plano de Hughes es uno de los planos proyectivos no desarguesianos encontrados por Daniel Hughes (1957) . Hay ejemplos de orden p 2 n para cada primo impar p y cada número entero positivo n .
Construcción [ editar ]
La construcción de un avión de Hughes se basa en un campo cercano N de orden p 2n para p un primo impar cuyo núcleo K tiene orden p n y coincide con el centro de N .
Propiedades [ editar ]
- es un plano proyectivo no desarguesiano del orden de potencia principal de los cuadrados impares de Lenz-Barlotti tipo I.1,
- tiene un subplanar Desarguesian Baer H 0 ,
- es un plano auto-dual en el que cada polaridad ortogonal de H 0 puede extenderse a una polaridad de H ,
- cada colinción central de H 0 se extiende a una colinción central de H , y
- el grupo de colineación completa de H tiene dos órbitas de puntos (una de las cuales es H 0 ), dos líneas de órbita y cuatro órbitas de bandera.
El avión más pequeño de Hughes (orden 9) [ editar ]
El plano de orden 9 de Hughes en realidad fue encontrado anteriormente por Veblen y Wedderburn en 1907. [2]Una construcción de este plano se puede encontrar en Room & Kirkpatrick (1971), donde se llama el plano.
hiperplano es un subespacio cuya dimensión es una menos que la de su espacio ambiental . Si un espacio es tridimensional, sus hiperplanos son los planos bidimensionales , mientras que si el espacio es bidimensional, sus hiperplanos son las líneasunidimensionales . Esta noción se puede utilizar en cualquier espaciogeneral en el que se defina el concepto de la dimensión de un subespacio . En el aprendizaje automático , los hiperplanos son una herramienta clave para crear máquinas de vectores de soporte para tareas como la visión por computadora y el procesamiento de lenguaje natural .[1]
En diferentes configuraciones, los objetos que son hiperplanos pueden tener diferentes propiedades. Por ejemplo, un hiperplano de un espacio afín en n dimensiones es un subconjunto plano con dimensión n - 1. [2]Por su naturaleza, separa el espacio en dos medios espacios . Un hiperplano de un espacio proyectivo n- dimensional no tiene esta propiedad.
La diferencia de dimensión entre un subespacio. y su espacio ambiental Es conocida como la codimensiónde con respecto a . Por lo tanto, una condición necesaria para ser un hiperplano en es para tener codimensión uno en .
Dos planos que se cruzan en el espacio tridimensional . Un plano es un hiperplano de dimensión 2, cuando está incrustado en un espacio de dimensión 3.
Descripción técnica [ editar ]
En geometría , un hiperplano de un n -dimensional espacio V es un subespacio de dimensión n - 1, o de forma equivalente, de codimensión 1 en V . El espacio V puede ser un espacio euclidiano o, más generalmente, un espacio afín , o un espacio vectorial o un espacio proyectivo , y la noción de hiperplano varía de manera correspondiente ya que la definición de subespacio es diferente en estas configuraciones; en todos los casos, sin embargo, cualquier hiperplano se puede dar en coordenadas como la solución de un único (debido a la restricción "codimension 1")Ecuación algebraica de grado 1.
Si V es un espacio vectorial, uno distingue "hiperplanos vectoriales" (que son subespacios lineales y, por lo tanto, deben pasar a través del origen) e "hiperplanos afines" (que no necesitan pasar a través del origen; pueden obtenerse mediante la traducción de un vector hiperplano). Un hiperplano en un espacio euclidiano separa ese espacio en dos medios espacios , y define un reflejo que corrige el hiperplano e intercambia esos dos medios espacios.
Tipos especiales de hiperplanos [ editar ]
Varios tipos específicos de hiperplanos se definen con propiedades que son adecuadas para propósitos particulares. Algunas de estas especializaciones se describen aquí.
Hyperplanes afines [ editar ]
Un hiperplano afín es un subespacio afín de codimension 1 en un espacio afín . En las coordenadas cartesianas, tal hiperplano se puede describir con una sola ecuación lineal de la siguiente forma (donde al menos una de las's no es cero y es una constante arbitraria):
En el caso de un espacio afín real, en otras palabras, cuando las coordenadas son números reales, este espacio afín separa el espacio en dos espacios medios, que son las componentes conectadas del complemento del hiperplano, y están dadas por las desigualdades
y
Como ejemplo, un punto es un hiperplano en el espacio unidimensional, una línea es un hiperplano en el espacio bidimensional y un plano es un hiperplano en el espacio tridimensional. Una línea en el espacio tridimensional no es un hiperplano y no separa el espacio en dos partes (el complemento de dicha línea está conectado).
Cualquier hiperplano de un espacio euclidiano tiene exactamente dos vectores normales de unidad.
Los hiperplanos afines se utilizan para definir los límites de decisión en muchos algoritmos de aprendizaje automático , como los árboles de decisión de combinación lineal (oblicuos) y los perceptrones .
Vectores hiperplanos [ editar ]
En un espacio vectorial, un hiperplano vectorial es un subespacio de la dimensión en código 1, posiblemente desplazado desde el origen por un vector, en cuyo caso se lo denomina plano . Tal hiperplano es la solución de una sola ecuación lineal .
Hiperplanos proyectivas [ editar ]
Los hiperplanos proyectivos , se utilizan en geometría proyectiva . Un subespacio proyectivo es un conjunto de puntos con la propiedad que, para cualquiera de los dos puntos del conjunto, todos los puntos en la línea determinados por los dos puntos están contenidos en el conjunto. [3] La geometría proyectiva se puede ver como una geometría afín con puntos de fuga (puntos al infinito) agregados. Un hiperplano afín junto con los puntos asociados en el infinito forma un hiperplano proyectivo. Un caso especial de un hiperplano proyectivo es el hiperplano infinito o ideal , que se define con el conjunto de todos los puntos en el infinito.
En el espacio proyectivo, un hiperplano no divide el espacio en dos partes; más bien, se necesitan dos hiperplanos para separar los puntos y dividir el espacio. La razón de esto es que el espacio esencialmente se "envuelve" de modo que ambos lados de un hiperplano solitario estén conectados entre sí.
Angulos diedros [ editar ]
El ángulo diédrico entre dos hiperplanos no paralelos de un espacio euclidiano es el ángulo entre los vectores normales correspondientes . El producto de las transformaciones en los dos hiperplanos es una rotación cuyo eje es el subespacio de codimension 2 obtenido intersectando los hiperplanos, y cuyo ángulo es el doble del ángulo entre los hiperplanos.
Apoyar hiperplanos [ editar ]
Un hiperplano H se denomina hiperplano de "soporte" del poliedro P si P está contenido en uno de los dos semicapas cerrados delimitados por H y . [4] La intersección entre P y H se define como una "cara" del poliedro. La teoría de los poliedros y la dimensión de las caras se analizan mediante la observación de estas intersecciones que implican hiperplanos.
hiperplano en el infinito . Entonces el conjunto de complementos P ∖ H se llama un espacio afín . Por ejemplo, si ( x 1 , ..., x n , x n +1 ) son coordenadas homogéneas para el espacio proyectivo n- dimensional, entonces la ecuación x n +1 = 0 define un hiperplano en el infinito para el nEspacio afín tridimensional con coordenadas ( x 1 , ..., x n ) . H también se llama el hiperplano ideal .
De manera similar, a partir de un espacio afín A , cada clase de líneas paralelas puede asociarse con un punto en el infinito . La unión sobre todas las clases de paralelos constituye los puntos del hiperplano en el infinito. Al unir los puntos de este hiperplano (llamados puntos ideales ) a A, se convierte en un espacio proyectivo n-dimensional, como el espacio proyectivo real R P n .
Mediante la adición de estos puntos ideales, el espacio afín toda A se completa a un espacio proyectivo P , que puede ser llamado la finalización proyectiva de A . Cada subespacio afín S de A se completa a un subespacio proyectivo de P mediante la adición a S todos los puntos ideales correspondientes a las direcciones de las líneas que figuran en S . Los subespacios proyectivos resultantes a menudo se llaman subespacios afines del espacio proyectivo P , en oposición al infinito o ideal subespacios, que son los subespacios del hiperplano en el infinito (sin embargo, son espacios proyectivos, no espacios afines).
En el espacio proyectivo, cada subespacio proyectivo de la dimensión k intersecta el hiperplano ideal en un subespacio proyectivo "en el infinito" cuya dimensión es k - 1 .
Un par de hiperplanos afines no paralelos se intersecan en un subespacio afín de dimensión n - 2 , pero un par de hiperplanos afines paralelos se intersecan en un subespacio proyectivo del hiperplano ideal (la intersección se encuentra en el hiperplano ideal). Por lo tanto, los hiperplanos paralelos, que no se encontraron en el espacio afín, se intersecan en la terminación proyectiva debido a la adición del hiperplano en el infinito.
Por ejemplo, el conjunto de pares de números complejos. satisfaciendo la ecuación forma un círculo imaginario , que contiene puntos tales como y pero sin contener ningún punto en el que ambas coordenadas sean reales.
En algunos casos, más generalmente, una curva algebraica con solo un número finito de puntos reales se considera una curva imaginaria. Por ejemplo, una línea imaginaria es una línea (en un espacio proyectivo complejo ) que contiene solo un punto real.
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