GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

 punto imaginario es un punto que no está contenido en el espacio incrustado.

En términos de coordenadas homogéneas , un punto del plano proyectivo complejo con coordenadas ( a , b , c ) en el espacio proyectivo complejo para el que no existe un número complejo z tal que za , zb y zc sean reales .

Esta definición generaliza a espacios proyectivos complejos. El punto con coordenadas.

$${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}

es imaginario si no existe un número complejo z tal que

$${\ displaystyle (za_ {1}, za_ {2}, \ ldots, za_ {n})}

Son todas las coordenadas reales. ^[1]

Propiedades [ editar ]

Cada punto imaginario pertenece exactamente a una línea real, la línea que atraviesa el punto y su complejo conjugado . 

incidencia es una relación heterogénea que captura la idea que se expresa cuando se usan frases como "un punto se encuentra en una línea" o "una línea está contenida en un plano". La relación de incidencia más básica es que entre un punto, P y una línea, l , a veces denota P I l . Si P I l el par ( P , l ) se llama bandera . Hay muchas expresiones usadas en el lenguaje común para describir la incidencia (por ejemplo, una líneapasa a través de un punto, un punto se encuentra en un plano, etc.) pero se prefiere el término "incidencia" porque no tiene las connotaciones adicionales que tienen estos otros términos, y se puede utilizar de manera simétrica. Declaraciones como "la línea l _{1 se} intersectan con la línea l ₂ " también son declaraciones sobre las relaciones de incidencia, pero en este caso, se debe a que es una forma abreviada de decir que "existe un punto P que incide en la línea l ₁ y línea l ₂ ". Cuando un tipo de objeto puede considerarse como un conjunto del otro tipo de objeto (a saber,., un plano es un conjunto de puntos), entonces una relación de incidencia puede verse como contención .

Las declaraciones como "cualquier dos líneas en un plano se encuentran" se llaman proposiciones de incidencia. Esta afirmación particular es cierta en un plano proyectivo , aunque no es cierta en el plano euclidiano donde las líneas pueden ser paralelas . Históricamente, la geometría proyectiva se desarrolló para que las proposiciones de incidencia fueran verdaderas sin excepciones, como las causadas por la existencia de paralelos. Desde el punto de vista de la geometría sintética , la geometría proyectiva debe desarrollarse utilizando proposiciones como los axiomas . Esto es más significativo para los planos proyectivos debido a la validez universal del teorema de Desargues. en las dimensiones superiores.

En contraste, el enfoque analítico consiste en definir el espacio proyectivo basado en álgebra lineal y utilizando coordenadas homogéneas . Las proposiciones de incidencia se derivan del siguiente resultado básico en espacios vectoriales : dados subespacios U y W de un espacio vectorial V (dimensión finita) , la dimensión de su intersección es dim U + dim W - dim ( U + W ) . Teniendo en cuenta que la dimensión geométrica del espacio proyectivo P ( V ) asociado a Ves dim V - 1 y que la dimensión geométrica de cualquier subespacio es positivo, la proposición básica de incidencia en este ajuste puede tomar la forma: subespacios lineal L y M de proyectiva espacio P se reúnen proporcionado dim L + dim M ≥ dim P . ^[1]

En las secciones siguientes se limitan a aviones proyectivas definidas sobre campos , a menudo denotados por PG (2, F ) , donde F es un campo, o P ² F . Sin embargo, estos cálculos pueden extenderse naturalmente a espacios proyectivos de mayor dimensión y el campo puede ser reemplazado por un anillo de división (o campo de inclinación) siempre que uno preste atención al hecho de que la multiplicación no es conmutativa en ese caso.

PG (2, F ) [ editar ]

Artículo principal: Coordenadas homogéneas.

Deje V ser los tres espacio vectorial dimensional definida sobre el campo F . El plano proyectivo P ( V ) = PG (2, F ) se compone de los uno subespacios vector dimensionales de V llamada puntos y los dos subespacios vector dimensionales de V denominan líneas . La incidencia de un punto y una línea viene dada por la contención del subespacio unidimensional en el subespacio bidimensional.

Fije una base para V para que podamos describir sus vectores como coordenadas triples (con respecto a esa base). Un subespacio vectorial unidimensional consiste en un vector distinto de cero y todos sus múltiplos escalares. Los múltiplos escalares distintos de cero, escritos como triples de coordenadas, son las coordenadas homogéneas del punto dado, llamadas coordenadas de punto . Con respecto a esta base, el espacio de solución de una sola ecuación lineal {( x , y , z ) | ax + by + cz = 0 } es un subespacio bidimensional de V , y por lo tanto una línea de P ( V ). Esta línea puede ser denotada por coordenadas de línea [ a , b , c ] que también son coordenadas homogéneas ya que los múltiplos escalares no cero darían la misma línea. Otras notaciones también son ampliamente utilizadas. Coordenadas de los puntos pueden ser escritos como vectores de columna, ( x , y , z ) ^T , con dos puntos, ( x  : y  : z ) , o con un subíndice, ( x , y , z ) _P . Correspondientemente, las coordenadas de línea se pueden escribir como vectores de fila,( Un , b , c ) , con dos puntos, [ un  : b  : c ] o con un subíndice, ( un , b , c ) _L . También son posibles otras variaciones.

Incidencia expresada algebraicamente [ editar ]

Dado un punto P = ( x , y , z ) y una línea l = [ a , b , c ] , escritas en términos de coordenadas de puntos y líneas, el punto incide en la línea (a menudo escrito como P I l ), si y solo si,

ax + by + cz = 0 .

Esto se puede expresar en otras notaciones como:

$${\ displaystyle ax + by + cz = [a, b, c] \ cdot (x, y, z) = (a, b, c) _ {L} \ cdot (x, y, z) _ {P} =}

$${\ displaystyle = [a: b: c] \ cdot (x: y: z) = (a, b, c) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right) = 0.}

Independientemente de la notación que se emplee, cuando las coordenadas homogéneas del punto y la línea solo se consideran como tripletas ordenadas, su incidencia se expresa como que su producto puntual es igual a 0.

La línea incidente con un par de puntos distintos [ editar ]

Sean P ₁ y P ₂ un par de puntos distintos con coordenadas homogéneas ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ , z ₂ )respectivamente. Estos puntos determinan una línea única l con una ecuación de la forma ax + by + cz = 0 y deben satisfacer las ecuaciones:

ax ₁ + por ₁ + cz ₁ = 0 y

ax ₂ + por ₂ + cz ₂ = 0 .

En forma matricial, este sistema de ecuaciones lineales simultáneas se puede expresar como:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & z \\ x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} a \\ b \\ c \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {matrix}} \ right ).

Este sistema tiene una solución no trivial si y solo si el determinante ,

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} x & y & z \\ x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \ end {matrix}} \ right | = 0.}

La expansión de esta ecuación determinante produce una ecuación lineal homogénea que debe ser la ecuación de la línea l . Por lo tanto, hasta un factor constante distinto de cero, tenemos l = [ a , b , c ] donde:

a = y ₁ z ₂ - y ₂ z ₁ ,

b = x ₂ z ₁ - x ₁ z ₂ , y

c = x ₁ y ₂ - x ₂ y ₁ .

En términos de la notación de producto triple escalar para vectores, la ecuación de esta línea se puede escribir como:

P ⋅ P ₁ × P ₂ = 0 ,

donde P = ( x , y , z ) es un punto genérico.

Colinealidad [ editar ]

Artículo principal: Collinear

Se dice que los puntos que son incidentes con la misma línea son colineales . El conjunto de todos los puntos incidentes con la misma línea se llama rango .

Si P ₁ = ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ), P ₂ = ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) y P ₃ = ( x ₃ , y ₃ , z ₃ ) , estos puntos son colineales si y solo si

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} & z_ { 3} \ end {matrix}} \ right | = 0,}

es decir, si y solo si el determinante de las coordenadas homogéneas de los puntos es igual a cero.

Intersección de un par de líneas [ editar ]

Sea l ₁ = [ a ₁ , b ₁ , c ₁ ] y l ₂ = [ a ₂ , b ₂ , c ₂ ] sea ​​un par de líneas distintas. Luego, la intersección de las líneas l ₁ y l ₂ es el punto a P = ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) que es la solución simultánea (hasta un factor escalar) del sistema de ecuaciones lineales:

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z = 0 y

a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z = 0 .

La solución de este sistema da:

x ₀ = b ₁ c ₂ - b ₂ c ₁ ,

y ₀ = a ₂ c ₁ - a ₁ c ₂ , y

z ₀ = a ₁ b ₂ - a ₂ b ₁ .

Alternativamente, considere otra línea l = [ a , b , c ] que pasa por el punto P , es decir, las coordenadas homogéneas de P satisfacen la ecuación:

ax + by + cz = 0 .

Combinando esta ecuación con los dos que definen P , podemos buscar una solución no trivial de la ecuación matricial:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} a & b & c \\ a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {matrix}} \ right ).

Tal solución existe siempre que el determinante,

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} a & b & c \\ a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \ end {matrix}} \ right | = 0.}

Los coeficientes de a , b y c en esta ecuación dan las coordenadas homogéneas de p .

La ecuación de la línea genérica que pasa por el punto P en la notación del producto triple escalar es:

l ⋅ l ₁ × l ₂ = 0 .

Concurrencia [ editar ]

Las líneas que se encuentran en el mismo punto se dice que son concurrentes . El conjunto de todas las líneas en un plano incidente con el mismo punto se llama un lápiz de líneas centradas en ese punto. El cálculo de la intersección de dos líneas muestra que todo el lápiz de líneas centrado en un punto está determinado por cualquiera de las dos líneas que se intersecan en ese punto. Inmediatamente se deduce que la condición algebraica para tres líneas, [ a ₁ , b ₁ , c ₁ ], [ a ₂ , b ₂ , c ₂ ], [ a ₃ , b ₃ , c₃ ] ser concurrente es que el determinante,

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ {3} & c_ { 3} \ end {matrix}} \ right | = 0.}