GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

homografía es un isomorfismo de los espacios proyectivos , inducido por un isomorfismo de los espacios vectoriales de los que se derivan los espacios proyectivos. ^[1] Es una bijección que mapea líneas a líneas, y por lo tanto una colinción . En general, algunas colinciones no son homografías, pero el teorema fundamental de la geometría proyectiva afirma que no es así en el caso de espacios proyectivos reales de dimensión al menos dos. Los sinónimos incluyen proyectividad , transformación proyectiva y colinción proyectiva.

Históricamente, se han introducido homografías (y espacios proyectivos) para estudiar perspectivas y proyecciones en la geometría euclidiana , y el término homografía , que, etimológicamente, significa aproximadamente "dibujo similar", data de esta época. A fines del siglo XIX, se introdujeron definiciones formales de espacios proyectivos, que diferían de la extensión de espacios afines o euclidianos al agregar puntos al infinito . El término "transformación proyectiva" se originó en estas construcciones abstractas. Estas construcciones se dividen en dos clases que han demostrado ser equivalentes. Un espacio proyectivo puede construirse como el conjunto de las líneas de un espacio vectorialsobre un campo determinado (la definición anterior se basa en esta versión); esta construcción facilita la definición de coordenadas proyectivas y permite utilizar las herramientas del álgebra lineal para el estudio de homografías. El enfoque alternativo consiste en definir el espacio proyectivo a través de un conjunto de axiomas, que no implican explícitamente ningún campo ( geometría de incidencia , véase también geometría sintética ); en este contexto, las colinciones son más fáciles de definir que las homografías, y las homografías se definen como colinciones específicas, llamadas así "colinciones proyectivas".

En aras de la simplicidad, a menos que se indique lo contrario, los espacios proyectivos considerados en este artículo se deben definir sobre un campo (conmutativo) . De manera equivalente , se supone que el teorema del hexágono de Pappus y el teorema de Desargues son ciertos. Una gran parte de los resultados siguen siendo ciertos, o pueden generalizarse a geometrías proyectivas para las que no se sostienen estos teoremas.

Motivación geométrica [ editar ]

Los puntos A, B, C, D y A ′, B ′, C ′, D ′ están relacionados por una perspectividad, que es una transformación proyectiva.

Históricamente, el concepto de homografía se había introducido para comprender, explicar y estudiar la perspectiva visual y, específicamente, la diferencia en la apariencia de dos objetos planos vistos desde diferentes puntos de vista.

En el espacio euclidiano de dimensión 3, una proyección central desde un punto O (el centro) sobre un plano P que no contiene O es el mapeo que envía un punto A a la intersección (si existe) de la línea OA y plano p . La proyección no está definido si el punto A pertenece al plano que pasa por O y paralela a P . La noción de espacio proyectivo se introdujo originalmente extendiendo el espacio euclidiano, es decir, agregándole puntos al infinito , para definir la proyección para cada punto exceptoO .

Dado otro plano Q , que no contiene O , la restricción a Q de la proyección anterior se denomina perspectiva .

Con estas definiciones, una perspectividad es solo una función parcial , pero se convierte en una bijección si se extiende a espacios proyectivos. Por lo tanto, esta noción se define normalmente para espacios proyectivos. La noción también se puede generalizar fácilmente a espacios proyectivos de cualquier dimensión, sobre cualquier campo , de la siguiente manera: dados dos espacios proyectivos P y Q de dimensión n , una perspectividad es una bijección de P a Q que puede obtenerse incrustando P y Q en un espacio proyectivo R de dimensiónn + 1 y la restricción a P un saliente central en Q .

Si f es una perspectividad de P a Q , y g una perspectividad de Q a P , con un centro diferente, entonces g ⋅ f es una homografía de P a sí misma, que se denomina colinción central , cuando la dimensión de P está en menos dos (ver § Colineación central a continuación y Perspectividad § Colineaciones de perspectiva ).

Originalmente, una homografía se definía como la composición de un número finito de perspectividades. ^[2] Es una parte del teorema fundamental de la geometría proyectiva (ver más abajo) que esta definición coincide con la definición más algebraica que se esboza en la introducción y se detalla a continuación.

Definición y expresión en coordenadas homogéneas [ editar ]

Un espacio proyectivo P ( V ) de dimensión n sobre un campo K puede definirse como el conjunto de líneas a través del origen en un espacio K- vector V de dimensión n + 1 . Si una base de V ha sido fijada, un punto de Vpuede estar representado por un punto$${\ displaystyle (x_ {0}, \ ldots, x_ {n})}de K ^n +1 . Por lo tanto, un punto de P ( V ), que es una línea en V , puede representarse por las coordenadas de cualquier punto distinto de cero de esta línea, que por lo tanto se llaman coordenadas homogéneas del punto proyectivo.

Dados dos espacios proyectivos P ( V ) y P ( W ) de la misma dimensión, una homografía es un mapeo de P ( V) a P ( W ), que es inducido por un isomorfismo de espacios vectoriales.$${\ displaystyle f: V \ rightarrow W}. Tal isomorfismo induce una bijección de P ( V ) a P ( W ), debido a la linealidad de f . Dos de estos isomorfismos, f y g , definen la misma homografía si y solo si hay un elemento distinto de cero a de K tal que g = af .

Esto se puede escribir en términos de coordenadas homogéneas de la siguiente manera: una homografía φ se puede definir mediante una matriz no singular n +1 × n +1 [ a _i , j ], llamada matriz de la homografía . Esta matriz se define hasta la multiplicación por un elemento no nulo de K . Las coordenadas homogéneas.$${\ displaystyle [x_ {0}: \ cdots: x_ {n}]} de un punto y las coordenadas $${\ displaystyle [y_ {0}: \ cdots: y_ {n}]}de su imagen por φ están relacionadas por

{\ displaystyle {\ begin {alineado} y_ {0} & = a_ {0,0} x_ {0} + \ puntos + a_ {0, n} x_ {n} \\ & \ vdots \\ y_ {n} & = a_ {n, 0} x_ {0} + \ puntos + a_ {n, n} x_ {n}. \ fin {alineado}}}

Cuando los espacios proyectivos se definen agregando puntos en el infinito a los espacios afines (finalización proyectiva), las fórmulas anteriores se convierten, en coordenadas afines,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} y_ {1} & = {\ frac {a_ {1,0} + a_ {1,1} x_ {1} + \ dots + a_ {1, n} x_ {n} } {a_ {0,0} + a_ {0,1} x_ {1} + \ dots + a_ {0, n} x_ {n}}} \\ & \ vdots \\ y_ {n} & = {\ frac {a_ {n, 0} + a_ {n, 1} x_ {1} + \ dots + a_ {n, n} x_ {n}} {a_ {0,0} + a_ {0,1} x_ { 1} + \ dots + a_ {0, n} x_ {n}}} \ end {alineado}}}

que generaliza la expresión de la función homográfica de la siguiente sección. Esto define solo una función parcial entre espacios afines, que se define solo fuera del hiperplano donde el denominador es cero.

Homografías de una línea proyectiva [ editar ]

Homografías del plano complejoconservan círculos ortogonales.

La línea proyectiva sobre un campo K puede identificarse con la unión de Ky un punto, llamada "punto en el infinito" y denotada por ∞ (ver línea proyectiva ). Con esta representación de la línea proyectiva, las homografías son los mapeos.

$${\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {az + b} {cz + d}}, {\ text {donde}} ad-bc \ neq 0,}

Las cuales son llamadas funciones homográficas o transformaciones fraccionales lineales .

En el caso de la compleja línea proyectiva , que puede identificarse con la esfera de Riemann , las homografías se denominan transformaciones de Möbius . Estos se corresponden precisamente con las bijecciones de la esfera de Riemann que preservan la orientación y son conformes. ^[3]

En el estudio de las colinciones, el caso de las líneas proyectivas es especial debido a la pequeña dimensión. Cuando la línea se ve como un espacio proyectivo aislado, cualquier permutación de los puntos de una línea proyectiva es una colisión, ^[4]ya que cada conjunto de puntos son colineales. Sin embargo, si la línea proyectiva está incrustada en un espacio proyectivo de dimensión superior, la estructura geométrica de ese espacio puede usarse para imponer una estructura geométrica en la línea. Así, en geometría sintética, las homografías y las colinciones de la línea proyectiva que se consideran son aquellas obtenidas por restricciones a la línea de colinciones y homografías de espacios de dimensión superior. Esto significa que el teorema fundamental de la geometría proyectiva (ver más abajo) sigue siendo válido en el contexto unidimensional. Una homografía de una línea proyectiva también puede definirse adecuadamente insistiendo en que el mapeo conserva las relaciones cruzadas . ^[5]

Marco proyectivo y coordenadas [ editar ]

Un marco proyectivo o base proyectiva de un espacio proyectivo de dimensión n es un conjunto ordenado de n + 2 puntos, tal como ningún hiperplano contiene n + 1 de ellos. Un marco proyectivo a veces se denomina simplex , ^[6] aunque un simplex en un espacio de dimensión n tiene como máximo n + 1 vértices.

En esta sección, consideramos los espacios proyectivos sobre un campo conmutativo K , aunque la mayoría de los resultados pueden generalizarse a los espacios proyectivos sobre un álgebra de división . Por lo tanto, consideramos un espacio proyectivo P ( V ) de dimensión n , donde V es un espacio K- vector de dimensión n + 1. Dejar$${\ displaystyle p: V \ setminus \ {0 \} \ a P (V)} ser la proyección canónica que asigna un vector distinto de cero a la línea vectorial que lo contiene.

Dado un marco $${\ displaystyle \ left (p (e_ {0}), \ ldots, p (e_ {n + 1}) \ derecha)}de P ( V ), la definición implica la existencia de elementos no nulos de Ktales que$${\ displaystyle \ lambda _ {0} e_ {0} + \ cdots + \ lambda _ {n + 1} e_ {n + 1} = 0}. Reemplazo$${\ displaystyle e_ {i}} por $${\ displaystyle \ lambda _ {i} e_ {i}} para $${\ displaystyle i \ leq n} y $${\ displaystyle e_ {n + 1}} por $${\ displaystyle - \ lambda _ {n + 1} e_ {n + 1}}, obtenemos la siguiente caracterización de un cuadro: n + 2 puntos de P ( V ) forman un cuadro si y solo si son la imagen por p de una base de V y la suma de sus elementos . Por otra parte, dos bases definen el mismo marco de esta manera, si y sólo si los elementos de la segunda son los productos de los elementos de la primera uno por un elemento distinto de cero fijo de K .

De ello se deduce que, dados dos cuadros, hay exactamente una homografía que mapea la primera sobre la segunda. En particular, la única homografía que fija los puntos de un marco es el mapa de identidad . Este resultado es mucho más difícil en la geometría sintética (donde los espacios proyectivos se definen a través de axiomas). A veces se le llama el primer teorema fundamental de la geometría proyectiva . ^[7]

Cada cuadro $${\ displaystyle (p (e_ {0}), \ ldots, p (e_ {n}), p (e_ {0} + \ cdots + e_ {n}))}permite definir coordenadas proyectivas , también conocidas como coordenadas homogéneas : cada punto puede escribirse como p ( v ); Las coordenadas proyectivas de p ( v ) en este marco son las coordenadas de v en la base.$${\ displaystyle (e_ {0}, \ ldots, e_ {n}).} No es difícil verificar que cambiando el $${\ displaystyle e_ {i}}y v , sin cambiar el marco ni p ( v ), los resultados en la multiplicación de las coordenadas proyectivas por el mismo elemento no nulo de K .

También se puede considerar el espacio proyectivo P ( K ^n +1 ). Tiene un marco canónico que consiste en la imagen por p de la base canónica de K ^n +1 (que consiste en que los elementos tienen solo una entrada distinta de cero, que es igual a 1), y (1, 1, ..., 1) . Sobre esta base, las coordenadas homogéneas de p ( v ) son simplemente las entradas (coeficientes) de v . Dado otro espacio proyectivo P ( V ) de la misma dimensión, y un marco F del mismo, hay una homografía h que mapea F sobre el marco canónico de P (K ^n +1 ). Las coordenadas proyectivas de un punto a en el cuadro F son las coordenadas homogéneas de h ( a ) en el cuadro canónico de P ( K ^n +1 ).

Colineaciones centrales [ editar ]

Los puntos A, B, C, D y A ′, B ′, C ′, D ′ están relacionados por varias colinciones centrales, que se especifican completamente al elegir una línea de puntos fijos L que pasan por la intersección de las líneas ABCD y A ′ B′C′D ′. Sea O la intersección de las líneas AA ′, BB ′, CC ′, DD ′. La imagen E ′ de un punto E por esta colineación es la intersección de las líneas A′I y OE, donde I es la intersección de las líneas L y AE.

En las secciones anteriores, las homografías se han definido a través del álgebra lineal. En geometría sintética , se definen tradicionalmente como la composición de una o varias homografías especiales llamadas colinciones centrales . Es una parte del teorema fundamental de la geometría proyectiva que las dos definiciones son equivalentes.

En un espacio proyectivo, P , de dimensión n ≥ 2 , una colineación de Pes una bijección de P a P que mapea líneas en líneas. Una colinción central (tradicionalmente se denominaba perspectividades , ^[8] pero este término puede ser confuso, tiene otro significado; ver Perspectividad ) es una bijección α de P a P , de tal manera que existe un hiperplano H(llamado el eje de α ) , que se fija de manera puntual porα (es decir, α ( X ) = X para todos los puntos X en H ) y un punto O (llamado el centrode α ), que está fijo en línea por α (cualquier línea a través de O se asigna a sí mismo por α , pero no necesariamente a la derecha). ^[9] Hay dos tipos de colineaciones centrales. Las elaciones son las colincionescentrales en las que el centro incide con el eje y las homologías.Son aquellos en los que el centro no incide con el eje. Una colineación central se define de manera única por su centro, su eje y la imagen α ( P ) de cualquier punto P que difiere del centro O y no pertenece al eje. (La imagen α ( Q ) de cualquier otro punto Q es la intersección de la línea definida por O y Q y la línea que pasa por α ( P ) y la intersección con el eje de la línea definida por P y Q ).

Una colineación central es una homografía definida por una matriz ( n +1) × ( n +1) que tiene un espacio propiode dimensión n . Es una homología, si la matriz tiene otro valor propio y, por lo tanto, es diagonalizable . Es una euforia, si todos los valores propios son iguales y la matriz no es diagonalizable.

La vista geométrica de una colisión central es más fácil de ver en un plano proyectivo. Dada una colineación central α, considere una línea$${\ displaystyle \ ell}que no pasa a través del centro O , y su imagen bajo α ,$${\ displaystyle \ ell '= \ alpha (\ ell)}. Ajuste$${\ displaystyle R = \ ell \ cap \ ell '}, El eje de α es alguna línea M a través de R . La imagen de cualquier punto A de$${\ displaystyle \ ell}debajo de α es la intersección de OA con$${\ displaystyle \ ell '}. La imagen B ′ de un punto B que no pertenece a$${\ displaystyle \ ell} Se puede construir de la siguiente manera: $${\ displaystyle S = AB \ cap M}, entonces $${\ displaystyle B '= SA' \ cap OB}.

La composición de dos colinciones centrales, aunque sigue siendo una homografía en general, no es una colinción central. De hecho, cada homografía es la composición de un número finito de colinciones centrales. En la geometría sintética, esta propiedad, que forma parte de la teoría fundamental de la geometría proyectiva, se toma como la definición de homografías. ^[10]

Teorema fundamental de la geometría proyectiva [ editar ]

Ver también: Colineación § Teorema fundamental de la geometría proyectiva y Perspectividad.

Hay colinciones además de las homografías. En particular, cualquier campo de automorfismo σ de un campo Finduce una colineación de cada espacio proyectivo sobre F aplicando σ a todas las coordenadas homogéneas(sobre un marco proyectivo) de un punto. Estas colinciones se llaman colinciones automórficas .

El teorema fundamental de la geometría proyectiva consiste en los tres teoremas siguientes.

1. Dados dos marcos proyectivos de un espacio proyectivo P , hay exactamente una homografía de P que mapea el primer marco sobre el segundo.
2. Si la dimensión de un espacio proyectivo P es al menos dos, cada colinción de P es la composición de una colineación automórfica y una homografía. En particular, sobre lo real, cada colineación de un espacio proyectivo de dimensión al menos dos es una homografía. ^[11]
3. Cada homografía es la composición de un número finito de perspectividades . En particular, si la dimensión del espacio proyectivo implícito es al menos dos, cada homografía es la composición de un número finito de colinciones centrales.

Si los espacios proyectivos se definen por medio de axiomas ( geometría sintética ), la tercera parte es simplemente una definición. Por otro lado, si los espacios proyectivos se definen por medio de álgebra lineal , la primera parte es un corolario fácil de las definiciones. Por lo tanto, la prueba de la primera parte en geometría sintética y la prueba de la tercera parte en términos de álgebra lineal son pasos fundamentales de la prueba de la equivalencia de las dos formas de definir espacios proyectivos.

Grupos de homografia [ editar ]

Como cada homografía tiene un mapeo inverso y la composición de dos homografías es otra, las homografías de un espacio proyectivo dado forman un grupo . Por ejemplo, el grupo de Möbius es el grupo de homografía de cualquier línea proyectiva compleja.

Como todos los espacios proyectivos de la misma dimensión sobre el mismo campo son isomorfos, lo mismo ocurre con sus grupos de homografía. Por lo tanto, se consideran como un solo grupo que actúa en varios espacios, y solo la dimensión y el campo aparecen en la notación, no el espacio proyectivo específico.

Grupos homografía también llamados grupos lineales proyectivas se denotan PGL ( n + 1, F ) cuando actúa en un espacio proyectivo de dimensión n sobre un campo F . La definición anterior de homografías muestra que PGL ( n + 1, F ) puede identificarse con el grupo cociente GL ( n + 1, F ) / F ^× I , donde GL ( n + 1, F ) es el grupo lineal general del matrices invertibles , yF ^× I es el grupo de los productos por un elemento no nulo de F de la matriz de identidad de tamaño ( n + 1) × ( n + 1) .

Cuando F es un campo Galois GF ( q ), el grupo de homografía se escribe PGL ( n , q ) . Por ejemplo, PGL (2, 7)actúa sobre los ocho puntos en la línea proyectiva sobre el campo finito GF (7), mientras que PGL (2, 4) , que es isomorfo al grupo alterno A ₅ , es el grupo de homografía de La línea proyectiva con cinco puntos. ^[12]

El grupo de homografía PGL ( n + 1, F ) es un subgrupo del grupo de colinción PΓL ( n + 1, F ) de las colinciones de un espacio proyectivo de dimensión n . Cuando los puntos y las líneas del espacio proyectivo se ven como un diseño de bloque , cuyos bloques son los conjuntos de puntos contenidos en una línea, es común llamar al grupo de colinción el grupo de automorfismo del diseño .

Relación cruzada [ editar ]

Uso de relaciones cruzadas en geometría proyectiva para medir las dimensiones del mundo real de las características representadas en una proyección en perspectiva . A, B, C, D y V son puntos en la imagen, su separación dada en píxeles; A ', B', C 'y D' están en el mundo real, su separación en metros.

• En (1), el ancho de la calle lateral, W se calcula a partir de los anchos conocidos de las tiendas adyacentes.
• En (2), el ancho de una sola tienda es necesario porque en un punto de fuga , V es visible.

Artículo principal: relación cruzada

La relación cruzada de cuatro puntos colineales es un invariante en la homografía que es fundamental para el estudio de las homografías de las líneas.

Tres puntos distintos a , b y c en una línea proyectiva sobre un campo F forman un marco proyectivo de esta línea. Por lo tanto, hay una homografía única h de esta línea en F ∪ maps que mapea a a ∞ , b a 0 y c a 1. Dado un cuarto punto en la misma línea, la relación cruzada de los cuatro puntos a , b , c y d , denotados [ a , b ; c , d ], es el elemento h ( d ) de F ∪ ∞ . En otras palabras, si d tiene coordenadas homogéneas [ k  : 1] sobre el marco proyectivo ( a , b , c ) , entonces [ a , b ; c , d ] = k . ^[13]

Sobre un anillo [ editar ]

Artículo principal: línea proyectiva sobre un anillo.

Supongamos que A es un anillo y U es su grupo de unidades . Las homografías actúan sobre una línea proyectiva sobre A , escrita P ( A ), que consiste en puntos U ( a , b ) con coordenadas homogéneas . Las homografías en P ( A ) se describen mediante mapeos matriciales.

{\ displaystyle U (z, 1) {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} = U (za + b, \ zc + d).}

Cuando A es un anillo conmutativo , la homografía puede escribirse

$${\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {za + b} {zc + d}} \,}

pero por lo demás, la transformación fraccional lineal se ve como una equivalencia:

$${\ displaystyle U (za + b, \ zc + d) \ sim U ((zc + d) ^ {- 1} (za + b), \ 1).}

Las homografías de anillos se han utilizado en el análisis de cuaterniones y con cuaterniones duales para facilitar la teoría de los tornillos . Cuando A se toma como biquaterniones, las homografías exhiben simetría conformal de un campo electromagnético . El grupo de homografía del anillo de enteros Z es un grupo modular PSL (2, Z ) .

Homografías periódicas [ editar ]

La homografia {\ displaystyle h = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}es periódico cuando el anillo es Z / n Z (los enteros módulo n ) desde entonces {\ displaystyle h ^ {n} = {\ begin {pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.} Arthur Cayley estaba interesado en la periodicidad cuando calculó las iteraciones en 1879. ^[14] En su revisión de un enfoque de fuerza bruta para la periodicidad de las homografías, HSM Coxeterdio este análisis:

Una homografía real es involutiva (del período 2) si y solo si a + d = 0 . Si es periódico con el período n > 2 , entonces es elíptico y no se produce ninguna pérdida de generalidad suponiendo que ad - bc = 1 . Como las raíces características son exp (± hπi / m ), donde ( h , m ) = 1 , la traza es a + d = 2 cos ( hπ / m ) .