LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

álgebra simple central ( CSA ) sobre un campo K es una dimensión finita álgebra asociativa A , que es sencillo , y para el cual el centro es exactamente K. Como ejemplo, tenga en cuenta que cualquier álgebra simple es un álgebra simple central sobre su centro.

Por ejemplo, los números complejos C forman una CSA sobre sí mismos, pero no sobre los números reales R (el centro de C es todo C , no solo R ). Los cuaterniones H forman una CSA de 4 dimensiones sobre R , y de hecho representan el único elemento no trivial del grupo Brauer de los reales (ver más abajo).

Dados dos álgebras simples centrales A ~ M ( n , S ) y B ~ M ( m , T ) sobre el mismo campo F , A y B se llaman similares (o equivalente de Brauer ) si sus anillos de división S y T son isomorfos. El conjunto de todas las clasesde equivalencia de álgebras simples centrales sobre un campo F dado , bajo esta relación de equivalencia, puede equiparse con una operación de grupo dada por elProducto tensorial de álgebras . El grupo resultante se denomina el grupo Brauer Br ( F ) del campo F . ^[1] Siempre es un grupo de torsión . 

Propiedades [ editar ]

• De acuerdo con el teorema de Artin-Wedderburn una dimensión finita álgebra sencilla A es isomorfo a la matriz de álgebra M ( n , S ) para algunos anillo de división S . Por lo tanto, hay un álgebra de división única en cada clase de equivalencia de Brauer. ^[3]
• Cada automorfismo de un álgebra central simple es un automorfismo interno (se sigue del teorema de Skolem-Noether ).
• La dimensión de un álgebra simple central como un espacio vectorial sobre su centro es siempre un cuadrado: el grado es la raíz cuadrada de esta dimensión. ^[4] El índice de Schur de un álgebra central simple es el grado del álgebra de división equivalente: ^[5] depende solo de la clase Brauer del álgebra. ^[6]
• El período o exponente de un álgebra simple central es el orden de su clase Brauer como un elemento del grupo Brauer. Es un divisor del índice, ^[7] y los dos números están compuestos de los mismos factores primos. ^{[8] [9] [10]}
• Si S es un simple subálgebra de una simple álgebra central de A continuación, dim _F  S divide dim _F  A .
• Cada álgebra simple central de 4 dimensiones sobre un campo F es isomorfa a un álgebra de cuaternión ; de hecho, es un álgebra matricial de dos por dos o un álgebra de división .
• Si D es un álgebra de división central sobre K para la que el índice tiene factorización prima

$${\ displaystyle \ mathrm {ind} (D) = \ prod _ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {m_ {i}} \}

entonces D tiene una descomposición del producto tensorial

$${\ displaystyle D = \ bigotimes _ {i = 1} ^ {r} D_ {i} \}

donde cada componente D _i es un álgebra de división central de índice$${\ displaystyle p_ {i} ^ {m_ {i}}}, y los componentes están determinados de forma única hasta el isomorfismo. ^[11]

Campo de división [ editar ]

Llamamos a un campo E de un cuerpo de descomposición de A sobre K si A ⊗ E es isomorfo a un anillo de matrices sobre E . Cada CSA de dimensión finita tiene un campo de división: de hecho, en el caso de que A sea ​​un álgebra de división, un subcampo máximo de A es un campo de división. En general por teoremas de Wedderburn y Koethe hay un campo de división, que es una extensión separable de K de grado igual al índice de A , y este campo de división es isomorfo a un subcampo de A .^[12] [13] Como ejemplo, el campo C divide el álgebra de cuaternión H sobre R con

{\ displaystyle t + x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k} \ leftrightarrow \ left ({\ begin {array} {* {20} c} t + xi & y + zi \\ -y + zi & t-xi \ end {array}} \ right).}

Podemos utilizar la existencia del cuerpo de descomposición para definir la norma reducida y reducida huellade CSA A . ^[14] Asigne el mapa A a un anillo de matriz sobre un campo de división y defina la norma y traza reducidas como la composición de este mapa con determinante y traza respectivamente. Por ejemplo, en el álgebra de cuaternión H , la división anterior muestra que el elemento t + x i + y j + z k ha reducido la norma t ² + x ² + y ² + z ²y traza reducida 2 t .

La norma reducida es multiplicativa y la traza reducida es aditiva. Un elemento a de A es invertible si y solo si su norma reducida es distinta de cero: por lo tanto, una CSA es un álgebra de división si y solo si la norma reducida es distinta de cero en los elementos distintos de cero. ^[15]

Generalización [ editar ]

Los CSA sobre un campo K son un análogo no conmutativo a los campos de extensión sobre K : en ambos casos, no tienen ideales de 2 lados no triviales, y tienen un campo distinguido en su centro, aunque un CSA puede ser no conmutativo y No es necesario tener inversos (no necesita ser un álgebra de división ). Esto es de particular interés en la teoría numérica no conmutativa como generalizaciones de campos numéricos(extensiones de los racionales Q ); ver campo de número no conmutativo .

álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo semisimple o un módulo completamente reducible es un tipo de módulo que puede entenderse fácilmente desde sus partes. Un anillo que es un módulo semisimple sobre sí mismo se conoce como un anillo semisimpleartiniano . Algunos anillos importantes, como los anillos grupales de grupos finitos sobre campos de característica cero, son anillos semisimples. Un anillo artiniano se entiende inicialmente a través de su mayor coeficiente semisimple. La estructura de los anillos semisimples artinianos es bien entendida por elEl teorema de Artin-Wedderburn , que muestra estos anillos como productos finitos directos de anillos de matriz .

Definición [ editar ]

Un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) con unidad se dice que es semisimple (o completamente reducible ) si es la suma directa de submódulos simples (irreducibles).

Para un módulo M , los siguientes son equivalentes:

1. M es semisimple; Es decir, una suma directa de módulos irreductibles.
2. M es la suma de sus submódulos irreductibles.
3. Cada submódulo de M es un sumando directo : para cada submódulo N de M , hay un complemento P tal que M  =  N  ⊕  P .

por $${\ displaystyle 3 \ Rightarrow 2}, la idea inicial es encontrar un submódulo irreductible seleccionando cualquier otro que no sea cero $${\ displaystyle x \ en M} y dejando $${\ displaystyle P}ser un submódulo máximo tal que$${\ displaystyle x \ notin P}. Se puede demostrar que el complemento de$${\ displaystyle P}es irreductible. ^[1]

El ejemplo más básico de un módulo semisimple es un módulo sobre un campo; Es decir, un espacio vectorial . Por otro lado, el anillo Z de los enteros no es un módulo semisimple sobre sí mismo (porque, por ejemplo, no es un anillo artístico).

Semisimple es más fuerte que completamente descomponible , que es una suma directa de submódulos indecompuestos .

Sea A un álgebra sobre un campo k . Luego, se dice que un módulo izquierdo M sobre A es absolutamente semisimple si, para cualquier extensión de campo F de k ,$${\ displaystyle F \ otimes _ {k} M} es un módulo semisimple sobre $${\ displaystyle F \ otimes _ {k} A}.

Propiedades [ editar ]

• Si M es semisimple y N es un submódulo , N y M / N también son semisimple.
• Si cada uno $${\ displaystyle M_ {i}} Es un módulo semisimple, entonces también lo es. $${\ displaystyle \ bigoplus _ {i} M_ {i}}.
• Un módulo M se genera finamente y es semisimple si y solo si es Artinian y su radical es cero.

Anillos de Endomorfismo [ editar ]

• Un módulo semisimple M sobre un anillo R también puede ser pensado como un homomorfismo de anillo de R en el anillo del grupo abeliano endomorfismos de M . La imagen de este homomorfismo es un anillo semiprimitivo , y cada anillo semiprimitivo es isomorfo a tal imagen.
• El anillo de endomorfismo de un módulo semisimple no solo es semiprimitivo, sino también normal de von Neumann ( Lam 2001 , p. 62).

Anillos semisimples [ editar ]

Se dice que un anillo es (izquierda) - semisimple si es semisimple como un módulo izquierdo sobre sí mismo. ^[2]Sorprendentemente, un anillo semisimple izquierdo también es semisimple derecho y viceversa. La distinción izquierda / derecha es, por lo tanto, innecesaria, y se puede hablar de anillos semisimples sin ambigüedad.

Un anillo semisimple se puede caracterizar en términos de álgebra homológica: a saber, un anillo R es semisimple si y solo si existe alguna secuencia corta exacta de los módulos R de la izquierda (o derecha) . En particular, cualquier módulo sobre un anillo semisimple es inyectivo y proyectivo . Como "proyectivo" implica "plano", un anillo semisimple es un anillo regular de von Neumann .

Los anillos semisimples son de particular interés para los algebraistas. Por ejemplo, si el anillo base R es semisimple, entonces todos los módulos R serían semisimple automáticamente. Además, cada módulo R(izquierdo) simple es isomorfo a un ideal mínimo izquierdo de R , es decir, R es un anillo de Kasch izquierdo .

Semisimples anillos son tanto Artinian y noetheriano . De las propiedades anteriores, un anillo es semisimple si y solo si es Artinian y su radical de Jacobson es cero.

Si un anillo semisimple de Artinian contiene un campo como subring central , se llama álgebra semisimple .

Ejemplos [ editar ]

• Un anillo semisimple conmutativo es un producto finito directo de los campos. Un anillo conmutativo es semisimple si y solo si es artístico y reducido . ^[3]
• Si k es un campo y G es un grupo finito de orden n , entonces el grupo suena $${\ displaystyle k [G]}es semisimple si y solo si la característica de k no divide n . Este es el teorema de Maschke , un resultado importante en la teoría de la representación de grupos .
• Según el teorema de Artin-Wedderburn , un anillo Artiniano R es semisimple si y solo si es (isomorfo a)$${\ displaystyle M_ {n_ {1}} (D_ {1}) \ times M_ {n_ {2}} (D_ {2}) \ times \ dots \ times M_ {n_ {r}} (D_ {r}) }donde cada $${\ displaystyle D_ {i}}es un anillo de división y cada uno$${\ displaystyle n_ {i}} es un entero positivo, y $${\ displaystyle M_ {n} (D)}denota el anillo de n -by- n matrices con entradas en D .
• Un ejemplo de un anillo semisimple no unital es $${\ displaystyle M _ {\ infty} (K)}, La fila-finito, columna-finito, infinito matrices sobre un campo K .

Anillos simples [ editar ]

Artículo principal: anillo simple

Se debe tener en cuenta que, a pesar de la terminología, no todos los anillos simples son semisimples . El problema es que el anillo puede ser "demasiado grande", es decir, no Artinian (izquierda / derecha). De hecho, si R es un anillo simple con un mínimo ideal de izquierda / derecha, entonces R es semisimple.

Ejemplos clásicos de anillos simples, pero no semisimples, son las álgebras de Weyl , como las$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}-álgebra

$${\ displaystyle A = \ mathbb {Q} {\ left [x, y \ right]} / \ langle xy-yx-1 \ rangle \,}

que es un simple dominio no conmutativo . Estos y muchos otros buenos ejemplos se discuten con más detalle en varios textos de teoría de anillos no conmutativos, incluido el capítulo 3 del texto de Lam, en los que se describen como anillos simples no artinistas. La teoría de módulos para las álgebras de Weyl está bien estudiada y difiere significativamente de la de los anillos semisimples.

Jacobson Semisimple [ editar ]

Artículo principal: anillo semiprimitivo.

Un anillo se llama semisimple de Jacobson (o J-semisimple o semiprimitivo ) si la intersección de los ideales izquierdos máximos es cero, es decir, si el radical de Jacobson es cero. Cada anillo que es semisimple como un módulo sobre sí mismo tiene cero radical de Jacobson, pero no todos los anillos con cero radical de Jacobson es semisimple como un módulo sobre sí mismo. Un anillo semisimple en forma de J es semisimple si y solo si es un anillo artiniano , por lo que los anillos semisimples a menudo se llaman anillos semisimple artinianos para evitar confusiones.

Por ejemplo, el anillo de enteros, Z , es semisimple en J, pero no semisimple artiniano.

 álgebra semisimple es un asociativo artiniano álgebra sobre un campo que tiene trivial Jacobson radical (sólo el elemento cero de la álgebra está en el radical Jacobson). Si el álgebra es de dimensión finita, esto equivale a decir que se puede expresar como un producto cartesiano de subalgebras simples .

Definición [ editar ]

El radical de Jacobson de un álgebra sobre un campo es el ideal que consiste en todos los elementos que aniquilan cada módulo izquierdo simple. El radical contiene todos los ideales nilpotentes, y si el álgebra es de dimensión finita, el radical mismo es un ideal nilpotente. Luego se dice que un álgebra de dimensión finita es semisimple si su radical solo contiene el elemento cero.

Un álgebra A se llama simple si no tiene ideales adecuados y A ² = { ab | a , b ∈ A } ≠ {0}. Como sugiere la terminología, las álgebras simples son semisimples. Los únicos ideales posibles de un álgebra simple A son A y {0}. Así, si A es simple, entonces A no es nilpotente. Debido a que A ² es un ideal de A y A es simple, A ² = A . Por inducción, A ⁿ = Apara cada entero positivo n , es decir, A no es nilpotente.

Cualquier subálgebra A autoadjuntada de n × n matrices con entradas complejas es semisimple. Deje Rad ( A ) sea el radical de una . Supongamos que una matriz M está en Rad ( A ). Entonces M * M se encuentra en algunos ideales nilpotentes de A , por lo tanto ( M * M ) ^k = 0 para algún entero k positivo . Por fin de semidefinición de M * M , esto implica M * M = 0. Por lo tanto, M x es el vector cero para todas las x , es decir, M= 0.

Si { A _i } es una colección finita de álgebras simples, entonces su producto cartesiano ∏ A _i es semisimple. Si ( a _i) es un elemento de Rad ( A ) y e ₁ es la identidad multiplicativa en A ₁ (todas las álgebras simples poseen una identidad multiplicativa), entonces ( a ₁ , a ₂ , ...) · ( e ₁ , 0, ...) = ( a ₁ , 0 ..., 0) se encuentra en algún ideal nilpotente de ∏ A _i . Esto implica, para todo b en A ₁ , a₁ b es nilpotente en A ₁ , es decir, un ₁ ∈ Rad ( A ₁ ). Entonces a ₁ = 0. De manera similar, a _i = 0 para todos los demás i .

Es menos evidente a partir de la definición que lo contrario de lo anterior también es cierto, es decir, cualquier álgebra semisimple de dimensión finita es isomorfa a un producto cartesiano de un número finito de álgebras simples. El siguiente es un álgebra semisimple que parece no ser de esta forma. Vamos A ser un álgebra con Rad ( A ) ≠ A . El álgebra cociente B = A ⁄ Rad ( A ) es semisimple: si J es un ideal nilpotente no nulo en B , entonces su preimagen bajo el mapa de proyección natural es un ideal nilpotente en A que es estrictamente más grande que Rad ( A ), una contradicción .

Caracterización [ editar ]

Sea A un álgebra semisimple de dimensión finita, y

$${\ displaystyle \ {0 \} = J_ {0} \ subset \ cdots \ subset J_ {n} \ subset A}

Para ser una serie de composición de A , entonces A es isomorfo al siguiente producto cartesiano:

$${\ displaystyle A \ simeq J_ {1} \ veces J_ {2} / J_ {1} \ veces J_ {3} / J_ {2} \ veces ... \ veces J_ {n} / J_ {n-1} \ times A / J_ {n}}

donde cada

$${\ displaystyle J_ {i + 1} / J_ {i} \,}

Es un álgebra simple.

La prueba se puede esbozar de la siguiente manera. En primer lugar, invocando el supuesto de que A es semisimple, se puede mostrar que el J ₁ es un álgebra sencilla (por lo tanto unital). Entonces J ₁ es una subalgebra unital y un ideal de J ₂ . Por lo tanto uno puede descomponerse

$${\ displaystyle J_ {2} \ simeq J_ {1} \ times J_ {2} / J_ {1}.}

Por la maximalidad de J ₁ como ideal en J ₂ y también la semisimplicidad de A , el álgebra

$${\ displaystyle J_ {2} / J_ {1} \,}

es simple. Proceder por inducción de manera similar prueba la afirmación. Por ejemplo, J ₃ es el producto cartesiano de álgebras simples.

$${\ displaystyle J_ {3} \ simeq J_ {2} \ times J_ {3} / J_ {2} \ simeq J_ {1} \ times J_ {2} / J_ {1} \ times J_ {3} / J_ { 2}.}

El resultado anterior se puede reformular de una manera diferente. Para un álgebra semisimple A = A ₁ × ... × A _nexpresada en términos de sus factores simples, considere las unidades e _i ∈ A _i . Los elementos de E _i = (0, ..., e _i, ..., 0) son elementos idempotente en A y que se encuentran en el centro de A . Además, E _i A = A _i , E _i E _j = 0 para i ≠ jY Σ E _i = 1, la identidad multiplicativa en una .

Por lo tanto, para cada álgebra semisimple A , existen idempotentes { E _i } en el centro de A , de manera que

1. E _i E _j = 0 para i ≠ j (este conjunto de idempotentes se denomina ortogonal central ),
2. Σ E _i = 1,
3. A es isomorfo al producto cartesiano de álgebra sencilla E ₁ A × ... × E _n A .

Clasificación [ editar ]

Un teorema de Joseph Wedderburn clasifica completamente las álgebras semisimples de dimensión finita sobre un campo$${\ displaystyle k}. Cualquier álgebra tal es isomorfa a un producto finito$${\ displaystyle \ prod M_ {n_ {i}} (D_ {i})} donde el $${\ displaystyle n_ {i}} son numeros naturales, los $${\ displaystyle D_ {i}}son álgebra de división sobre$${\ displaystyle k}y $${\ displaystyle M_ {n_ {i}} (D_ {i})} es el álgebra de $${\ displaystyle n_ {i} \ times n_ {i}} matrices sobre $${\ displaystyle D_ {i}}. Este producto es único hasta la permutación de los factores. ^[1]

Este teorema fue luego generalizado por Emil Artin a anillos semisimples. Este resultado más general se llama el teorema de Artin-Wedderburn .