GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

plano Moufang , llamado así por Ruth Moufang , es un tipo de plano proyectivo , más específicamente es un tipo especial de plano de traslación . Un plano de traslación es un plano proyectivo que tiene una línea de traslación , es decir, una línea con la propiedad que el grupo de automorfismos que corrige cada punto de la línea actúa de forma transitiva en los puntos del plano que no en la línea. ^[1] Un plano de traducción es Moufang si cada línea del plano es una línea de traducción.

Caracterizaciones [ editar ]

Un plano de Moufang también puede describirse como un plano proyectivo en el que se sostiene el pequeño Teorema de Desargues . ^[3] Este teorema establece que una forma restringida del teorema de Desargues secumple para cada línea en el plano. ^[4] Cada plano desarguesiano es un plano Moufang. ^[5]

En términos algebraicos, un plano proyectivo sobre cualquier anillo de división alternativo es un plano de Moufang, ^[6] y esto da una correspondencia 1: 1 entre las clases de isomorfismo de los anillos de división alternativos y los planos de Moufang. Como consecuencia del teorema algebraico de Artin-Zorn , que cada anillo de división finito alternativo es un campo, cada plano finito de Moufang es desarguesiano, pero algunos planos infinitos de Moufang son planos no desarguesianos . En particular, el plano de Cayley , un plano proyectivo de Moufang infinito sobre los octoniones , es uno de estos porque los octoniones no forman un anillo de división. ^[7]

Propiedades [ editar ]

Las siguientes condiciones en un plano proyectivo P son equivalentes: ^[8]

• P es un avión Moufang.
• El grupo de automorfismos que corrige todos los puntos de una línea dada actúa de manera transitiva sobre los puntos que no están en la línea.
• Algún anillo ternario del plano es un anillo de división alternativo.
• P es isomorfo al plano proyectivo sobre un anillo de división alternativo.

Además, en un plano de Moufang:

• El grupo de automorfismos actúa de forma transitoria en cuadrángulos. ^[9] [10]
• Cualquiera de los dos anillos ternarios del plano son isomorfos.

campo cercano es una estructura algebraica similar a un anillo de división , excepto que tiene solo una de las dos leyes distributivas. Alternativamente, un campo cercano es un anillo cercano en el que hay una identidad multiplicativa , y cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo .

Definición [ editar ]

Un campo cercano es un conjunto. $${\ displaystyle Q}, junto con dos operaciones binarias ,$${\ displaystyle +} (adición) y $${\ displaystyle \ cdot} (multiplicación), satisfaciendo los siguientes axiomas:

A1: $${\ displaystyle (Q, +)}Es un grupo abeliano .

A2: $${\ displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c} = $${\ displaystyle a \ cdot (b \ cdot c)} para todos los elementos $${\ displaystyle a}, $${\ displaystyle b}, $${\ displaystyle c} de $${\ displaystyle Q}La ley asociativa para la multiplicación.

A3: $${\ displaystyle (a + b) \ cdot c = a \ cdot c + b \ cdot c} para todos los elementos $${\ displaystyle a}, $${\ displaystyle b}, $${\ displaystyle c} de $${\ displaystyle Q}(El derecho distributivo correcto ).

A4: $${\ displaystyle Q} contiene un elemento 1 tal que $${\ displaystyle 1 \ cdot a = a \ cdot 1 = a} para cada elemento $${\ displaystyle a} de $${\ displaystyle Q}( Identidad multiplicativa).

A5: Por cada elemento no nulo a de $${\ displaystyle Q} existe un elemento $${\ displaystyle a ^ {- 1}} tal que $${\ displaystyle a \ cdot a ^ {- 1} = 1 = a ^ {- 1} \ cdot a}( Multiplicativa inversa ).

Notas sobre la definición [ editar ]

1. Lo anterior es estrictamente una definición de un campo cercano derecho . Sustituyendo a A3 por la ley distributiva izquierda.$${\ displaystyle c \ cdot (a + b) = c \ cdot a + c \ cdot b}obtenemos un campo cercano izquierdo en su lugar. Más comúnmente, "campo cercano" se toma como que significa "campo cercano derecho", pero esto no es una convención universal.
2. Un campo cercano (derecha) se llama "plano" si también es un quasifield derecho . Cada campo cercano finito es plano, pero los campos cercanos infinitos no tienen por qué serlo.
3. No es necesario especificar que el grupo de aditivos es abeliano, como se desprende de los otros axiomas, como lo demuestran BH Neumann y JL Zemmer. ^{[1] [2] [3]} Sin embargo, la prueba es bastante difícil, y es más conveniente incluir esto en los axiomas para que el progreso en el establecimiento de las propiedades de los campos cercanos pueda comenzar más rápidamente.
4. A veces, se proporciona una lista de axiomas en los que A4 y A5 se reemplazan por la siguiente declaración única:

   A4 *: Los elementos que no son cero forman un grupo bajo multiplicación.

   Sin embargo, esta definición alternativa incluye una estructura excepcional de orden 2 que no cumple con varios teoremas básicos (como $${\ displaystyle x \ cdot 0 = 0} para todos $${\ displaystyle x}). Por lo tanto, es mucho más conveniente, y más habitual, utilizar los axiomas en la forma dada anteriormente. La diferencia es que A4 requiere que 1 sea una identidad para todos los elementos, A4 * solo para elementos que no sean cero.

   La estructura excepcional se puede definir tomando un grupo aditivo de orden 2 y definiendo la multiplicación por $${\ displaystyle x \ cdot y = x} para todos $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y}.

Ejemplos [ editar ]

1. Cualquier anillo de división (incluido cualquier campo ) es un campo cercano.
2. Lo siguiente define un campo cercano (derecha) de orden 9. Es el campo cercano más pequeño que no es un campo.

   Dejar $${\ displaystyle K}ser el campo de Galois de orden 9. Denotar multiplicación en$${\ displaystyle K} por ' $${\ displaystyle *}'. Define una nueva operación binaria ' · ' por:

   Si $${\ displaystyle b} es cualquier elemento de $${\ displaystyle K} que es un cuadrado y $${\ displaystyle a} es cualquier elemento de $${\ displaystyle K} entonces $${\ displaystyle a \ cdot b = a * b}.

   Si $${\ displaystyle b} es cualquier elemento de $${\ displaystyle K} que no es un cuadrado y $${\ displaystyle a} es cualquier elemento de $${\ displaystyle K} entonces $${\ displaystyle a \ cdot b = a ^ {3} * b}.

   Entonces $${\ displaystyle K}Es un campo cercano con esta nueva multiplicación y la misma suma que antes. ^[4]

Historia y aplicaciones [ editar ]

El concepto de campo cercano fue introducido por primera vez por Leonard Dickson en 1905. Tomó anillos de división y modificó su multiplicación, mientras dejaba la suma como estaba, y así produjo los primeros ejemplos conocidos de campos cercanos que no eran anillos de división. Los campos cercanos producidos por este método se conocen como campos cercanos de Dickson; el campo cercano del orden 9 dado arriba es un campo cercano de Dickson. Hans Zassenhaus demostró que todos menos 7 campos finitos finitos son campos o campos cercanos de Dickson. ^[2]

La primera aplicación del concepto de campo cercano fue en el estudio de las geometrías, como las geometrías proyectivas . ^[5] [6] Muchas geometrías proyectivas pueden definirse en términos de un sistema de coordenadas sobre un anillo de división, pero otras no. Se encontró que al permitir las coordenadas desde cualquier anillo cercano, se amplió el rango de geometrías que podrían coordinarse. Por ejemplo, Marshall Hall usó el campo cercano del orden 9 dado anteriormente para producir un plano Hall , el primero de una secuencia de tales planos basados ​​en los campos cercanos de Dickson del orden del cuadrado de un primo. En 1971, TG Room y PB Kirkpatrick proporcionaron un desarrollo alternativo. ^[7]

Hay muchas otras aplicaciones, principalmente a la geometría. ^[8] Una aplicación más reciente de los campos cercanos está en la construcción de cifrados para el cifrado de datos, como los cifrados de Hill . ^[9]

Descripción en términos de grupos de Frobenius y automorfismos de grupo [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle K}ser un campo cercano Dejar$${\ displaystyle K_ {m}} ser su grupo multiplicativo y dejar $${\ displaystyle K_ {a}}Ser su grupo aditivo. Dejar$${\ displaystyle c \ en K_ {m}} guiarse por $${\ displaystyle b \ en K_ {a}} por $${\ displaystyle b \ mapsto b \ cdot c}. Los axiomas de un campo cercano muestran que se trata de una acción grupal correcta por automorfismos de grupo de$${\ displaystyle K_ {a}}, y los elementos no nulos de $${\ displaystyle K_ {a}} Forma una sola órbita con estabilizador trivial.

A la inversa, si $${\ displaystyle A} es un grupo abeliano y $${\ displaystyle M} es un subgrupo de $${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (A)} que actúa de forma libre y transitoria sobre los elementos no nulos de $${\ displaystyle A}, entonces podemos definir un campo cercano con grupo aditivo $${\ displaystyle A} y grupo multiplicativo $${\ displaystyle M}. Elige un elemento en$${\ displaystyle A} llamar $${\ displaystyle 1} y deja $${\ displaystyle \ phi: M \ a A \ setminus \ {0 \}} ser la bijeccion $${\ displaystyle m \ mapsto 1 \ ast m}. Entonces definimos adición en$${\ displaystyle A} por la estructura del grupo aditivo en $${\ displaystyle A} y definir la multiplicación por $${\ displaystyle a \ cdot b = 1 \ ast \ phi ^ {- 1} (a) \ phi ^ {- 1} (b)}.

Un grupo de Frobenius se puede definir como un grupo finito de la forma$${\ displaystyle A \ rtimes M} dónde $${\ displaystyle M} Actúa sin estabilizador sobre los elementos distintos de cero. $${\ displaystyle A}. Así, los campos cercanos están en bijección con grupos de Frobenius donde$${\ displaystyle | M | = | A | -1}.

Clasificación [ editar ]

Como se describió anteriormente, Zassenhaus demostró que todos los campos cercanos finitos surgen de una construcción de Dickson o son uno de los siete ejemplos excepcionales. Describiremos esta clasificación dando parejas.$${\ displaystyle (A, M)} dónde $${\ displaystyle A} es un grupo abeliano y $${\ displaystyle M} es un grupo de automorfismos de $${\ displaystyle A} que actúa de forma libre y transitoria sobre los elementos no nulos de $${\ displaystyle A}.

La construcción de Dickson procede de la siguiente manera. ^[10] Vamos$${\ displaystyle q} ser un poder primordial y elegir un entero positivo $${\ displaystyle n} tal que todos los factores primos de $${\ displaystyle n} dividir $${\ displaystyle q-1} y si $${\ displaystyle q \ equiv 3 {\ bmod {4}}}, entonces $${\ displaystyle n} no es divisible por $${\ displaystyle 4}. Dejar$${\ displaystyle F}ser el campo finito de orden$${\ displaystyle q ^ {n}} y deja $${\ displaystyle A} ser el grupo aditivo de $${\ displaystyle F}. El grupo multiplicativo de$${\ displaystyle F}, junto con el automorfismo de Frobenius. $${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {q}} generar un grupo de automorfismos de $${\ displaystyle F} de la forma $${\ displaystyle C_ {n} \ ltimes C_ {q ^ {n} -1}}, dónde $${\ displaystyle C_ {k}} es el grupo cíclico de orden $${\ displaystyle k}. Las condiciones de divisibilidad en$${\ displaystyle n} nos permite encontrar un subgrupo de $${\ displaystyle C_ {n} \ ltimes C_ {q ^ {n} -1}} de orden $${\ displaystyle q ^ {n} -1} que actúa libremente y transitivamente en $${\ displaystyle A}. El caso$${\ displaystyle n = 1}Es el caso de los campos finitos conmutativos; el ejemplo de nueve elementos anterior es$${\ displaystyle q = 3}, $${\ displaystyle n = 2}.

En los siete ejemplos excepcionales, $${\ displaystyle A} es de la forma $${\ displaystyle C_ {p} ^ {2}}. Esta tabla, incluida la numeración por números romanos, está tomada del documento de Zassenhaus. ^[2]

	$${\ displaystyle A = C_ {p} ^ {2}}	Generadores para $${\ displaystyle M}	Descripción (es) de $${\ displaystyle M}
yo	$${\ displaystyle p = 5}	{\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right)} {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & -2 \\ - 1 & -2 \\\ end {smallmatrix}} \ right)}	$${\ displaystyle 2T}, el grupo binario tetraédrico .
II	$${\ displaystyle p = 11}	{\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right)} {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & 5 \\ - 5 & -2 \\\ end {smallmatrix}} \ right)} {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\\ end {smallmatrix}} \ right)}	$${\ displaystyle 2T \ times C_ {5}}
III	$${\ displaystyle p = 7}	{\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right)} {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & 3 \\ - 1 & -2 \\\ end {smallmatrix}} \ right)}	$${\ displaystyle 2O}, el grupo octaédrico binario .
IV	$${\ displaystyle p = 23}	{\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right)} {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & -6 \\ 12 & -2 \\\ end {smallmatrix}} \ right)} {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\\ end {smallmatrix}} \ right)}	$${\ displaystyle 2O \ times C_ {11}}
V	$${\ displaystyle p = 11}	{\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right)} {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -3 \\\ end {smallmatrix}} \ right)}	$${\ displaystyle 2I}, el grupo binario icosaédrico .
VI	$${\ displaystyle p = 29}	{\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right)} {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & -7 \\ - 12 & -2 \\\ end {smallmatrix}} \ right)} {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \\ end {smallmatrix}} \ right)}	$${\ displaystyle 2I \ times C_ {7}}
VII	$${\ displaystyle p = 59}	{\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right)} {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 9 & 15 \\ - 10 & -10 \\\ end {smallmatrix}} \ right)} {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\\ end {smallmatrix}} \ right)}	$${\ displaystyle 2I \ times C_ {29}}

Los grupos binarios tetraédricos, octaédricos e icosaédricos son extensiones centrales de los grupos de simetría rotacional de los sólidos platónicos ; estos grupos de simetría rotacional son$${\ displaystyle A_ {4}}, $${\ displaystyle S_ {4}} y $${\ displaystyle A_ {5}} respectivamente. $${\ displaystyle 2T} y $${\ displaystyle 2I} también puede ser descrito como $${\ displaystyle SL (2, \ mathbb {F} _ {3})} y $${\ displaystyle SL (2, \ mathbb {F} _ {5})}.

 plano no desarguesiano , llamado así por Girard Desargues , es un plano proyectivo que no satisface el teorema de Desargues , o en otras palabras, un plano que no es un plano desarguesiano . El teorema de Desargues es válido en todos los espacios proyectivos de dimensión no 2, ^[1] , es decir, todas las geometrías proyectivas clásicas sobre un campo (o anillo de división ), pero David Hilbert descubrió que algunos planos proyectivos no lo satisfacen. La comprensión de estos ejemplos no está completa, en el estado actual del conocimiento.

Ejemplos [ editar ]

Varios ejemplos son también finitos . Para un plano proyectivo finito , el orden es uno menos que el número de puntos en una línea (una constante para cada línea). Algunos de los ejemplos conocidos de aviones no desarguesianos incluyen:

• El avión de Moulton .
• Cada plano proyectivo de orden a lo sumo 8 es desarguesiano, pero hay tres ejemplos no desarguesianos de orden 9, cada uno con 91 puntos y 91 líneas. ^[2]
• Aviones de Hughes .
• Los planos Moufang sobre anillos de división alternativos que no son asociativos, como el plano proyectivo sobre los octoniones .
• Aviones de pasillo .
• Aviones André .

Clasificación [ editar ]

Según Weibel (2007 , pág. 1296), Hanfried Lenz dio un esquema de clasificación para planos proyectivos en 1954 ^[3] y esto fue refinado por Adriano Barlotti en 1957. ^[4] Este esquema de clasificación se basa en los tipos de punto-línea La transitividad permitida por el grupo de colineación del avión y se conoce como la clasificación de Lenz-Barlotti de los planos proyectivos . La lista de 53 tipos se encuentra en Dembowski (1968 , pp.124-5) y en la página aparece una tabla de los resultados de existencia conocidos en ese momento (tanto para los grupos de colinción como para los planos que tienen dicho grupo de colinción) en los casos finitos e infinitos. 126. Según Charles Weibel, "36 de ellos existen como grupos finitos. Entre 7 y 12 existen como planos proyectivos finitos, y 14 o 15 existen como planos proyectivos infinitos".

Existen otros esquemas de clasificación. Una de las más sencillas se basa en el tipo de anillo ternario plano(PTR) que se puede utilizar para coordinar el plano proyectivo. Los tipos son campos , skewfields , anillos de división alternativas , semifields , campos cercanos , campos cercanos derecha , quasifields y quasifields derecha . ^[5]

Cónicas [ editar ]

En un plano proyectivo desarguesiano, una cónica puede definirse de varias maneras diferentes que pueden demostrarse que son equivalentes. En los planos no desarguesianos, estas pruebas ya no son válidas y las diferentes definiciones pueden dar lugar a objetos no equivalentes. ^[6] Theodore G. Ostrom había sugerido el nombre conicoide para estas figuras de tipo cónico, pero no proporcionó una definición formal y el término no parece ser ampliamente utilizado. ^[7]

Hay varias formas en que se pueden definir las cónicas en los planos de Desarguesian:

1. El conjunto de puntos absolutos de una polaridad se conoce como una cónica de von Staudt . Si el plano se define sobre un campo de la característica dos, solo se obtienen cónicas degeneradas .
2. El conjunto de puntos de intersección de las líneas correspondientes de dos lápices que están relacionados de manera proyectiva, pero no en perspectiva, se conoce como cónica de Steiner . Si los lápices están relacionados en perspectiva, la cónica está degenerada.
3. El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación homogénea irreducible de grado dos.

Además, en un plano desarguesiano finito:

4. El conjunto de q + 1 puntos, no tres colineales en PG (2, q ) se llama un óvalo . Si q es impar, un óvalo es un cono - en el sentido 3 anterior.
5. Una cónica de Ostrom (definida a continuación) basada en una generalización de conjuntos armónicos.

Artzy ha dado un ejemplo de una cónica de Steiner en un plano de Moufang que no es una cónica de von Staudt. ^[8] Garner da un ejemplo de una cónica de von Staudt que no es una cónica de Ostrom en un plano semifield finito.