GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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Dos tetraedros desmicos. El tercer tetraedro de este sistema no se muestra, pero tiene un vértice en el centro y los otros tres en el plano en el infinito.

La configuración de Reye con los mismos 12 vértices que un sistema desmic.

En la geometría proyectiva , un sistema democrático es un conjunto de tres tetraedros en el espacio proyectivo tridimensional , de modo que cualquiera de los dos es rígido (es decir, relacionado de tal manera que cada borde de uno corta un par de bordes opuestos del otro). Fue introducido por Esteban  ( 1879 ). Los tres tetraedros de un sistema democrático están contenidos en un lápiz de superficies quárticas . El nombre "desmic" proviene de la palabra griega εσμός, que significa banda o cadena, que se refiere al lápiz de la quartica.

Cada línea que pasa a través de dos vértices de dos tetraedros en el sistema también pasa a través de un vértice del tercer tetraedro. Los 12 vértices del sistema desmic y las 16 líneas formadas de esta manera son los puntos y las líneas de una configuración de Reye .

Ejemplo [ editar ]

Los tres tetraedros dados por las ecuaciones.

• $${\ displaystyle \ displaystyle (w ^ {2} -x ^ {2}) (y ^ {2} -z ^ {2}) = 0}
• $${\ displaystyle \ displaystyle (w ^ {2} -y ^ {2}) (x ^ {2} -z ^ {2}) = 0}
• $${\ displaystyle \ displaystyle (w ^ {2} -z ^ {2}) (y ^ {2} -x ^ {2}) = 0}

Forma un sistema desmic, contenido en el lápiz de la quartica.

• $${\ displaystyle \ displaystyle a (w ^ {2} x ^ {2} + y ^ {2} z ^ {2}) + b (w ^ {2} y ^ {2} + x ^ {2} z ^ {2}) + c (w ^ {2} z ^ {2} + x ^ {2} y ^ {2}) = 0}

para a  +  b  +  c  = 0.

invariante diferencial es un invariante para la acción de un grupo de Lie en un espacio que involucra los derivados de gráficos de funciones en el espacio. Los invariantes diferenciales son fundamentales en la geometría diferencial proyectiva , y la curvatura a menudo se estudia desde este punto de vista. ^[1] Los invariantes diferenciales fueron introducidos en casos especiales por Sophus Lie a principios de la década de 1880 y estudiados por Georges Henri Halphen al mismo tiempo. Mentira (1884)Fue el primer trabajo general sobre invariantes diferenciales y estableció la relación entre invariantes diferenciales , ecuaciones diferenciales invariantes y operadores diferenciales invariantes .

Los invariantes diferenciales se contrastan con los invariantes geométricos. Mientras que los invariantes diferenciales pueden implicar una elección distinguida de variables independientes (o una parametrización), los invariantes geométricos no lo hacen. El método de Élie Cartan para mover marcos es un refinamiento que, aunque es menos general que los métodos de Lie de los invariantes diferenciales, siempre produce invariantes del tipo geométrico.

Definición [ editar ]

El caso más simple es para invariantes diferenciales para una variable independiente x y una variable dependiente y . Sea G un grupo de Lie que actúe sobre R ² . Luego G también actúa, localmente, en el espacio de todos los gráficos de la forma y  =  ƒ ( x ). En términos generales, un invariante diferencial de orden k es una función

$${\ displaystyle I \ left (x, y, {\ frac {dy} {dx}}, \ dots, {\ frac {d ^ {k} y} {dx ^ {k}}} \ right)}

Dependiendo de y y sus primeros k derivados con respecto a x , eso es invariante bajo la acción del grupo.

El grupo puede actuar sobre las derivadas de orden superior de una manera no trivial que requiere calcular la prolongación de la acción grupal. La acción de G en la primera derivada, por ejemplo, es tal que la regla de la cadena continúa siendo válida: si

$${\ displaystyle ({\ overline {x}}, {\ overline {y}}) = g \ cdot (x, y),}

entonces

$${\ displaystyle g \ cdot \ left (x, y, {\ frac {dy} {dx}} \ right) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ left ({\ overline {x}} , {\ overline {y}}, {\ frac {d {\ overline {y}}} {d {\ overline {x}}}} \ right).}

Consideraciones similares se aplican para el cálculo de prolongaciones más altas. Sin embargo, este método para calcular la prolongación es poco práctico, y es mucho más simple trabajar infinitesimalmente al nivel de las álgebras de Lie y la derivada de Lie a lo largo de la acción G.

Más en general, invariantes diferenciales pueden ser considerados para asignaciones de cualquier múltiple liso Xen otro múltiple liso Y para un grupo de Lie que actúa sobre el producto cartesiano X × Y . La gráfica de una cartografía X  →  Y es una subvariedad de X × Y que está en todas partes transversal a las fibras de más de X . El grupo G actúa, localmente, en el espacio de dichos gráficos, e induce una acción en la k -ésima prolongación Y ^{( k ) que} consiste en gráficos que pasan a través de cada punto módulo de la relación deK -Contacto de orden. Un invariante diferencial es una función en Y ^( k ) que es invariante bajo la prolongación de la acción de grupo.

Aplicaciones [ editar ]

• Los invariantes diferenciales se pueden aplicar al estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales : buscar soluciones de similitud que sean invariantes bajo la acción de un grupo particular puede reducir la dimensión del problema (es decir, producir un "sistema reducido"). ^[2]
• El teorema de Noether implica la existencia de invariantes diferenciales correspondientes a cada simetría diferenciable de un problema variacional .
• Características de flujo mediante visión por computadora ^[3]
• Integración geométrica

La transformación lineal directa ( DLT ) es un algoritmo que resuelve un conjunto de variables a partir de un conjunto de relaciones de similitud:

$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ propto \ mathbf {A} \, \ mathbf {y} _ {k}}   para $${\ displaystyle \, k = 1, \ ldots, N}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k}} y $${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k}} Son vectores conocidos, $${\ displaystyle \, \ propto} denota la igualdad hasta una multiplicación escalar desconocida, y $${\ displaystyle \ mathbf {A}} es una matriz (o transformación lineal) que contiene las incógnitas a resolver.

Este tipo de relación aparece frecuentemente en la geometría proyectiva . Los ejemplos prácticos incluyen la relación entre los puntos 3D en una escena y su proyección en el plano de la imagen de una cámara de poros y las homografías .

Introducción [ editar ]

Una ecuación lineal ordinaria.

$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} = \ mathbf {A} \, \ mathbf {y} _ {k}}   para $${\ displaystyle \, k = 1, \ ldots, N}

se puede resolver, por ejemplo, reescribiéndolo como una ecuación matricial $${\ displaystyle \ mathbf {X} = \ mathbf {A} \, \ mathbf {Y}} donde matrices $${\ displaystyle \ mathbf {X}} y $${\ displaystyle \ mathbf {Y}}contienen los vectores $${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k}} y $${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k}}en sus respectivas columnas. Dado que existe una solución única, está dada por

$${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ mathbf {X} \, \ mathbf {Y} ^ {T} \, (\ mathbf {Y} \, \ mathbf {Y} ^ {T}) ^ {- 1} .}

Las soluciones también se pueden describir en el caso de que las ecuaciones estén por encima o por debajo de determinadas.

Lo que distingue el problema de la transformación lineal directa del caso estándar anterior es el hecho de que los lados izquierdo y derecho de la ecuación de definición pueden diferir por un factor multiplicativo desconocido que depende de k . Como consecuencia,$${\ displaystyle \ mathbf {A}}No se puede calcular como en el caso estándar. En cambio, las relaciones de similitud se reescriben como ecuaciones homogéneas lineales adecuadas que luego pueden resolverse mediante un método estándar. La combinación de reescribir las ecuaciones de similitud como ecuaciones lineales homogéneas y resolverlas mediante métodos estándar se denomina algoritmo de transformación lineal directa o algoritmo DLT . DLT se atribuye a Ivan Sutherland. ^[1]

Ejemplo [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {2}} y $${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {3}} Ser dos conjuntos de vectores conocidos y el problema es encontrar $${\ displaystyle 2 \ times 3} matriz $${\ displaystyle \ mathbf {A}}tal que

$${\ displaystyle \ alpha _ {k} \, \ mathbf {x} _ {k} = \ mathbf {A} \, \ mathbf {y} _ {k}}   para $${\ displaystyle \, k = 1, \ ldots, N}

dónde $${\ displaystyle \ alpha _ {k} \ neq 0}Es el factor escalar desconocido relacionado con la ecuación k .

Para deshacerse de los escalares desconocidos y obtener ecuaciones homogéneas, defina la matriz anti-simétrica

{\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}

y multiplica ambos lados de la ecuación con $${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} ^ {T} \, \ mathbf {H}} desde la izquierda

$${\ displaystyle \ alpha _ {k} \, \ mathbf {x} _ {k} ^ {T} \, \ mathbf {H} \, \ mathbf {x} _ {k} = \ mathbf {x} _ { k} ^ {T} \, \ mathbf {H} \, \ mathbf {A} \, \ mathbf {y} _ {k}}   para $${\ displaystyle \, k = 1, \ ldots, N.}

Ya que $${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} ^ {T} \, \ mathbf {H} \, \ mathbf {x} _ {k} = 0,} las siguientes ecuaciones homogéneas, que ya no contienen los escalares desconocidos, están a la mano

$${\ displaystyle 0 = \ mathbf {x} _ {k} ^ {T} \, \ mathbf {H} \, \ mathbf {A} \, \ mathbf {y} _ {k}}   para $${\ displaystyle \, k = 1, \ ldots, N.}

Para resolver $${\ displaystyle \ mathbf {A}} a partir de este conjunto de ecuaciones, considere los elementos de los vectores $${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k}} y $${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k}} y matriz $${\ displaystyle \ mathbf {A}}:

$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} = {\ begin {pmatrix} x_ {1k} \\ x_ {2k} \ end {pmatrix}}},   $${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} = {\ begin {pmatrix} y_ {1k} \\ y_ {2k} \\ y_ {3k} \ end {pmatrix}}}y   {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \ end {pmatrix}}}

y la ecuación homogénea anterior se convierte

$${\ displaystyle 0 = a_ {11} \, x_ {2k} \, y_ {1k} -a_ {21} \, x_ {1k} \, y_ {1k} + a_ {12} \, x_ {2k} \ , y_ {2k} -a_ {22} \, x_ {1k} \, y_ {2k} + a_ {13} \, x_ {2k} \, y_ {3k} -a_ {23} \, x_ {1k} \, y_ {3k}}   para $${\ displaystyle \, k = 1, \ ldots, N.}

Esto también puede ser escrito

$${\ displaystyle 0 = \ mathbf {b} _ {k} ^ {T} \, \ mathbf {a}}   para $${\ displaystyle \, k = 1, \ ldots, N}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {k}} y $${\ displaystyle \ mathbf {a}} ambos son vectores de 6 dimensiones definidos como

$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {k} = {\ begin {pmatrix} x_ {2k} \, y_ {1k} \\ - x_ {1k} \, y_ {1k} \\ x_ {2k} \, y_ {2k} \\ - x_ {1k} \, y_ {2k} \\ x_ {2k} \, y_ {3k} \\ - x_ {1k} \, y_ {3k} \ end {pmatrix}}}   y   $${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} a_ {11} \\ a_ {21} \\ a_ {12} \\ a_ {22} \\ a_ {13} \\ a_ {23} \ fin {pmatrix}}.

Este conjunto de ecuaciones homogéneas también se puede escribir en forma de matriz.

$${\ displaystyle \ mathbf {0} = \ mathbf {B} \, \ mathbf {a}}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {B}} es un $${\ displaystyle N \ times 6} matriz que contiene los vectores $${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {k}}en sus filas. Esto significa que$${\ displaystyle \ mathbf {a}}se encuentra en el espacio nulo de$${\ displaystyle \ mathbf {B}}y se puede determinar, por ejemplo, por una descomposición de valor singular de$${\ displaystyle \ mathbf {B}}; $${\ displaystyle \ mathbf {a}} Es un vector singular del derecho. $${\ displaystyle \ mathbf {B}}correspondiente a un valor singular que es igual a cero. Una vez$${\ displaystyle \ mathbf {a}} Se ha determinado, los elementos de $${\ displaystyle \ mathbf {A}} se puede encontrar por un simple reordenamiento de un vector de 6 dimensiones a una $${\ displaystyle 2 \ times 3}matriz. Tenga en cuenta que la escala de$${\ displaystyle \ mathbf {a}} o $${\ displaystyle \ mathbf {A}} no es importante (excepto que debe ser distinto de cero) ya que las ecuaciones definitorias ya permiten un escalado desconocido.

En la práctica los vectores. $${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k}} y $${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k}}puede contener ruido, lo que significa que las ecuaciones de similitud solo son aproximadamente válidas. Como consecuencia, puede que no haya un vector$${\ displaystyle \ mathbf {a}} que resuelve la ecuación homogénea $${\ displaystyle \ mathbf {0} = \ mathbf {B} \, \ mathbf {a}}exactamente. En estos casos, se puede utilizar una solución de mínimos cuadrados totalesal elegir$${\ displaystyle \ mathbf {a}} como un vector singular derecho que corresponde al valor singular más pequeño de $${\ displaystyle \ mathbf {B}.}

Más casos generales [ editar ]

El ejemplo anterior tiene $${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {2}} y $${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}, pero la estrategia general para reescribir las relaciones de similitud en ecuaciones lineales homogéneas puede generalizarse a dimensiones arbitrarias para ambos $${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k}} y $${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k}.}

Si $${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {2}} y $${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {q}} Las expresiones anteriores todavía pueden llevar a una ecuación.

$${\ displaystyle 0 = \ mathbf {x} _ {k} ^ {T} \, \ mathbf {H} \, \ mathbf {A} \, \ mathbf {y} _ {k}}   para   $${\ displaystyle \, k = 1, \ ldots, N}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {A}} ahora es $${\ displaystyle 2 \ times q.} Cada k proporciona una ecuación en la$${\ displaystyle 2q} elementos desconocidos de $${\ displaystyle \ mathbf {A}} y juntas se pueden escribir estas ecuaciones $${\ displaystyle \ mathbf {B} \, \ mathbf {a} = \ mathbf {0}} por lo conocido $${\ displaystyle N \ times 2 \, q} matriz $${\ displaystyle \ mathbf {B}}y desconocido 2q -dimensional vector$${\ displaystyle \ mathbf {a}.} Este vector se puede encontrar de una manera similar a la anterior.

En el caso más general. $${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {p}} y $${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {q}}. La principal diferencia respecto a la anterior es que la matriz$${\ displaystyle \ mathbf {H}}ahora es $${\ displaystyle p \ times p}y anti-simétrico. Cuando{\ displaystyle p> 2} El espacio de tales matrices ya no es unidimensional, es de dimensión.

$${\ displaystyle M = {\ frac {p \, (p-1)} {2}}.}

Esto significa que cada valor de k proporciona M ecuaciones homogéneas del tipo

$${\ displaystyle 0 = \ mathbf {x} _ {k} ^ {T} \, \ mathbf {H} _ {m} \, \ mathbf {A} \, \ mathbf {y} _ {k}}   para   $${\ displaystyle \, m = 1, \ ldots, M}   y para $${\ displaystyle \, k = 1, \ ldots, N}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {m}}Es un M base dimensional del espacio de$${\ displaystyle p \ times p} Matrices anti-simétricas.

Ejemplo p = 3 [ editar ]

En el caso de que p = 3 las siguientes tres matrices$${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {m}} puede ser elegido

{\ displaystyle \ mathbf {H} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}},   {\ displaystyle \ mathbf {H} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}},   {\ displaystyle \ mathbf {H} _ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}.}

En este caso particular, las ecuaciones lineales homogéneas se pueden escribir como

$${\ displaystyle \ mathbf {0} = [\ mathbf {x} _ {k}] _ {\ times} \, \ mathbf {A} \, \ mathbf {y} _ {k}}   para   $${\ displaystyle \, k = 1, \ ldots, N}

dónde $${\ displaystyle [\ mathbf {x} _ {k}] _ {\ times}}Es la representación matricial del vector cruzado del producto . Observe que esta última ecuación es vectorizada; el lado izquierdo es el elemento cero en$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}.

Cada valor de k proporciona tres ecuaciones lineales homogéneas en los elementos desconocidos de$${\ displaystyle \ mathbf {A}}. Sin embargo, desde$${\ displaystyle [\ mathbf {x} _ {k}] _ {\ times}}tiene rango = 2, a lo sumo dos ecuaciones son linealmente independientes. En la práctica, por lo tanto, es común usar solo dos de las tres matrices$${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {m}}, por ejemplo, para m = 1, 2. Sin embargo, la dependencia lineal entre las ecuaciones depende de$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k}}, lo que significa que en casos de mala suerte hubiera sido mejor elegir, por ejemplo, m = 2,3. Como consecuencia, si el número de ecuaciones no es una preocupación, puede ser mejor usar las tres ecuaciones cuando la matriz$${\ displaystyle \ mathbf {B}} esta construido.

La dependencia lineal entre las ecuaciones lineales homogéneas resultantes es una preocupación general para el caso p > 2 y debe tratarse mediante la reducción del conjunto de matrices anti-simétricas$${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {m}} o permitiendo $${\ displaystyle \ mathbf {B}}para ser más grande de lo necesario para determinar $${\ displaystyle \ mathbf {a}.}