GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

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El cardioide verde se obtiene invirtiendo la parábola roja a través del círculo punteado .

En geometría inversiva , una curva inversa de una curva dada C es el resultado de la aplicación de una inversaoperación para C . Específicamente, con respecto a un círculo fijo con centro O y radio k, la inversa de un punto Qes el punto P para el que P se encuentra en el rayo OQ y OP · OQ = k ² . La inversa de la curva C es entonces el locus de P como Q corre sobre C . El punto oen esta construcción se llama centro de inversión , el círculo es el círculo de inversión y k el radio de inversión .

Una inversión aplicada dos veces es la transformación de identidad, por lo que la inversa de una curva inversa con respecto al mismo círculo es la curva original. Los puntos en el círculo de inversión están fijados por la inversión, por lo que su inversa es ella misma.

Ecuaciones [ editar ]

El inverso del punto ( x , y ) con respecto al círculo unitario es ( X , Y ) donde

$${\ displaystyle X = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, \ qquad Y = {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} ,}

o equivalente

$${\ displaystyle x = {\ frac {X} {X ^ {2} + Y ^ {2}}}, \ qquad y = {\ frac {Y} {X ^ {2} + Y ^ {2}}} .}

Entonces, la inversa de la curva determinada por f ( x , y ) = 0 con respecto al círculo unitario es

$${\ displaystyle f \ left ({\ frac {X} {X ^ {2} + Y ^ {2}}}, {\ frac {Y} {X ^ {2} + Y ^ {2}}} \ right ) = 0.}

De esto se desprende claramente que invertir una curva algebraica de grado n con respecto a un círculo produce una curva algebraica de grado a lo sumo 2 n .

Del mismo modo, la inversa de la curva se define paramétricamente por las ecuaciones.

$${\ displaystyle x = x (t), \ qquad y = y (t)}

con respecto al círculo unitario se da paramétricamente como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} X = X (t) & = {\ frac {x (t)} {x (t) ^ {2} + y (t) ^ {2}}}, \\ Y = Y (t) & = {\ frac {y (t)} {x (t) ^ {2} + y (t) ^ {2}}}. \ End {alineado}}}

Esto implica que la inversa circular de una curva racional también es racional.

Más generalmente, la inversa de la curva determinada por f ( x , y ) = 0 con respecto al círculo con el centro ( a , b ) y el radio k es

$${\ displaystyle f \ left (a + {\ frac {k ^ {2} (Xa)} {(Xa) ^ {2} + (Yb) ^ {2}}}, b + {\ frac {k ^ {2} (Yb)} {(Xa) ^ {2} + (Yb) ^ {2}}} \ right) = 0.}

Lo inverso de la curva definida paramétricamente por

$${\ displaystyle x = x (t), \ qquad y = y (t)}

con respecto al mismo círculo se da paramétricamente como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} X = X (t) & = a + {\ frac {k ^ {2} {\ bigl (} x (t) -a {\ bigr)}} {{\ bigl (} x (t) -a {\ bigr)} ^ {2} + {\ bigl (} y (t) -b {\ bigr)} ^ {2}}}, \\ Y = Y (t) & = b + {\ frac {k ^ {2} {\ bigl (} y (t) -b {\ bigr)}} {{\ bigl (} x (t) -a {\ bigr)} ^ {2} + {\ bigl (} y (t) -b {\ bigr)} ^ {2}}}. \ end {alineado}}}

En coordenadas polares , las ecuaciones son más simples cuando el círculo de inversión es el círculo unitario. El inverso del punto ( r , θ ) con respecto al círculo unitario es ( R , Θ ) donde

$${\ displaystyle R = {\ frac {1} {r}}, \ qquad \ Theta = \ theta.}

Entonces, la inversa de la curva f ( r , θ ) = 0 se determina por f ( 1/R , Θ ) = 0 y la inversa de la curva r = g ( θ )es r = 1/g ( θ ) .

Grados [ editar ]

Como se señaló anteriormente, la inversa con respecto a un círculo de una curva de grado n tiene un grado máximo de 2 n . El grado es exactamente 2 n, a menos que la curva original pase por el punto de inversión o sea circular , lo que significa que contiene los puntos circulares (1, ± i , 0) , cuando se considera como una curva en el plano proyectivo complejo. En general, la inversión con respecto a una curva arbitraria puede producir una curva algebraica con un grado proporcionalmente mayor.

Específicamente, si C es p- circular de grado n , y si el centro de inversión es una singularidad de orden q en C , entonces la curva inversa será una curva circular ( n - p - q ) de grado 2 n - 2 p - q y el centro de inversión es una singularidad de orden n - 2 p en la curva inversa. Aquí q = 0 si la curva no contiene el centro de inversión y q = 1si el centro de inversión es un punto no singular sobre él; Del mismo modo los puntos circulares, (1, ± i , 0), son singularidades de orden p en C . El valor k se puede eliminar de estas relaciones para mostrar que el conjunto de curvas p -circulares de grado p + k , donde p puede variar pero k es un número entero positivo fijo, es invariante bajo inversión.

Ejemplos [ editar ]

Aplicando la transformación anterior al lemniscado de Bernoulli.

$${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} = a ^ {2} \ left (x ^ {2} -y ^ {2} \ right)}

Nos da

$${\ displaystyle a ^ {2} \ left (u ^ {2} -v ^ {2} \ right) = 1,}

la ecuación de una hipérbola; Dado que la inversión es una transformación birracional y la hipérbola es una curva racional, esto muestra que el lemniscado es también una curva racional, es decir, una curva del género cero.

Si aplicamos la transformación a la curva de Fermat x ⁿ + y ⁿ = 1 , donde n es impar, obtenemos

$${\ displaystyle \ left (u ^ {2} + v ^ {2} \ right) ^ {n} = u ^ {n} + v ^ {n}.}

Cualquier punto racional en la curva de Fermat tiene un punto racional correspondiente en esta curva, dando una formulación equivalente del último teorema de Fermat .

Casos particulares [ editar ]

Por simplicidad, el círculo de inversión en los siguientes casos será el círculo unitario. Los resultados para otros círculos de inversión se pueden encontrar por traslación y ampliación de la curva original.

Líneas [ editar ]

Para una línea que pasa por el origen, la ecuación polar es θ = θ _0, donde θ ₀ es fijo. Esto permanece sin cambios bajo la inversión.

La ecuación polar para una línea que no pasa por el origen es

$${\ displaystyle r \ cos \ left (\ theta - \ theta _ {0} \ right) = a}

y la ecuación de la curva inversa es

$${\ displaystyle r = a \ cos \ left (\ theta - \ theta _ {0} \ right)}

que define un círculo que pasa por el origen. La aplicación de la inversión nuevamente muestra que la inversa de un círculo que pasa por el origen es una línea.

Círculos [ editar ]

En coordenadas polares, la ecuación general para un círculo que no pasa por el origen (los otros casos que se han cubierto) es

{\ displaystyle r ^ {2} -2r_ {0} r \ cos \ left (\ theta - \ theta _ {0} \ right) + r_ {0} ^ {2} -a ^ {2} = 0, \ qquad (a> 0, \ r> 0, \ a \ neq r_ {0})}

donde a es el radio y ( r ₀ , θ ₀ ) son las coordenadas polares del centro. La ecuación de la curva inversa es entonces

$${\ displaystyle 1-2r_ {0} r \ cos \ left (\ theta - \ theta _ {0} \ right) + \ left (r_ {0} ^ {2} -a ^ {2} \ right) r ^ {2} = 0,}

o

$${\ displaystyle r ^ {2} - {\ frac {2r_ {0}} {r_ {0} ^ {2} -a ^ {2}}} r \ cos \ left (\ theta - \ theta _ {0} \ right) + {\ frac {1} {r_ {0} ^ {2} -a ^ {2}}} = 0.}

Esta es la ecuación de un círculo con radio.

$${\ displaystyle A = {\ frac {a} {\ left | r_ {0} ^ {2} -a ^ {2} \ right |}}}

y centro cuyas coordenadas polares son

$${\ displaystyle \ left (R_ {0}, \ Theta _ {0} \ right) = \ left ({\ frac {r_ {0}} {r_ {0} ^ {2} -a ^ {2}}} , \ theta _ {0} \ derecha).}

Tenga en cuenta que R ₀ puede ser negativo.

Si el círculo original se interseca con el círculo unitario, entonces los centros de los dos círculos y un punto de intersección forman un triángulo con los lados 1, a , r _0, esto es un triángulo rectángulo, es decir, los radios están en ángulos rectos, exactamente cuando

$${\ displaystyle r_ {0} ^ {2} = a ^ {2} +1.}

Pero a partir de las ecuaciones anteriores, el círculo original es el mismo que el círculo inverso exactamente cuando

$${\ displaystyle r_ {0} ^ {2} -a ^ {2} = 1.}

Por lo tanto, la inversa de un círculo es el mismo círculo si y solo si se cruza con el círculo unitario en ángulos rectos.

Para resumir y generalizar esta y la sección anterior:

1. El inverso de una línea o un círculo es una línea o un círculo.
2. Si la curva original es una línea, la curva inversa pasará por el centro de inversión. Si la curva original pasa por el centro de inversión, la curva invertida será una línea.
3. La curva invertida será la misma que la original exactamente cuando la curva intersecte el círculo de inversión en ángulos rectos.

Parábolas con centro de inversión en el vértice [ editar ]

La ecuación de una parábola se traduce, hasta la similitud, de modo que el vértice se encuentre en el origen y gire de manera que el eje sea horizontal, x = y ² . En coordenadas polares esto se convierte

$${\ displaystyle r = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}

La curva inversa tiene entonces la ecuación.

$${\ displaystyle r = {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {\ cos \ theta}} = \ sin \ theta \ tan \ theta}

que es el cissoide de diocles .

Secciones cónicas con centro de inversión en un foco [ editar ]

La ecuación polar de una sección cónica con un foco en el origen es, hasta la similitud

$${\ displaystyle r = {\ frac {1} {1 + e \ cos \ theta}},}

donde e es la excentricidad. El inverso de esta curva será entonces

$${\ displaystyle r = 1 + e \ cos \ theta,}

que es la ecuación de un limaçon de pascal . Cuando e = 0 este es el círculo de inversión. Cuando 0 < e <1 font=""> la curva original es una elipse y la inversa es una curva cerrada simple con un acnodo en el origen. Cuando e = 1,la curva original es una parábola y la inversa es el cardioide que tiene una cúspide en el origen. Cuando e > 1 la curva original es una hipérbola y la inversa forma dos bucles con un crunodo en el origen.

Elipses e hipérbolas con centro de inversión en un vértice [ editar ]

La ecuación general de una elipse o hipérbola es

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} \ pm {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}

Traduciendo esto para que el origen sea uno de los vértices que da.

$${\ displaystyle {\ frac {(xa) ^ {2}} {a ^ {2}}} \ pm {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}

y la reorganización da

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {2a}} \ pm {\ frac {ay ^ {2}} {2b ^ {2}}} = x}

o, cambiando constantes,

$${\ displaystyle cx ^ {2} + dy ^ {2} = x.}

Tenga en cuenta que la parábola de arriba ahora encaja en este esquema al poner c = 0 y d = 1 . La ecuación de la inversa es

$${\ displaystyle {\ frac {cx ^ {2}} {\ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} + {\ frac {dy ^ {2}} {\ izquierda (x ^ {2} + y ^ {2} \ derecha) ^ {2}}} = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}

o

$${\ displaystyle x \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) = cx ^ {2} + dy ^ {2}.}

Esta ecuación describe una familia de curvas llamadas los concoides de Sluze . Esta familia incluye, además del cissoide de Diocles mencionado anteriormente, el trisectrix de Maclaurin ( d = - c/3 ) y el strophoid derecho ( d = - c ).

Elipses e hipérbolas con centro de inversión en el centro [ editar ]

Invirtiendo la ecuación de una elipse o hipérbola

$${\ displaystyle cx ^ {2} + dy ^ {2} = 1}

da

$${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {2} = cx ^ {2} + dy ^ {2}}

Cuál es el hipopótamo . Cuando d = - c este es el lemniscate de Bernoulli .

Cónicas con centro arbitraria de inversión [ editar ]

Aplicando la fórmula de grado anterior, la inversa de una cónica (que no sea un círculo) es una forma cúbica circular si el centro de inversión está en la curva, y un quártico bicircular de lo contrario. Las cónicas son racionales, por lo que las curvas inversas también son racionales. A la inversa, cualquier cuártico circular o cúbico racional bicircular es la inversa de una cónica. De hecho, cualquier curva de este tipo debe tener una singularidad real y, tomando este punto como centro de inversión, la curva inversa será cónica según la fórmula de grado. ^[1] [2]

Curvas Anallagmatic [ editar ]

Una curva anallagmática es aquella que se invierte en sí misma. Los ejemplos incluyen el círculo , cardioide , óvalo de Cassini , estrofoide y trisectriz de Maclaurin .

En matemáticas , las líneas de un 3-dimensional espacio proyectivo , S , pueden ser vistos como puntos de un espacio proyectivo 5-dimensional, T . En ese espacio 5, los puntos que representan cada línea en S seencuentran en un cuadriculado hiperbólico , Q conocido como el cuadriculado de Klein .

Si el subyacente espacio vectorial de S es el espacio vectorial 4-dimensional V , entonces T tiene como el espacio vectorial subyacente el 6-dimensional cuadrado exterior Λ ² V de V . Las coordenadas de línea obtenidas de esta manera se conocen como coordenadas Plücker .

Estas coordenadas de Plücker satisfacen la relación cuadrática.

$${\ displaystyle p_ {12} p_ {34} + p_ {13} p_ {42} + p_ {14} p_ {23} = 0}

definiendo q , donde

$${\ displaystyle p_ {ij} = u_ {i} v_ {j} -u_ {j} v_ {i}}

son las coordenadas de la línea que abarcan los dos vectores u y v .

El espacio de 3, S , se puede reconstruir de nuevo a partir de la cuadrícula, Q : los planos contenidos en Q sedividen en dos clases de equivalencia , donde los planos en la misma clase se encuentran en un punto, y los planos en diferentes clases se encuentran en una línea o en El conjunto vacío. Deja que estas clases sean$${\ displaystyle C} y $${\ displaystyle C '}. La geometría de S se recupera de la siguiente manera:

1. Los puntos de S son los aviones en C .
2. Las líneas de S son los puntos de Q .
3. Los planos de S son los planos en C '.

El hecho de que las geometrías de S y Q son isomorfas puede explicarse por el isomorfismo de los diagramas A ₃ y D ₃ de Dynkin .