invariante de Laguerre-Forsyth es un diferencial cúbico que es un invariante de una curva de plano proyectivo. Lleva el nombre de Edmond Laguerre y Andrew Forsyth , el último de los cuales analizó el invariante en un libro influyente sobre ecuaciones diferenciales ordinarias .
Suponer que es una inmersión tres veces continuamente diferenciable de la línea proyectiva en el plano proyectivo , con coordenadas homogéneas dadas porentonces asociada a pes la ecuación diferencial ordinaria de tercer orden
Genéricamente, esta ecuación se puede poner en la forma
dónde Son funciones racionales de los componentes de p y sus derivados. Después de un cambio de variables de la forma., esta ecuación se puede reducir aún más a una ecuación sin los términos del primer o segundo derivado
El invariante Es el invariante Laguerre – Forsyth.
Una propiedad clave de P es que el diferencial cúbico P ( dt ) 3 es invariante en el grupo de automorfismode la linea proyectiva. Más precisamente, es invariante bajo, y .
El invariante P desaparece de manera idéntica si (y solo si) la curva es una sección cónica . Los puntos donde Pdesaparece se llaman los puntos sextáticos de la curva. Es un teorema de Herglotz y Radon que cada curva estrictamente convexa cerrada tiene al menos seis puntos sextáticos. Thorgbersson y Umehara (2002) han extendido este resultado a una variedad de mínimos óptimos para curvas simples cerradas (pero no necesariamente convexas ) , según la clase de homotopía de la curva en el plano proyectivo.
línea en el infinito es una línea proyectiva que se agrega al plano real (afín) para dar cierre y eliminar los casos excepcionales de las propiedades de incidencia del plano proyectivo resultante . La línea en el infinito también se llama la línea ideal .
Formulación geométrica [ editar ]
En la geometría proyectiva, cualquier par de líneas siempre se interseca en algún punto, pero las líneas paralelasno se intersecan en el plano real. La línea en el infinito se agrega al plano real. Esto completa el plano, porque ahora las líneas paralelas se intersecan en un punto que se encuentra en la línea en el infinito. Además, si algún par de líneas se intersecan en un punto de la línea en el infinito, entonces el par de líneas es paralelo.
Cada línea cruza la línea en el infinito en algún punto. El punto en el que las líneas paralelas se intersecan depende solo de la pendiente de las líneas, no en absoluto en su intersección en y .
En el plano afín, una línea se extiende en dos direcciones opuestas. En el plano proyectivo, las dos direcciones opuestas de una línea se encuentran en un punto de la línea en el infinito. Por lo tanto, las líneas en el plano proyectivo son curvas cerradas , es decir, son cíclicas en lugar de lineales. Esto es verdad de la línea en el infinito mismo; se encuentra en sus dos puntos finales (que, por lo tanto, no son realmente puntos finales) y, por lo tanto, es cíclico.
Perspectiva topológica [ editar ]
La línea en el infinito se puede visualizar como un círculo que rodea el plano afín. Sin embargo, los puntos del círculo diametralmente opuestos son equivalentes, son el mismo punto. La combinación del plano afín y la línea en el infinito hace que el plano proyectivo real ,.
Una hipérbola se puede ver como una curva cerrada que cruza la línea en el infinito en dos puntos diferentes. Estos dos puntos están especificados por las pendientes de las dos asíntotas de la hipérbola. Del mismo modo, una parábola puede verse como una curva cerrada que intersecta la línea en el infinito en un solo punto. Este punto está especificado por la pendiente del eje de la parábola. Si la parábola se corta por su vértice en un par simétrico de "cuernos", entonces estos dos cuernos se vuelven más paralelos entre sí más alejados del vértice, y en realidad son paralelos al eje y entre sí en el infinito, de modo que intersecta en la línea en el infinito.
El análogo para el plano proyectivo complejo es una "línea" en el infinito que es (naturalmente) una línea proyectiva compleja . Topológicamente, esto es bastante diferente, ya que es una esfera de Riemann , que por lo tanto es una 2 esfera , que se agrega a un espacio afín complejo de dos dimensiones sobre C (por lo tanto, cuatro dimensiones reales ), lo que da como resultado un distribuidor compacto de cuatro dimensiones . El resultado es orientable , mientras que el plano proyectivo real no lo es.
Historia [ editar ]
La línea compleja en el infinito fue muy utilizada en la geometría del siglo XIX. De hecho, uno de los trucos más aplicados fue considerar un círculo como una cónica restringida para pasar a través de dos puntos en el infinito, las soluciones de
- X 2 + Y 2 = 0.
Esta ecuación es la forma adoptada por la de cualquier círculo cuando dejamos caer términos de orden inferior en X y Y . Más formalmente, debemos utilizar coordenadas homogéneas.
- [ X: Y: Z ]
y tenga en cuenta que la línea en el infinito se especifica mediante la configuración
- Z = 0.
Al hacer que las ecuaciones sean homogéneas al introducir potencias de Z y luego establecer Z = 0, se eliminan precisamente los términos de orden inferior.
Resolviendo la ecuación, por lo tanto, encontramos que todos los círculos "atraviesan" los puntos circulares en el infinito
- I = [1: i : 0] y J = [1: - i : 0].
Por supuesto, estos son puntos complejos, para cualquier conjunto representativo de coordenadas homogéneas. Como el plano proyectivo tiene un grupo de simetría lo suficientemente grande , no son de ninguna manera especiales. La conclusión es que la familia de tres parámetros de círculos puede tratarse como un caso especial del sistema lineal de cónicas que pasa a través de dos puntos distintos P y Q dados .
transformación fraccional lineal es, en términos generales, una transformación de la forma
Que tiene un inverso . La definición precisa depende de la naturaleza de a , b , c , d y z . En otras palabras, una transformación fraccional lineal es una transformación que está representada por una fracción cuyo numerador y denominador son lineales .
En la configuración más básica, a , b , c , d y z son números complejos (en cuyo caso la transformación también se denomina transformación de Möbius ), o más generalmente a un campo . La condición de invertibilidad es entonces ad - bc ≠ 0 . Sobre un campo, una transformación fraccional lineal es la restricción al campo de una transformación proyectiva u homografía de la línea proyectiva .
Cuando a , b , c , d son enteros (o, más generalmente, pertenecen a un dominio integral ), se supone que z es un número racional (o que pertenece al campo de fracciones del dominio integral. En este caso, el La condición de invertibilidad es que ad - bc debe ser una unidad del dominio (que es 1 o −1 en el caso de los enteros). [1]
En la configuración más general, a , b , c , d y z son matrices cuadradas o, más generalmente, elementos de un anillo . Un ejemplo de dicha transformación fraccional lineal es la transformada de Cayley , que se definió originalmente en el anillo de matriz real 3 x 3 .
Lineales transformaciones fraccionales son ampliamente utilizados en diversas áreas de matemáticas y sus aplicaciones a la ingeniería, tales como clásica geometría , la teoría de números (que se utilizan, por ejemplo, en la prueba de Wiles de último teorema de Fermat ), la teoría de grupos , la teoría de control .
Definición general [ editar ]
En general, una transformación fraccional lineal es una homografía de P ( A ), la línea de proyectivo sobre un anillo A . Cuando A es un anillo conmutativo , entonces una transformación fraccional lineal tiene la forma familiar
donde a , b , c , d son elementos de A tales que ad - bc es una unidad de a (es decir, ad - bc tiene un inverso multiplicativo en A )
En un anillo no conmutativo A , con ( z, t ) en A 2 , las unidades u determinan una relación de equivalencia Una clase de equivalencia en la línea proyectiva sobre A se escribe U ( z, t ). Luego, las transformaciones fraccionales lineales actúan a la derecha de un elemento de P ( A ):
El anillo está incrustado en su línea proyectiva por z → U ( z , 1), por lo que t = 1 recupera la expresión usual. Esta transformación fraccional lineal está bien definida ya que U ( za + tb , zc + td ) no depende de qué elemento se selecciona de su clase de equivalencia para la operación.
El grupo De las transformaciones fraccionales lineales se llama el grupo modular . Ha sido ampliamente estudiado debido a sus numerosas aplicaciones a la teoría de números , que incluyen, en particular, la prueba de Wiles del último teorema de Fermat .
Uso en matemáticas superiores [ editar ]
En matemáticas, la configuración más básica para las transformadas fraccionarias lineales es la transformación de Möbius , que comúnmente aparece en la teoría de las fracciones continuas , y en teoría analítica de númerosde curvas elípticas y formas modulares , ya que describe los automorfismos del semiplano superior bajo La acción del grupo modular . También proporciona un ejemplo canónico de fibración de Hopf , donde el flujo geodésico inducido por la transformación fraccional lineal descompone el complejo espacio proyectivo en múltiples estables e inestables , con los horociclos.Apareciendo perpendicular a las geodésicas. Vea el flujo de Anosov para un ejemplo trabajado de la fibración: en este ejemplo, las geodésicas están dadas por la transformada lineal fraccional
con un , b , c y d real, con. En términos generales, el colector central se genera por las transformaciones parabólicas , el colector inestable por las transformaciones hiperbólicas y el colector estable por las transformaciones elípticas.
Uso en teoría del control [ editar ]
Las transformaciones fraccionales lineales se utilizan ampliamente en la teoría de control para resolver problemas de relación planta-controlador en ingeniería mecánica y eléctrica . [2] [3] El procedimiento general de combinar transformaciones fraccionales lineales con el producto estrella Redheffer permite aplicarlas a la teoríade dispersión de ecuaciones diferenciales generales, incluida la matriz Senfoque en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos, la dispersión de las ondas acústicas en los medios (por ejemplo, termoclinas y submarinos en los océanos, etc.) y el análisis general de la dispersión y los estados unidos en ecuaciones diferenciales. Aquí, los componentes de la matriz 3x3 se refieren a los estados de entrada, límite y salida. Quizás la aplicación de ejemplo más simple de transformaciones fraccionarias lineales ocurra en el análisis del oscilador armónico amortiguado . Otra aplicación elemental es obtener la forma normal de Frobenius , es decir, la matriz compañera de un polinomio.
Propiedad conforme [ editar ]
Los anillos conmutativos de números de división complejo y números duales unirse a los ordinarios números complejos como anillos que expresan ángulo. En cada caso, el mapa exponencial aplicado al eje imaginario produce un isomorfismo entre grupos de un parámetro en ( A , +) y en el grupo de unidades ( U , ×):
El "ángulo" y es un ángulo hiperbólico , una pendiente o un ángulo circular de acuerdo con el anillo principal.
Una transformación fraccional lineal puede ser generada por multiplicativo inversión z → 1 / z y transformaciones afines z → az + b . La conformidad se puede confirmar mostrando que todos los generadores son conformes. La traducción z → z + b es un cambio de origen y no hace ninguna diferencia al ángulo. Para ver que z → az es conforme, considere la descomposición polar de a y z . En cada caso, el ángulo de a se añade al de zdando un mapa conforme . Finalmente, la inversión es conforme ya que z → 1 / z envía
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