GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

plano de Hall es un plano proyectivo no desarguesiano construido por Marshall Hall Jr.(1943). ^[1] Hay ejemplos de orden.$${\ displaystyle p ^ {2n}}para cada primo p y cada entero positivo n proporcionado{\ displaystyle p ^ {2n}> 4}.

Construcción algebraica vía sistemas Hall [ editar ]

La construcción original de los aviones Hall se basó en un quasifield Hall (también llamado sistema Hall ), H de orden$${\ displaystyle p ^ {2n}}para p un primo. La construcción del avión es la construcción estándar basada en un quasifield (ver Quasifield # Planos proyectivos para los detalles).

Para construir un quasifield Hall, comience con un campo de Galois ,$${\ displaystyle F = \ operatorname {GF} (p ^ {n})}para p un primin y un polinomio cuadrático irreducible$${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -rx-s}sobre f . Ampliar$${\ displaystyle H = F \ times F}, un espacio vectorial bidimensional sobre F , a un cuasi-campo definiendo una multiplicación en los vectores por$${\ displaystyle (a, b) \ circ (c, d) = (ac-bd ^ {- 1} f (c), ad-bc + br)} cuando $${\ displaystyle d \ neq 0} y $${\ displaystyle (a, b) \ circ (c, 0) = (ac, bc)} de otra manera.

Escribiendo los elementos de H en términos de una base <1>, es decir, identificando ( x , y ) con x  + λ y como x e y varían sobre F , podemos identificar los elementos de F como los pares ordenados ( x , 0), es decir, x  + λ0. Las propiedades de la multiplicación definida que convierten el espacio vectorial derecho H en un quasifield son:

1. cada elemento α de H no en F satisface la ecuación cuadrática f (α) = 0;
2. F está en el núcleo de H (lo que significa que (α + β) c = αc + βc, y (αβ) c = α (βc) para todos α, β en H y todos c en F ); y
3. cada elemento de F conmuta (multiplicativa) con todos los elementos de H . ^[3]

Derivación [ editar ]

Otra construcción que produce planos Hall se obtiene aplicando derivaciones a planos Desarguesian .

Un proceso, debido a TG Ostrom, que reemplaza ciertos conjuntos de líneas en un plano proyectivo por conjuntos alternativos de tal manera que la nueva estructura sigue siendo un plano proyectivo se llama derivación . Te damos los detalles de este proceso. ^[4] Comienza con un plano proyectivo. $${\ displaystyle \ pi} de orden $${\ displaystyle n ^ {2}} y designar una línea $${\ displaystyle \ ell}como su linea en el infinito . Sea A el plano afín. $${\ displaystyle \ pi \ setminus \ ell}. Un conjunto d de$${\ displaystyle n + 1} puntos de $${\ displaystyle \ ell}se denomina conjunto de derivación si para cada par de puntos distintos X e Y de A que determinan una reunión de línea$${\ displaystyle \ ell}en un punto de D , hay un subplano de Baer que contiene X , Y y D (decimos que dichos subplanos de Baer pertenecen a D ). Definir un nuevo plano afín$${\ displaystyle \ operatorname {D} (A)} como sigue: los puntos de $${\ displaystyle \ operatorname {D} (A)}son los puntos de A . Las lineas de$${\ displaystyle \ operatorname {D} (A)} son las líneas de $${\ displaystyle \ pi} que no cumplen $${\ displaystyle \ ell}en un punto de D (restringido a A ) y los subplanos de Baer que pertenecen a D (restringido a A ). El conjunto$${\ displaystyle \ operatorname {D} (A)} es un plano afín de orden $${\ displaystyle n ^ {2}}y esto, o su finalización proyectiva, se llama un plano derivado . ^[5]

Propiedades [ editar ]

1. Los planos de sala son planos de traducción .
2. Todos los planos de Hall finitos del mismo orden son isomorfos.
3. Los planos de los pasillos no son auto-duales .
4. Todos los planos de Hall finitos contienen subplanos de orden 2 ( subplanos de Fano ).
5. Todos los planos de Hall finitos contienen subplanos de orden diferente de 2.
6. Los planos de los pasillos son planos de andré .

El avión más pequeño de Hall (orden 9) [ editar ]

Oswald Veblen y Joseph Wedderburn encontraron en 1907 el plano Hall del orden 9. ^[6] Hay cuatro quasifields de orden nueve que se pueden usar para construir el avión Hall del orden nueve. Tres de estos son sistemas Hall generados por los polinomios irreducibles.$${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} +1}, $${\ displaystyle g (x) = x ^ {2} -x-1} o $${\ displaystyle h (x) = x ^ {2} + x-1}. ^[7] El primero de estos produce un quasifield asociativo, ^[8] es decir, un campo cercano , y fue en este contexto que el avión fue descubierto por Veblen y Wedderburn. Este plano se conoce a menudo como el plano de campo cercano de orden nueve.

el principio de transferencia de Hesse ( alemán : Uebertragungsprinzip ) establece que si los puntos de la línea proyectiva P ¹ se representan mediante una curva normal normal en P ⁿ , entonces el grupo de las transformaciones proyectivas de P ⁿ que preservan la curva es isomorfo al grupo de las transformaciones proyectivas de P ¹ (esta es una generalización del principio original de Hesse, en una forma sugerida por Wilhelm Franz Meyer ). ^[1][2] Originalmente fue introducido por Otto Hesse en 1866, en una forma más restringida. Influyó en Felix Klein en el desarrollo del programa Erlangen . ^{[3] [4] [5]} Desde su concepción original, fue generalizada por muchos matemáticos, incluidos Klein , Fano y Cartan .

el teorema de Hesse , llamado así por Otto Hesse , establece que si dos pares de vértices opuestos de un cuadrilátero se conjugan con respecto a alguna cónica, entonces también lo es el tercer par. Un cuadrilátero con esta propiedad se llama cuadrilátero de Hesse .

pareja de Hesse o dúo de Hesse , llamada Otto Hesse , es un par de puntos de la línea proyectiva asociados canónicamente con un conjunto de 3 puntos de la línea proyectiva. De manera más general, se puede definir el par de Hesse de cualquier triple de elementos de un conjunto que se puede identificar con una línea proyectiva, como una curva racional, un lápiz de divisores, un lápiz de líneas, etc.

Definición [ editar ]

Si { A , B , C } es un conjunto de 3 puntos distintos de la línea proyectiva, entonces el par de Hesse es un conjunto { P , Q } de dos puntos que pueden definirse por cualquiera de las siguientes propiedades:

• P y Q son las raíces de la Hessian de la forma cúbica binaria con raíces A , B , C .
• P y Q son los dos puntos fijos por la transformación proyectiva único teniendo A a B , B a C y C a A .
• P y Q son los dos puntos que cuando se agregan a A , B , C forman un conjunto equianharmónico (un conjunto de 4 puntos con una relación cruzada de una raíz cúbica de 1).
• P y Q son las imágenes de 0 y ∞ en virtud de la transformación proyectiva teniendo las tres raíces cúbicas de 1 a A , B , C .

Ejemplos [ editar ]

Los puntos de Hesse se pueden usar para resolver ecuaciones cúbicas de la siguiente manera. Si A , B , C son tres raíces de un cúbico, entonces los puntos de Hesse se pueden encontrar como raíces de una ecuación cuadrática. Si los puntos de Hesse se transforman entonces a 0 y ∞ por una transformación lineal fraccional, la ecuación cúbica se transforma en una de la forma  x ³  =  D .