanza en un plano holomórfico 2, uno para el cual J (σ) ⊂ σ, mientras que la curvatura mínima de sección (1) se alcanza en un plano 2 para el cual J (σ) es ortogonal a σ. Por esta razón, a menudo se dice que la métrica de Estudio de Fubini tiene una " curvatura de sección holomórficaconstante" igual a 4.

Esto hace que CP ^{n sea} un distribuidor pinchado (no estricto) ; un célebre teorema muestra que un colector nestrictamente conectado y estrictamente conectado debe ser homeomórfico a una esfera.

La métrica de estudio de Fubini también es una métrica de Einstein en el sentido de que es proporcional a su propio tensor de Ricci : existe una constante λ tal que para todo i , j tenemos

$${\ displaystyle Ric_ {ij} = \ lambda g_ {ij}}.

Esto implica, entre otras cosas, que la métrica de estudio de Fubini permanece sin cambios hasta un múltiplo escalar bajo el flujo de Ricci . También hace que CP ^{n sea} indispensable para la teoría de la relatividad general , donde sirve como una solución no trivial a las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío .

En la mecánica cuántica [ editar ]

En mecánica cuántica , la métrica de estudio de Fubini también se conoce como la métrica de Bures . ^[2] Sin embargo, la métrica de Bures se define típicamente en la notación de estados mixtos , mientras que la siguiente exposición se escribe en términos de un estado puro . La parte real de la métrica es (cuatro veces) la métrica de información de Fisher . ^[2]

La métrica de estudio de Fubini se puede escribir utilizando la notación bra-ket usada comúnmente en mecánica cuántica o la notación de variedades proyectivas de geometría algebraica . Para igualar explícitamente estos dos idiomas, vamos a

$${\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle = \ sum _ {k = 0} ^ {n} Z_ {k} \ vert e_ {k} \ rangle = [Z_ {0}: Z_ {1}: \ ldots: Z_ {norte}]}

dónde $${\ displaystyle \ {\ vert e_ {k} \ rangle \}}es un conjunto de vectores de base ortonormal para el espacio de Hilbert , el$${\ displaystyle Z_ {k}} son números complejos, y $${\ displaystyle Z _ {\ alpha} = [Z_ {0}: Z_ {1}: \ ldots: Z_ {n}]} Es la notación estándar para un punto en el espacio proyectivo. $${\ displaystyle \ mathbb {C} P ^ {n}}En coordenadas homogéneas . Luego, se le dan dos puntos.$${\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle = Z _ {\ alpha}} y $${\ displaystyle \ vert \ phi \ rangle = W _ {\ alpha}} en el espacio, la distancia entre ellos es

$${\ displaystyle \ gamma (\ psi, \ phi) = \ arccos {\ sqrt {\ frac {\ langle \ psi \ vert \ phi \ rangle \; \ langle \ phi \ vert \ psi \ rangle} {\ langle \ psi \ vert \ psi \ rangle \; \ langle \ phi \ vert \ phi \ rangle}}}}

o, equivalentemente, en notación proyectiva de variedades,

$${\ displaystyle \ gamma (\ psi, \ phi) = \ gamma (Z, W) = \ arccos {\ sqrt {\ frac {Z _ {\ alpha} {\ overline {W}} ^ {\ alpha} \; W_ {\ beta} {\ overline {Z}} ^ {\ beta}} {Z _ {\ alpha} {\ overline {Z}} ^ {\ alpha} \; W _ {\ beta} {\ overline {W}} ^ {\ beta}}}}.}

Aquí, $${\ displaystyle {\ overline {Z}} ^ {\ alpha}}es el complejo conjugado de$${\ displaystyle Z _ {\ alpha}}. La apariencia de$${\ displaystyle \ langle \ psi \ vert \ psi \ rangle} en el denominador es un recordatorio de que $${\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle} y de la misma manera $${\ displaystyle \ vert \ phi \ rangle}no se normalizaron a unidad de longitud; Así, la normalización se hace explícita aquí. En el espacio de Hilbert, la métrica puede interpretarse más bien de manera trivial como el ángulo entre dos vectores; por eso ocasionalmente se le llama el ángulo cuántico . El ángulo es de valor real y va de 0 a$${\ displaystyle \ pi / 2}.

La forma infinitesimal de esta métrica se puede obtener rápidamente tomando $${\ displaystyle \ phi = \ psi + \ delta \ psi}, o equivalente, $${\ displaystyle W _ {\ alpha} = Z _ {\ alpha} + dZ _ {\ alpha}} para obtener

$${\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {\ langle \ delta \ psi \ vert \ delta \ psi \ rangle} {\ langle \ psi \ vert \ psi \ rangle}} - {\ frac {\ langle \ delta \ psi \ vert \ psi \ rangle \; \ langle \ psi \ vert \ delta \ psi \ rangle} {{\ langle \ psi \ vert \ psi \ rangle} ^ {2}}}.}

En el contexto de la mecánica cuántica , CP ¹ se llama la esfera de Bloch ; La métrica de estudio de Fubini es la métrica natural para la geometrización de la mecánica cuántica. Gran parte del comportamiento peculiar de la mecánica cuántica, incluido el entrelazamiento cuántico y el efecto de fase de Berry , puede atribuirse a las peculiaridades de la métrica de estudio de Fubini.

Métrica del producto [ editar ]

Las nociones comunes de separabilidad se aplican a la métrica de estudio de Fubini. Más precisamente, la métrica es separable en el producto natural de los espacios proyectivos, la inserción Segre . Es decir, si$${\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle}es un estado separable , por lo que puede ser escrito como$${\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle = \ vert \ psi _ {A} \ rangle \ otimes \ vert \ psi _ {B} \ rangle}, entonces la métrica es la suma de la métrica en los subespacios:

$${\ displaystyle ds ^ {2} = {ds_ {A}} ^ {2} + {ds_ {B}} ^ {2}}

dónde $${\ displaystyle {ds_ {A}} ^ {2}} y $${\ displaystyle {ds_ {B}} ^ {2}}son las métricas, respectivamente, en la subespacios A y B .

Pronunciación [ editar ]

Un error de pronunciación común, cometido especialmente por hablantes nativos de inglés, es asumir que Estudio se pronuncia igual que el verbo estudiar . Como en realidad es un nombre alemán, la forma correcta de pronunciar u en Study es la misma que u en Fubini . En términos de fonética: ʃtuːdi.

La tomografía geométrica es un campo matemático que se enfoca en los problemas de reconstrucción de objetos homogéneos (a menudo convexos ) a partir de datos tomográficos (esto podría ser rayos X, proyecciones, secciones, funciones de brillo o covariogramas). Más precisamente, según RJ Gardner (quien introdujo el término), "la tomografía geométrica se ocupa de la recuperación de información sobre un objeto geométrico a partir de datos relativos a sus proyecciones (sombras) en planos o secciones transversales de planos".

Un teorema clave en esta área establece que cualquier cuerpo convexo en $${\ displaystyle E ^ {n}}se puede determinar mediante rayos X paralelos y coplanares en un conjunto de cuatro direcciones cuyas pendientes tienen una relación cruzada trascendental .