En la geometría proyectiva , una doble curva de una determinada curva plana C es una curva en el plano proyectivo dual que consiste en el conjunto de las líneas tangentes a C . Hay un mapa de una curva a su dual, enviando cada punto al punto dual a su línea tangente. Si Ces algebraico, entonces también lo es su dual y el grado del dual se conoce como la clase de la curva original. La ecuación de la dual de C , dada en línea de coordenadas , es conocida como la ecuación tangencial de C .
La construcción de la curva dual es la base geométrica para la transformación de Legendre en el contexto de la mecánica hamiltoniana .
Ecuaciones [ editar ]
Sea f ( x , y , z ) = 0 la ecuación de una curva en coordenadas homogéneas . Sea Xx + Yy + Zz = 0 la ecuación de una línea, con ( X , Y , Z ) siendo designadas sus coordenadas de línea. La condición de que la línea sea tangente a la curva se puede expresar en la forma F ( X , Y , Z ) = 0, que es la ecuación tangencial de la curva.
Sea ( p , q , r ) el punto en la curva, entonces la ecuación de la tangente en este punto está dada por
Entonces Xx + Yy + Zz = 0 es una tangente a la curva si
Al eliminar p , q , r y λ de estas ecuaciones, junto con Xp + Yq + Zr = 0 , se obtiene la ecuación en X , Y y Z de la curva dual.
Por ejemplo, sea C sea el cónica ax 2 + por 2 + cz 2 = 0 . Luego se encuentra dual al eliminar p , q , ry λ de las ecuaciones
Las primeras tres ecuaciones se resuelven fácilmente para p , q , r , y la sustitución en la última ecuación produce
Despejando 2 λ de los denominadores, la ecuación del dual es
Para una curva definida paramétricamente, su curva dual se define mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:
El dual de un punto de inflexión dará una cúspide y dos puntos que compartan la misma línea tangente proporcionarán un punto de intersección en el dual.
Grado [ editar ]
Si X es una curva algebraica plana, entonces el grado del dual es el número de puntos de intersección con una línea en el plano dual. Como una línea en el plano dual corresponde a un punto en el plano, el grado de la dualidad es el número de tangentes a la X que se puede dibujar a través de un punto dado. Los puntos donde estas tangentes tocan la curva son los puntos de intersección entre la curva y la curva polar con respecto al punto dado. Si el grado de la curva es d, entonces el grado de la polar es d - 1 y, por lo tanto, el número de tangentes que se pueden dibujar a través del punto dado es a lo sumo d ( d - 1) .
El doble de una línea (una curva de grado 1) es una excepción a esto y se toma como un punto en el espacio dual (es decir, la línea original). El dual de un solo punto se toma como la colección de líneas a través del punto; esto forma una línea en el espacio dual que corresponde al punto original.
Si X es suave, es decir, no hay puntos singulares, entonces el dual de X tiene el grado máximo d ( d - 1) . Si Xes una cónica, esto implica que su dual también es una cónica. Esto también se puede ver geométricamente: el mapa de una cónica a su dual es uno a uno (ya que ninguna línea es tangente a dos puntos de una cónica, ya que eso requiere un grado 4), y la línea tangente varía suavemente (según la curva es convexo, por lo que la pendiente de la línea tangente cambia monótonamente: las cúspides en el doble requieren un punto de inflexión en la curva original, lo que requiere un grado 3).
Para curvas con puntos singulares, estos puntos también se ubicarán en la intersección de la curva y su polar, lo que reduce el número de posibles líneas tangentes. El grado de la dualidad dada en términos de la d y el número y tipos de puntos singulares de X es una de las fórmulas de Plücker .
Polar recíproco [ editar ]
El dual puede visualizarse como un locus en el plano en forma de recíproco polar . Esto se define con referencia a una cónica fija Q como el lugar geométrico de los polos de las líneas tangentes de la curva C . [2] El cónica Qes casi siempre toma para ser un círculo y este caso el recíproco polar es la inversa de la pedal de C .
Propiedades de la curva dual [ editar ]
Las propiedades de la curva original corresponden a propiedades duales en la curva dual. En la imagen de la derecha, la curva roja tiene tres singularidades: un nodo en el centro y dos cúspides en la parte inferior derecha e inferior izquierda. La curva negra no tiene singularidades, pero tiene cuatro puntos distinguidos: los dos puntos superiores tienen la misma línea tangente (una línea horizontal), mientras que hay dos puntos de inflexión en la curva superior. Los dos puntos más altos corresponden al nodo (punto doble), ya que ambos tienen la misma línea tangente, por lo tanto, se asignan al mismo punto en la curva dual, mientras que los puntos de inflexión corresponden a las cúspides, que corresponden a las líneas tangentes primero va en una dirección, luego en la otra (la pendiente aumenta, luego disminuye).
Por el contrario, en una curva suave y convexa, el ángulo de la línea tangente cambia monótonamente, y la curva dual resultante también es suave y convexa.
Además, ambas curvas tienen una simetría de reflexión, que corresponde al hecho de que las simetrías de un espacio proyectivo corresponden a las simetrías del espacio dual, y que la dualidad de las curvas se conserva, por lo que las curvas duales tienen el mismo grupo de simetría. En este caso, ambas simetrías se realizan como una reflexión de izquierda a derecha; este es un artefacto de cómo el espacio y el espacio dual se han identificado; en general, son simetrías de diferentes espacios.
Generalizaciones [ editar ]
Dimensiones superiores [ editar ]
De manera similar, al generalizar a dimensiones más altas, dada una hipersuperficie , el espacio tangente en cada punto da una familia de hiperplanos y, por lo tanto, define una hipersuperficie dual en el espacio dual. Para cualquier subvariedad cerrada X en un espacio proyectivo, el conjunto de todos los hiperplanos tangente a un cierto punto de X es una subvariedad cerrada de la dual del espacio proyectivo, llamado el dual variedad de X .
Ejemplos
- Si X es una hipersuperficie definida por un polinomio homogéneo F ( x 0 , ..., x n ) , entonces la variedad dual de X es la imagen de X en el mapa de gradiente
-
- Lo que aterriza en el doble espacio proyectivo.
- La variedad dual de un punto ( a 0 : ..., a n ) es el hiperplano
Doble polígono [ editar ]
La construcción de la curva dual funciona incluso si la curva es lineal por partes (o diferenciable por partes , pero el mapa resultante es degenerado (si hay componentes lineales) o está mal definido (si hay puntos singulares).
En el caso de un polígono, todos los puntos de cada borde comparten la misma línea tangente y, por lo tanto, se asignan al mismo vértice del dual, mientras que la línea tangente de un vértice está mal definida y se puede interpretar como todas las líneas que pasan a través de él con ángulo entre los dos bordes. Esto concuerda con la dualidad proyectiva (las líneas se asignan a los puntos y los puntos a las líneas) y con el límite de curvas suaves sin componente lineal: como una curva se aplana a un borde, sus líneas tangentes se asignan a puntos cada vez más cercanos; como una curva se agudiza a un vértice, sus líneas tangentes se extienden más separadas.
dualidad ( plana ) es la formalización de este concepto. Hay dos enfoques para el tema de la dualidad, uno a través del lenguaje ( § Principio de la dualidad ) y el otro un enfoque más funcional a través de mapeos especiales . Estos son completamente equivalentes y cualquiera de los dos tratamientos tiene como punto de partida el axiomático.Versión de las geometrías en consideración. En el enfoque funcional hay un mapa entre las geometrías relacionadas que se llama dualidad . Este mapa se puede construir de muchas maneras. El concepto de dualidad plana se extiende fácilmente a la dualidad espacial y más allá de la dualidad en cualquier geometría proyectiva de dimensión finita .
Principio de dualidad [ editar ]
Un plano proyectivo C puede definirse axiomáticamente como una estructura de incidencia , en términos de un conjunto P de puntos , un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que determina qué puntos se encuentran en qué líneas. Estos conjuntos se pueden utilizar para definir una estructura dual de plano .
Intercambiar el papel de "puntos" y "líneas" en
- C = ( P , L , I)
para obtener la estructura dual
- C * = ( L , P , I * ) ,
donde I * es la relación inversa de la I . C * es también un plano proyectivo, llamado el doble plano de C .
Si C y C ∗ son isomorfos, entonces C se llama auto-dual . Los planos proyectivos PG (2, K ) para cualquier campo (o, más generalmente, para cada anillo de división (campo de sesgo) isomorfo a su doble) K son auto-duales. En particular, los planos desarguesianos de orden finito son siempre auto-duales. Sin embargo, hay planos no desarguesianos que no son auto-duales, como los planos Hall y algunos que lo son, como los planos Hughes .
En un plano proyectivo, una declaración que involucra puntos, líneas e incidencia entre ellos que se obtiene de otra declaración similar al intercambiar las palabras "punto" y "línea" y hacer todos los ajustes gramaticales que sean necesarios, se denomina la declaración dual del plano de la primera . La declaración dual del plano de "Dos puntos están en una línea única" es "Dos líneas se encuentran en un punto único". Formar el plano dual de una declaración se conoce como dualizar la declaración.
Si un enunciado es verdadero en un plano proyectivo C , entonces el doble plano de esa declaración debe ser cierto en el doble plano C * . Esto se sigue, ya que la dualización de cada declaración en la prueba "en C " da una declaración correspondiente de la prueba "en C ∗ ".
El principio de dualidad avión dice que dualizing cualquier teorema en un auto de doble plano proyectivo Cproduce otro teorema válido en C . [1]
Los conceptos anteriores se pueden generalizar para hablar de dualidad espacial, donde los términos "puntos" y "planos" se intercambian (y las líneas siguen siendo líneas). Esto conduce al principio de dualidad espacial . [1]
Estos principios proporcionan una buena razón para preferir usar un término "simétrico" para la relación de incidencia. Por lo tanto, en lugar de decir "un punto se encuentra en una línea", uno debería decir "un punto es incidente con una línea", ya que la dualización de esta última solo implica el intercambio de punto y línea ("una línea es incidente con un punto"). [2]
La validez del principio de dualidad del plano se deriva de la definición axiomática de un plano proyectivo. Los tres axiomas de esta definición pueden escribirse de modo que sean declaraciones auto-duales que implican que el dual de un plano proyectivo es también un plano proyectivo. El dual de una declaración verdadera en un plano proyectivo es, por lo tanto, una declaración verdadera en el plano proyectivo dual y la implicación es que para los planos auto-duales, el dual de una declaración verdadera en ese plano es también una declaración verdadera en ese plano. [3]
Teoremas duales [ editar ]
Como el plano proyectivo real , PG (2, R ) , es auto-dual, hay varios pares de resultados bien conocidos que son duales entre sí. Algunos de estos son:
- El teorema de Desargues ⇔ recíproco del teorema de Desargues
- Teorema de Pascal the Teorema de Brianchon
- Teorema de Menelao the Teorema de Ceva
Configuraciones duales [ editar ]
No solo las declaraciones, sino también los sistemas de puntos y líneas pueden ser dualizados.
Un conjunto de m puntos y n líneas se denomina configuración ( m c , n d ) si c de las n líneas pasan a través de cada punto y d de los m puntos se encuentran en cada línea. El dual de una configuración ( m c , n d ) , es una configuración ( n d , m c ) . Así, el dual de un cuadrángulo, un (4 3, 6 2) la configuración de cuatro puntos y seis líneas, es un cuadrilátero, una configuración (6 2 , 4 3 ) de seis puntos y cuatro líneas. [4]
El conjunto de todos los puntos en una línea, llamado rango proyectivo, tiene como doble un lápiz de líneas , el conjunto de todas las líneas en un punto.
La dualidad como una asignación [ editar ]
Dualidades planas [ editar ]
Una dualidad plana es un mapa desde un plano proyectivo C = ( P , L , I) a su plano dual C ∗ = ( L , P , I ∗ )(ver § Principio de dualidad ) que preserva la incidencia . Es decir, una dualidad plana σ asignará puntos a líneas y líneas a puntos ( P σ = L y L σ = P ) de tal manera que si un punto Q está en una línea m (denotada porQ I m ) luego Q I m ⇔ m σ I ∗ Q σ . Una dualidad plana que es un isomorfismo se llama correlación . [5] La existencia de una correlación significa que el plano proyectivo C es auto-dual .
El plano proyectivo C en esta definición no necesita ser un plano desarguesiano . Sin embargo, si es, es decir, C = PG (2, K ) con K un anillo de división (skewfield), entonces una dualidad, como se define a continuación para espacios proyectivos generales , da una dualidad plana en C que satisface la definición anterior.
En espacios proyectivos generales [ editar ]
Una dualidad δ de un espacio proyectivo es una permutación de los subespacios de PG ( n , K ) (también denotado por K P n ) con K un campo (o más generalmente un campo de skewfield ( anillo de división )) que invierte la inclusión, [6] es decir:
- S ⊆ T implica S δ ⊇ T δ para todos los subespacios S , T de PG ( n , K ) . [7]
En consecuencia, una dualidad intercambia objetos de dimensión r con objetos de dimensión n - 1 - r (= codimension r + 1 ). Es decir, en un espacio proyectivo de dimensión n , los puntos (dimensión 0) corresponden a hiperplanos (codimension 1), las líneas que unen dos puntos (dimensión 1) corresponden a la intersección de dos hiperplanos (codimension 2), y así sucesivamente.
Clasificación de dualidades [ editar ]
La doble V ∗ de un espacio vectorial de dimensión finita (derecha) V sobre un campo de skew K puede considerarse como un espacio vectorial (derecha) de la misma dimensión sobre el skewfield opuesto K o . Por lo tanto, hay una inclusión de inversión de inclusión entre los espacios proyectivos PG ( n , K ) y PG ( n , K o ) . Si K y K o son isomorfos, entonces existe una dualidad en PG ( n , K ) . Por el contrario, si PG (n , K ) admite una dualidad para n > 1 , entonces K y K o son isomorfos.
Sea π una dualidad de PG ( n , K ) para n > 1 . Si π se compone con el isomorfismo natural entre PG ( n , K ) y PG ( n , K o ) , la composición θ es una bijección que preserva la incidencia entre PG ( n , K ) y PG ( n , K o ) . Por el teorema fundamental de la geometría proyectiva θ es inducida por unaMapa semilineal T : V → V * con isomorfismo asociado σ : K → K O , que puede ser visto como un antiautomorphism de K . En la literatura clásica, π se llamaría una reciprocidad en general, y si σ = id se llamaría una correlación (y K sería necesariamente un campo ). Algunos autores suprimen la función del isomorfismo natural y llaman θ una dualidad. [8]Cuando se hace esto, se puede pensar en una dualidad como una colineación entre un par de espacios proyectivos especialmente relacionados y se llama reciprocidad. Si esta colineación es una proyectividad, entonces se llama correlación.
Deje T w = T ( w ) denota el funcional lineal de V * asociado con el vector w en V . Defina la forma φ : V × V → K por:
Cualquier dualidad de PG ( n , K ) para n > 1 es inducida por una forma sesquilineal no degenerada en el espacio vectorial subyacente (con un antiautomorfismo compañero) y viceversa.
Homogéneo formulación de coordenadas [ editar ]
Se pueden usar coordenadas homogéneas para dar una descripción algebraica de dualidades. Para simplificar esta discusión, asumiremos que K es un campo , pero todo se puede hacer de la misma manera cuando K es un campo de sesgo, siempre que se preste atención al hecho de que la multiplicación no necesita ser una operación conmutativa .
Los puntos de PG ( n , K ) pueden tomarse como vectores no nulos en el espacio vectorial ( n + 1 ) -dimensional sobre K , donde identificamos dos vectores que difieren por un factor escalar. Otra forma de decirlo es que los puntos del espacio proyectivo n -dimensional son los subespacios vectoriales unidimensionales , que pueden visualizarse como las líneas a través del origen en K n +1 . [9] También los subespacios n - (vector) dimensionales de K n +1 representan los ( n - 1) - hiperplanos dimensionales (geométricos) del espacio- n proyectivo sobre K , es decir, PG ( n , K ) .
Un vector distinto de cero u = ( u 0 , u 1 , ..., u n ) en K n +1 también determina un ( n - 1) - subespacio geométrico dimensional (hiperplano) H u , por
- H u = {( x 0 , x 1 , ..., x n ): u 0 x 0 + ... + u n x n = 0} .
Cuando un vector u se utiliza para definir un hiperplano de este modo se denota por u H , mientras que si está designando un punto vamos a utilizar u P . Se les conoce como coordenadas de puntos o coordenadas de hiperplano respectivamente (en el caso importante de dos dimensiones, las coordenadas de hiperplano se denominan coordenadas de línea ). Algunos autores distinguen cómo debe interpretarse un vector escribiendo las coordenadas del hiperplano como vectores horizontales (filas), mientras que las coordenadas de los puntos se escriben como vectores verticales (columnas). Por lo tanto, si u es un vector de columna tendríamos u P = umientras uH = u T . En términos del producto de puntos habitual, H u = { x P : u H ⋅ x P = 0} . Desde K es un campo, el producto escalar es simétrica, lo que significau H ⋅ x P = u 0 x 0 + u 1 x 1 + ... + u n x n = x 0 u 0 + x 1 u 1+ ... + x n u n = x H ⋅ u P .
Un ejemplo fundamental [ editar ]
Una simple reciprocidad (en realidad una correlación) puede ser dada por u P ↔ u H entre puntos e hiperplanos. Esto se extiende a una reciprocidad entre la línea generada por dos puntos y la intersección de dos de estos hiperplanos, y así sucesivamente.
Específicamente, en el plano proyectivo , PG (2, K ) , con el campo K a, tenemos la correlación dada por: puntos en coordenadas homogéneas ( a , b , c ) líneas con ecuaciones ax + by + cz = 0 . En un espacio proyectivo, PG (3, K ) , una correlación viene dada por: puntos en coordenadas homogéneas ( a , b , c , d ) ↔ planos con ecuaciones ax+ por + cz + dw = 0 . Esta correlación también asignaría una línea determinada por dos puntos ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) y ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) a la línea que es la intersección de los dos planos con ecuaciones a 1 x + b 1 y + c 1 z + d1 w = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 w = 0 .
La forma sesquilineal asociada a esta correlación es:
- φ ( u , x ) = u H ⋅ x P = u 0 x 0 + u 1 x 1 + ... + u n x n ,
donde el compañero antiautomorfismo σ = id . Por lo tanto, esta es una forma bilineal (tenga en cuenta que Kdebe ser un campo). Esto se puede escribir en forma de matriz (con respecto a la base estándar) como:
- φ ( u , x ) = u H G x P ,
donde G es la matriz de identidad ( n + 1) × ( n + 1) , utilizando la convención de que u H es un vector de fila y x P es un vector de columna.
La correlación está dada por:
Interpretación geométrica en el plano proyectivo real [ editar ]
Esta correlación en el caso de PG (2, R ) se puede describir geométricamente usando el modelo del plano proyectivo real que es una "esfera unidad con antípodas [10] identificadas", o equivalentemente, el modelo de líneas y planos a través del origen del espacio vectorial R 3 . Asocie a cualquier línea a través del origen el plano único a través del origen que es perpendicular (ortogonal) a la línea. Cuando, en el modelo, estas líneas se consideran los puntos y los planos las líneas del plano proyectivo PG (2, R ), esta asociación se convierte en una correlación (en realidad una polaridad) del plano proyectivo. El modelo de esfera se obtiene intersectando las líneas y los planos a través del origen con una esfera unitaria centrada en el origen. Las líneas se encuentran con la esfera en puntos antípodas que luego deben identificarse para obtener un punto del plano proyectivo, y los planos se encuentran con la esfera en grandes círculos, que son así las líneas del plano proyectivo.
Que esta asociación "preserva" la incidencia se ve más fácilmente desde el modelo de líneas y planos. Un punto incidente con una línea en el plano proyectivo corresponde a una línea a través del origen que se encuentra en un plano a través del origen en el modelo. Aplicando la asociación, el plano se convierte en una línea a través del origen perpendicular al plano con el que está asociado. Esta línea de imagen es perpendicular a cada línea del plano que pasa por el origen, en particular la línea original (punto del plano proyectivo). Todas las líneas que son perpendiculares a la línea original en el origen se encuentran en el plano único que es ortogonal a la línea original, es decir, el plano de la imagen bajo la asociación. Así, la línea de la imagen se encuentra en el plano de la imagen y la asociación conserva la incidencia.
Forma de matriz [ editar ]
Como en el ejemplo anterior, las matrices se pueden usar para representar dualidades. Vamos π haber una dualidad de PG ( n , K ) para n > 1 y vamos φ ser la forma sesquilinear asociado (con el compañero antiautomorphism σ ) en el subyacente ( n + 1 ) -dimensional espacio vectorial V . Dada una base { e i } de V , podemos representar esta forma mediante:
donde G es una matriz no singular ( n + 1) × ( n + 1) sobre K y los vectores se escriben como vectores de columna. La notación x σ significa que el antiautomorfismo σ se aplica a cada coordenada del vector x .
Ahora define la dualidad en términos de coordenadas de puntos por:
Polaridad [ editar ]
Una dualidad que es una involución (tiene orden dos) se llama polaridad . Es necesario distinguir entre las polaridades de los espacios proyectivos generales y los que surgen de la definición ligeramente más general de dualidad plana. También es posible dar declaraciones más precisas en el caso de una geometría finita , por lo que enfatizaremos los resultados en planos proyectivos finitos.
Polaridades de espacios descriptivos generales [ editar ]
Si π es una dualidad de PG ( n , K ) , con K un skewfield, a continuación, una notación común se define por π ( S ) = S ⊥ para un subespacio S de PG ( n , K ) . Por lo tanto, una polaridad es una dualidad para la cual S ⊥⊥ = S para cada subespacio S de PG ( n , K ) . También es común omitir mencionar el espacio dual y escribir, en términos de la forma sesquilineal asociada:
Una forma sesquilineal φ es reflexiva si φ ( u , x ) = 0 implica φ ( x , u ) = 0 .
Una dualidad es una polaridad si y solo si la forma sesquilineal (no degenerada) que la define es reflexiva. [11]
Se han clasificado las polaridades, un resultado de Birkhoff & von Neumann (1936) que ha sido reprobado varias veces. [11] [12] [13] Deje que V sea un (izquierda) espacio vectorial sobre la skewfield K y varphi ser una forma sesquilinear no degenerado reflexiva en V con el compañero anti-automorphism σ . Si φ es la forma sesquilineal asociada con una polaridad, entonces:
- σ = id (por lo tanto, K es un campo) y φ ( u , x ) = φ ( x , u ) para todos u , x en V , es decir, φ es una forma bilineal. En este caso, la polaridad se llama ortogonal (u ordinaria ). Si la característica del campoK es dos, para ser en este caso debe existir un vector z con φ ( z , z ) ≠ 0 , y la polaridad se denominapseudo polaridad . [14]
- σ = id (por lo tanto, K es un campo) y φ ( u , u ) = 0 para todos u en V . La polaridad se denominapolaridad nula (o polaridad simpléctica ) y solo puede existir cuando la dimensión proyectiva n es impar.
- σ 2 = id ≠ σ (aquí K no tiene que ser un campo) y φ ( u , x ) = φ ( x , u ) σ para todos u , x en V . Tal polaridad se denomina polaridad unitaria (o polaridad hermitiana ).
Un punto P de PG ( n , K ) es un punto absoluto ( punto auto-conjugado) con respecto a la polaridad ⊥ si P I P ⊥ . Del mismo modo, un hiperplano H es un hiperplano absoluta (hiperplano auto-conjugado) si H ⊥ I H . Expresado en otros términos, un punto x es un punto de polaridad absoluto π con una forma sesquilineal asociada φ si φ ( x , x ) = 0 y siφ se escribe en términos de matriz G , x T G x σ = 0 .
El conjunto de puntos absolutos de cada tipo de polaridad puede ser descrito. Nuevamente restringimos la discusión al caso de que K es un campo. [15]
- Si K es un campo cuya característica no dos es, el conjunto de puntos absolutos de una polaridad ortogonal formar un no singular cuádrica (si K es infinito, esto podría ser vacío). Si la característica es dos, los puntos absolutos de una pseudo polaridad forman un hiperplano.
- Todos los puntos del espacio PG (2 s + 1, K ) son puntos absolutos de polaridad nula.
- Los puntos absolutos de una polaridad hermitiana forman una variedad hermitiana , que puede estar vacía si K es infinito.
Cuando se compone consigo misma, la correlación φ ( x P ) = x H (en cualquier dimensión) produce la función de identidad , por lo que es una polaridad. El conjunto de puntos absolutos de esta polaridad serían los puntos cuyas coordenadas homogéneas satisfacen la ecuación:
- x H ⋅ x P = x 0 x 0 + x 1 x 1 + ... + x n x n = x 0 2 + x 1 2 + ... + x n 2 = 0 .
¿Qué puntos son en este conjunto de puntos depende del campo K . Si K = R, entonces el conjunto está vacío, no hay puntos absolutos (ni hiperplanos absolutos). Por otro lado, si K = C, el conjunto de puntos absolutos forma una cuadrícula no degenerada (una cónica en el espacio bidimensional). Si K es un campo finito de característica impar , los puntos absolutos también forman una cuadrícula, pero si la característica es incluso los puntos absolutos forman un hiperplano (esto es un ejemplo de una pseudo polaridad).
Bajo ninguna dualidad, el punto P se llama el polo del hiperplano P ⊥ , y esto se llama el hiperplano polar del punto P . Usando esta terminología, los puntos absolutos de una polaridad son los puntos que inciden con sus polares y los hiperplanos absolutos son los hiperplanos que inciden con sus polos.
Polaridades en planos proyectivos finitos [ editar ]
Según el teorema de Wedderburn, cada campo de campo finito es un campo y un automorfismo de orden dos (distinto de la identidad) solo puede existir en un campo finito cuyo orden es un cuadrado. Estos hechos ayudan a simplificar la situación general de los planos desarguesianos finitos . Tenemos: [16]
Si π es una polaridad del plano proyectivo desarguesiano PG (2, q ) donde q = p e para algunos p primos , entonces el número de puntos absolutos de π es q + 1 si π es ortogonal o q 3/2 + 1 Si π es unitario. En el caso ortogonal, los puntos absolutos se encuentran en una cónica si p es impar o forman una línea si p = 2 . El caso unitario solo puede ocurrir si q es un cuadrado; Los puntos absolutos y las líneas absolutas forman unaunital .
En el caso general del plano proyectivo, donde dualidad significa dualidad plana , las definiciones de polaridad, elementos absolutos, polo y polar siguen siendo las mismas.
Dejemos que P denote un plano proyectivo de orden n . Contar argumentos puede establecer que para una polaridad π de P : [16]
El número de puntos (líneas) no absolutos que inciden con una línea (punto) no absoluta es par.
Además, [17]
La polaridad π tiene al menos n + 1 puntos absolutos y si n no es un cuadrado, exactamente n + 1 puntos absolutos. Si π tiene exactamente n + 1 puntos absolutos entonces;
- si n es impar, los puntos absolutos forman un óvalo cuyas tangentes son las líneas absolutas; o
- si n es par, los puntos absolutos son colineales en una línea no absoluta.
Seib [18] dio un límite superior al número de puntos absolutos en el caso de que n sea un cuadrado y un argumento puramente combinatorio puede establecer: [19]
Una polaridad π en un plano proyectivo de orden cuadrado n = s 2 tiene como máximo s 3 + 1 puntos absolutos. Además, si el número de puntos absolutos es s 3 + 1 , entonces los puntos absolutos y las líneas absolutas forman unital (es decir, cada línea del plano cumple con este conjunto de puntos absolutos en 1 o s + 1 puntos). [20]
Polos y polares [ editar ]
Reciprocation en el plano euclidiano [ editar ]
Un método que puede usarse para construir una polaridad del plano proyectivo real tiene, como punto de partida, una construcción de una dualidad parcial en el plano euclidiano .
En el plano euclidiano, fije un círculo C con centro O y radio r . Para cada punto P distinto de O, defina un punto de imagen Q de modo que OP ⋅ OQ = r 2 . El mapeo definido por P → Q se llama inversión con respecto al círculo C . La línea p a la Q que es perpendicular a la línea OP se llama polar [21] del punto P con respecto al círculo C.
Deje que q sea una línea no pasa a través de O . Suelte una perpendicular de O a q , encontrándose q en el punto P (este es el punto de q más cercano a O ). La imagen Q de P bajo inversión con respecto a C se llama el polo [21] de q . Si un punto M está en una línea q (no pasa a través de O ), el polo de q se encuentra en el polar de My viceversa. El proceso de preservación de la incidencia, en el cual los puntos y las líneas se transforman en sus polares y polos con respecto a C se llama reciprocidad . [22]
Para convertir este proceso en una correlación, el plano euclidiano (que no es un plano proyectivo) debe expandirse al plano euclidiano extendido agregando una línea en el infinito y puntos en el infinito que se encuentran en esta línea. En este plano expandido, definimos el polar del punto O como la línea en el infinito (y O es el polo de la línea en el infinito), y los polos de las líneas a través de O son los puntos del infinito donde, si una línea tiene pendiente s (≠ 0) su polo es el punto infinito asociado a la clase paralela de líneas con pendiente −1 / s . El polo de la x-El eje es el punto de infinito de las líneas verticales y el polo del eje y es el punto de infinito de las líneas horizontales.
La construcción de una correlación basada en la inversión en un círculo dado anteriormente se puede generalizar usando la inversión en una sección cónica (en el plano real extendido). Las correlaciones construidas de esta manera son de orden dos, es decir, polaridades.
Algebraic formulación [ editar ]
Describiremos algebraicamente esta polaridad siguiendo la construcción anterior en el caso de que C sea el círculo unitario (es decir, r = 1 ) centrado en el origen.
Un punto afín P , distinto del origen, con coordenadas cartesianas ( a , b ) tiene como su inverso en la unidad del círculo el punto Q con coordenadas,
La línea que pasa a través de Q que es perpendicular a la línea OP tiene la ecuación ax + by = 1 .
Al cambiar a coordenadas homogéneas utilizando la incrustación ( a , b ) ↦ ( a , b , 1) , la extensión al plano proyectivo real se obtiene permitiendo que la última coordenada sea 0. Recordando que las coordenadas del punto se escriben como vectores de columna y línea Coordenadas como vectores de fila, podemos expresar esta polaridad mediante:
tal que
O bien, con la notación alternativa, π (( x , y , z ) P ) = ( x , y , - z ) L . La matriz de la forma sesquilineal asociada (con respecto a la base estándar) es:
Los puntos absolutos de esta polaridad vienen dados por las soluciones de:
donde P T = ( x , y , z ) . Tenga en cuenta que, restringido al plano euclidiano (es decir, que establece z = 1 ), este es solo el círculo unitario, el círculo de inversión.
Enfoque sintético [ editar ]
La teoría de los polos y polares de una cónica en un plano proyectivo puede desarrollarse sin el uso de coordenadas y otros conceptos métricos.
Deje C ser una cónica en PG (2, F ) donde F es un campo no de dos características, y dejar que P sea un punto de este plano no en C . Dos líneas secantes distintas a la cónica, dicen AB y JK, determinan cuatro puntos en la cónica ( A , B , J , K ) que forman un cuadrángulo . El punto P es un vértice del triángulo diagonal de este cuadrángulo. El polar de Pcon respecto a C es el lado del triángulo diagonal opuestoP . [23]
La teoría de los conjugados armónicos de puntos en una línea también se puede utilizar para definir esta relación. Usando la misma notación que arriba;
Si una línea variable a través del punto P es un secante de la cónica C , los conjugados armónicas de P con respecto a los dos puntos de C en todo el secante se encuentran en la polar de P . [24]
Propiedades [ editar ]
Hay varias propiedades que tienen las polaridades en un plano proyectivo. [25]
Dada una polaridad π , un punto P se encuentra en la línea q , el polar de punto Q si y sólo si Q se encuentra en p , la polar de P .
Los puntos P y Q que están en esta relación se llaman puntos conjugados con respecto a π . Los puntos absolutos se llaman auto-conjugados de acuerdo con esta definición, ya que inciden con sus propios polares. Las líneas conjugadas se definen dualmente.
La línea que une dos puntos auto-conjugados no puede ser una línea auto-conjugada.
Una línea no puede contener más de dos puntos auto-conjugados.
Una polaridad induce una involución de puntos conjugados en cualquier línea que no sea auto-conjugada.
Un triángulo en el que cada vértice es el polo de la cara opuesta se denomina auto-polar triángulo.
Una correlación que asigna los tres vértices de un triángulo a sus lados opuestos respectivamente es una polaridad y este triángulo es auto-polar con respecto a esta polaridad.
Historia [ editar ]
El principio de dualidad se debe a Joseph Diaz Gergonne (1771-1859), un campeón del entonces emergente campo de la geometría analítica y fundador y editor de la primera revista dedicada enteramente a las matemáticas, Annales de mathématiques pures et appliquées . Gergonne y Charles Julien Brianchon (1785-1864) desarrollaron el concepto de dualidad plana. Gergonne acuñó los términos "dualidad" y "polar" (pero "polo" se debe a F.-J. Servois ) y adoptó el estilo de escritura de declaraciones duales en su diario.
Jean-Victor Poncelet (1788-1867), autor del primer texto sobre geometría proyectiva , Traité des propriétés Projectives des Figures , fue un geómetro sintético que desarrolló sistemáticamente la teoría de los polos y polares con respecto a una cónica. Poncelet sostenía que el principio de dualidad era una consecuencia de la teoría de los polos y polares.
A Julius Plücker (1801-1868) se le atribuye la extensión del concepto de dualidad a espacios proyectivos tridimensionales y superiores.
Poncelet y Gergonne comenzaron como rivales serios pero amistosos, presentando sus diferentes puntos de vista y técnicas en los documentos que aparecen en Annales de Gergonne . El antagonismo creció sobre el tema de la prioridad al reclamar el principio de dualidad como propio. Un joven Plücker se vio envuelto en esta enemistad cuando un documento que había enviado a Gergonne fue editado tan intensamente cuando se publicó que Poncelet fue engañado haciéndole creer que Plücker lo había plagiado. El ataque vitriólico de Poncelet fue contrarrestado por Plücker con el apoyo de Gergonne y, en última instancia, la responsabilidad recaía en Gergonne. [26] De esta enemistad, Pierre Samuel [27] ha dicho que dado que ambos hombres estaban en el ejército francés y Poncelet era un general, mientras que Gergonne era un simple capitán, la opinión de Poncelet prevaleció, al menos entre sus contemporáneos franceses.
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