En matemáticas , las coordenadas homogéneas o proyectivas , introducidas por August Ferdinand Möbius en su trabajo de 1827 Der barycentrischeCalcül , [1] [2] son un sistema de coordenadas utilizado en geometría proyectiva , como las coordenadas cartesianas se utilizan en geometría euclidiana . Tienen la ventaja de que las coordenadas de los puntos, incluidos los puntos en el infinito, se pueden representar utilizando coordenadas finitas. Las fórmulas que incluyen coordenadas homogéneas son a menudo más simples y más simétricas que sus contrapartes cartesianas. Las coordenadas homogéneas tienen una gama de aplicaciones, incluyendoGráficos por computadora y visión por computadora en 3D , donde permiten transformaciones afines y, en general, transformaciones proyectivas para ser fácilmente representadas por una matriz.
Si las coordenadas homogéneas de un punto se multiplican por un escalar distinto de cero, las coordenadas resultantes representan el mismo punto. Dado que también se dan coordenadas homogéneas a los puntos en el infinito , el número de coordenadas necesarias para permitir esta extensión es uno más que la dimensión del espacio proyectivo que seestá considerando. Por ejemplo, se requieren dos coordenadas homogéneas para especificar un punto en la línea proyectiva y se requieren tres coordenadas homogéneas para especificar un punto en el plano proyectivo.
Introducción [ editar ]
Se puede pensar en el plano proyectivo real como el plano euclidiano con puntos adicionales agregados, que se llaman puntos en el infinito , y se considera que se encuentran en una nueva línea, la línea en el infinito . Hay un punto en el infinito correspondiente a cada dirección (numéricamente dado por la pendiente de una línea), definido de manera informal como el límite de un punto que se mueve en esa dirección lejos del origen. Se dice que las líneas paralelas en el plano euclidiano se intersecan en un punto en el infinito correspondiente a su dirección común. Dado un punto ( x , y ) en el plano euclidiano, para cualquier número real Z que no sea cero , el triple ( xZ, yZ , Z ) se llama un conjunto de coordenadas homogéneas para el punto. Según esta definición, al multiplicar las tres coordenadas homogéneas por un factor común que no es cero, se obtiene un nuevo conjunto de coordenadas homogéneas para el mismo punto. En particular, ( x , y , 1) es un sistema de coordenadas homogéneas para el punto ( x , y ) . Por ejemplo, el punto cartesiano (1, 2) se puede representar en coordenadas homogéneas como (1, 2, 1) o (2, 4, 2). Las coordenadas cartesianas originales se recuperan dividiendo las dos primeras posiciones por la tercera. Por lo tanto, a diferencia de las coordenadas cartesianas, un solo punto puede ser representado por infinitas coordenadas homogéneas.
La ecuación de una línea a través del origen (0, 0) se puede escribir nx + my = 0 donde n y m no son ambos 0. En forma paramétrica esto se puede escribir x = mt , y = - nt . Sea Z = 1 / t , por lo que las coordenadas de un punto en la línea pueden escribirse ( m / Z , - n / Z ) . En coordenadas homogéneas esto se convierte en ( m , - n , Z ). En el límite, cuando t se acerca al infinito, en otras palabras, cuando el punto se aleja del origen, Z se acerca a 0 y las coordenadas homogéneas del punto se vuelven ( m , - n , 0) . Así definimos ( m , - n , 0) como las coordenadas homogéneas del punto en el infinito correspondiente a la dirección de la línea nx + my = 0 . Como cualquier línea del plano euclidiano es paralela a una línea que pasa por el origen, y como las líneas paralelas tienen el mismo punto en el infinito, el punto infinito en cada línea del plano euclidiano ha recibido coordenadas homogéneas.
Para resumir:
- Cualquier punto en el plano proyectivo está representado por un triple ( X , Y , Z ) , llamado coordenadas homogéneas o coordenadas proyectivas del punto, donde X , Y y Z no son todos 0.
- El punto representado por un conjunto dado de coordenadas homogéneas no cambia si las coordenadas se multiplican por un factor común.
- A la inversa, dos conjuntos de coordenadas homogéneas representan el mismo punto si y solo si uno se obtiene del otro al multiplicar todas las coordenadas por la misma constante no cero.
- Cuando Z no es 0, el punto representado es el punto ( X / Z , Y / Z ) en el plano Euclidiano.
- Cuando Z es 0, el punto representado es un punto en el infinito.
Tenga en cuenta que el triple (0, 0, 0) se omite y no representa ningún punto. El origen está representado por (0, 0, 1) . [3]
Notación [ editar ]
Algunos autores utilizan diferentes notaciones para las coordenadas homogéneas que ayudan a distinguirlos de las coordenadas cartesianas. El uso de dos puntos en lugar de comas, por ejemplo ( x : y : z ) en lugar de ( x , y , z ) , enfatiza que las coordenadas deben ser consideradas razones. [4] Los corchetes, como en [ x , y , z ],enfatizan que múltiples conjuntos de coordenadas están asociados con un solo punto. [5] Algunos autores usan una combinación de dos puntos y corchetes, como en [ x : y :z ]. [6]
Otras dimensiones [ editar ]
La discusión en la sección anterior se aplica de manera análoga a los espacios proyectivos distintos del plano. Por lo tanto, los puntos en la línea proyectiva se pueden representar por pares de coordenadas ( x , y ) , no ambos cero. En este caso, el punto en el infinito es (1, 0) . De manera similar, los puntos en el espacio nproyectivo están representados por ( n + 1) -tuples. [7]
Otros espacios proyectivos [ editar ]
El uso de números reales proporciona las coordenadas homogéneas de los puntos en el caso clásico de los espacios proyectivos reales, sin embargo, se puede usar cualquier campo , en particular, los números complejosse pueden usar para el espacio proyectivo complejo . Por ejemplo, la línea proyectiva compleja utiliza dos coordenadas complejas homogéneas y se conoce como la esfera de Riemann . Se pueden usar otros campos, incluyendo campos finitos .
Las coordenadas homogéneas para los espacios proyectivos también se pueden crear con elementos de un anillo de división (skewfield). Sin embargo, en este caso, se debe tener cuidado para tener en cuenta el hecho de que la multiplicación puede no ser conmutativa . [8]
Definición alternativa [ editar ]
Otra definición del plano proyectivo real se puede dar en términos de clases de equivalencia . Para elementos no cero de R 3 , defina ( x 1 , y 1 , z 1 ) ~ ( x 2 , y 2 , z 2 ) para significar que hay un λ no cero, de modo que ( x 1 , y 1 , z 1 ) = ( λx 2 , λy 2 , λz 2 ). Entonces ~ es una relación de equivalencia y el plano proyectivo se puede definir como las clases de equivalencia de R 3 ∖ {0}. Si ( x , y , z ) es uno de los elementos de la clase de equivalencia p, entonces estos se toman como coordenadas homogéneas de p .
Las líneas en este espacio se definen como conjuntos de soluciones de ecuaciones de la forma ax + by + cz = 0donde no todos a , b y c son cero. La condición ax + by + cz = 0 depende solo de la clase de equivalencia de ( x , y , z ) por lo que la ecuación define un conjunto de puntos en el plano proyectivo. El mapeo ( x , y ) → ( x , y , 1)Define una inclusión desde el plano euclidiano al plano proyectivo y el complemento de la imagen es el conjunto de puntos con z = 0 . Esta es la ecuación de una línea según la definición y el complemento se llama línea en el infinito .
Las clases de equivalencia, p , son las líneas a través del origen con el origen eliminado. El origen realmente no juega un papel esencial en la discusión anterior, por lo que se puede volver a agregar sin cambiar las propiedades del plano proyectivo. Esto produce una variación en la definición, es decir, el plano proyectivo se define como el conjunto de líneas en R 3 que pasan por el origen y las coordenadas de un elemento distinto de cero ( x , y , z ) de una línea se consideran como Coordenadas homogéneas de la línea. Estas líneas ahora se interpretan como puntos en el plano proyectivo.
De nuevo, esta discusión se aplica de manera análoga a otras dimensiones. Por lo tanto, el espacio proyectivo de la dimensión n se puede definir como el conjunto de líneas a través del origen en R n +1 . [9]
Homogeneidad [ editar ]
Las coordenadas homogéneas no están determinadas únicamente por un punto, por lo que una función definida en las coordenadas, digamos f ( x , y , z ) , no determina una función definida en puntos como con las coordenadas cartesianas. Pero una condición f ( x , y , z ) = 0 definida en las coordenadas, como podría usarse para describir una curva, determina una condición en puntos si la función es homogénea . Específicamente, supongamos que hay una k tal que
Si un conjunto de coordenadas representa el mismo punto que ( x , y , z ), entonces se puede escribir (λ x , λ y , λ z ) para algún valor distinto de cero de λ. Entonces
Un polinomio g ( x , y ) de grado k puede convertirse en un polinomio homogéneo reemplazando x con x / z , ycon y / z y multiplicando por z k , en otras palabras, definiendo
La función resultante f es un polinomio, por lo que tiene sentido extender su dominio a triples donde z = 0 . El proceso puede revertirse estableciendo z = 1 , o
La ecuación f ( x , y , z ) = 0 puede considerarse como la forma homogénea de g ( x , y ) = 0 y define la misma curva cuando está restringida al plano euclidiano. Por ejemplo, la forma homogénea de la ecuación de la línea ax + by + c = 0 es ax + by + cz = 0. [10]
Línea de coordenadas y dualidad [ editar ]
La ecuación de una línea en el plano proyectivo se puede dar como sx + ty + uz = 0 donde s , t y u son constantes. Cada triple ( s , t , u ) determina una línea, la línea determinada no cambia si se multiplica por un escalar distinto de cero, y al menos uno de s , t y u debe ser distinto de cero. Entonces, el triple ( s , t , u ) puede tomarse como coordenadas homogéneas de una línea en el plano proyectivo, es decircoordenadas de línea en lugar de coordenadas de punto. Si en sx + ty + uz = 0 las letras s , t y u se toman como variables y x , y y z se toman como constantes, entonces la ecuación se convierte en una ecuación de un conjunto de líneas en el espacio de todas las líneas en el plano . Geométricamente representa el conjunto de líneas que pasan por el punto ( x , y , z )y puede interpretarse como la ecuación del punto en coordenadas de línea. De la misma manera, a los planos en 3 espacios se les pueden dar conjuntos de cuatro coordenadas homogéneas, y así sucesivamente para dimensiones más altas. [11]
La misma relación, sx + ty + uz = 0 , puede considerarse como la ecuación de una línea o la ecuación de un punto. En general, no hay diferencia algebraica o lógica entre las coordenadas homogéneas de puntos y líneas. Por lo tanto, la geometría plana con puntos como elementos fundamentales y la geometría plana con líneas como elementos fundamentales son equivalentes a excepción de la interpretación. Esto conduce al concepto de dualidad.en geometría proyectiva, el principio de que los roles de puntos y líneas se pueden intercambiar en un teorema en geometría proyectiva y el resultado también será un teorema. Análogamente, la teoría de los puntos en el espacio 3 proyectivo es dual a la teoría de los planos en el espacio 3 proyectivo, y así sucesivamente para las dimensiones más altas. [12]
Coordenadas Plücker [ editar ]
Asignar coordenadas a líneas en el espacio 3 proyectivo es más complicado, ya que parece que se requieren un total de 8 coordenadas, ya sea las coordenadas de dos puntos que se encuentran en la línea o dos planos cuya intersección es la línea. Un método útil, debido a Julius Plücker , crea un conjunto de seis coordenadas como los determinantes x i y j - x j y i (1 ≤ i < j ≤ 4) a partir de las coordenadas homogéneas de dos puntos ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) y( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) en la línea. La incrustación Plücker es la generalización de esto para crear coordenadas homogéneas de elementos de cualquier dimensión m en un espacio proyectivo de dimensión n . [13] [14]
Aplicación al teorema de Bézout [ editar ]
El teorema de Bézout predice que el número de puntos de intersección de dos curvas es igual al producto de sus grados (asumiendo un campo algebraicamente cerrado y con ciertas convenciones seguidas para contar multiplicidades de intersecciones). El teorema de Bézout predice que hay un punto de intersección de dos líneas y, en general, esto es cierto, pero cuando las líneas son paralelas, el punto de intersección es infinito. Las coordenadas homogéneas se utilizan para localizar el punto de intersección en este caso. De manera similar, el teorema de Bézout predice que una línea intersectará una cónica en dos puntos, pero en algunos casos uno o ambos puntos son infinitos y se deben usar coordenadas homogéneas para ubicarlos. Por ejemplo, y = x 2 y x = 0tener un solo punto de intersección en el plano finito (afín). Para encontrar el otro punto de intersección, convierta las ecuaciones en forma homogénea, yz = x 2 y x = 0 . Esto produce x = yz = 0 y, asumiendo que no todos de x , y y z son 0, las soluciones son x = y = 0, z ≠ 0 y x = z = 0, y ≠ 0 . Esta primera solución es el punto (0, 0).En coordenadas cartesianas, el punto finito de intersección. La segunda solución proporciona las coordenadas homogéneas (0, 1, 0) que corresponden a la dirección del eje y . Para las ecuaciones xy = 1 y x = 0no hay puntos de intersección finitos. Convertir las ecuaciones en forma homogénea da xy = z 2 y x = 0 . La solución produce la ecuación z 2 = 0, que tiene una raíz doble en z = 0 . De la ecuación original, x = 0 , entonces y ≠ 0ya que al menos una coordenada debe ser distinta de cero. Por lo tanto, (0, 1, 0) es el punto de intersección contado con multiplicidad 2 de acuerdo con el teorema. [15]
Puntos circulares [ editar ]
La forma homogénea para la ecuación de un círculo en el plano proyectivo real o complejo es x 2 + y 2 + 2 axz + 2 byz + c z 2 = 0 . La intersección de esta curva con la línea en el infinito se puede encontrar configurando z = 0 . Esto produce la ecuación x 2 + y 2 = 0 que tiene dos soluciones sobre los números complejos, dando lugar a los puntos con coordenadas homogéneas (1, i , 0) y (1, - i , 0)En el plano proyectivo complejo. Estos puntos se llaman puntos circulares en el infinito y pueden considerarse como los puntos comunes de intersección de todos los círculos. Esto puede generalizarse a curvas de orden superior como curvas algebraicas circulares . [dieciséis]
Cambio de sistemas de coordenadas [ editar ]
Así como la selección de ejes en el sistema de coordenadas cartesiano es algo arbitraria, la selección de un sistema único de coordenadas homogéneas de todos los sistemas posibles es algo arbitraria. Por lo tanto, es útil saber cómo se relacionan los diferentes sistemas entre sí.
Sean ( x , y , z ) las coordenadas homogéneas de un punto en el plano proyectivo. Una matriz fija
con determinante distinto de cero , define un nuevo sistema de coordenadas ( X , Y , Z ) por la ecuación
La multiplicación de ( x , y , z ) por un escalar resulta en la multiplicación de ( X , Y , Z ) por el mismo escalar, y X, Y y Z no pueden ser todos 0, a menos que x , y y z sean todos cero porque A es no singular Entonces ( X , Y , Z ) son un nuevo sistema de coordenadas homogéneas para el mismo punto del plano proyectivo.
Coordenadas baricéntricas [ editar ]
La formulación original de Möbius de coordenadas homogéneas especificaba la posición de un punto como el centro de masa (o baricentro) de un sistema de tres masas puntuales ubicadas en los vértices de un triángulo fijo. Los puntos dentro del triángulo están representados por masas positivas y los puntos fuera del triángulo se representan permitiendo masas negativas. Multiplicar las masas en el sistema por un escalar no afecta el centro de masa, por lo que este es un caso especial de un sistema de coordenadas homogéneas.
Trilineal coordenadas [ editar ]
Sean l , m , n tres líneas en el plano y defina un conjunto de coordenadas X , Y y Z de un punto p como las distancias con signo de p a estas tres líneas. Estas se denominan coordenadas trilineales de p con respecto al triángulo cuyos vértices son las intersecciones de pares de las líneas. Estrictamente hablando, estos no son homogéneos, ya que los valores de X , Y y ZSe determinan exactamente, no solo hasta la proporcionalidad. Sin embargo, existe una relación lineal entre ellos, por lo que estas coordenadas se pueden hacer homogéneas al permitir que los múltiplos de ( X , Y , Z ) representen el mismo punto. Más en general, X , Y y Z pueden ser definidos como constantes p , r y q veces las distancias a l , m y n, resultando en un sistema diferente de coordenadas homogéneas con el mismo triángulo de referencia. Este es, de hecho, el tipo más general de sistema de coordenadas homogéneas para puntos en el plano si ninguna de las líneas es la línea en el infinito. [17]
Uso en gráficos de computadora y visión de computadora [ editar ]
Las coordenadas homogéneas son omnipresentes en los gráficos de computadora porque permiten que las operaciones vectoriales comunes como la traducción , rotación , escalado y proyección en perspectiva se representen como una matriz por la cual el vector se multiplica. Por la regla de la cadena, cualquier secuencia de tales operaciones se puede multiplicar en una sola matriz, permitiendo un procesamiento simple y eficiente. Por el contrario, el uso de coordenadas cartesianas, las traducciones y la proyección en perspectiva no pueden expresarse como multiplicaciones matriciales, aunque sí otras operaciones. Las modernas tarjetas gráficas OpenGL y Direct3D aprovechan las coordenadas homogéneas para implementar un sombreado de vérticesUso eficiente de procesadores vectoriales con registros de 4 elementos. [18] [19]
Por ejemplo, en la proyección en perspectiva, una posición en el espacio está asociada con la línea desde ella hasta un punto fijo llamado centro de proyección . Luego, el punto se asigna a un plano encontrando el punto de intersección de ese plano y la línea. Esto produce una representación precisa de cómo un objeto tridimensional aparece al ojo. En la situación más simple, el centro de proyección es el origen y los puntos se asignan al plano z = 1 , trabajando por el momento en coordenadas cartesianas. Para un punto dado en el espacio, ( x , y , z ) , el punto donde la línea y el plano se intersecan es ( x / z , y/ z , 1) . Bajando la coordenada z ahora superflua , esto se convierte en ( x / z , y / z ) . En coordenadas homogéneas, el punto ( x , y , z ) está representado por ( xw , yw , zw , w ) y el punto se asigna a en el plano está representado por ( xw , yw , zw ) , por lo que la proyección puede ser representado en forma de matriz como [aclaración necesaria ]
Las matrices que representan otras transformaciones geométricas se pueden combinar con esto y entre sí mediante la multiplicación de matrices. Como resultado, cualquier proyección en perspectiva del espacio puede representarse como una matriz única.
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