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anillo primitivo izquierdo es un anillo que tiene un módulo izquierdo simple y fiel . Los ejemplos bien conocidos incluyen anillos de endomorfismo de espacios vectoriales y álgebras de Weyl sobre campos de característica cero.

Definición [ editar ]

Se dice que un anillo R es un anillo primitivo izquierdo si y solo si tiene un módulo R izquierdo simple y fiel . Un anillo primitivo derecho se define de manera similar con los módulos R derechos. Hay anillos que son primitivos en un lado pero no en el otro. El primer ejemplo fue construido por George M. Bergman en ( Bergman 1964 ). Otro ejemplo encontrado por Jategaonkar que muestra la distinción se puede encontrar en ( Rowen y 1988, p.159 )

Una caracterización interna de los anillos primitivos izquierdos es la siguiente: un anillo es primitivo izquierdo si y solo si existe un ideal izquierdo máximo que no contenga ideales bilaterales que no sean cero . La definición análoga para los anillos primitivos derechos también es válida.

La estructura de los anillos primitivos de la izquierda está completamente determinada por el teorema de la densidad de Jacobson : un anillo es primitivo de la izquierda si y solo si es isomorfo a una densa subring del anillo de endomorfismos de un espacio vectorial izquierdo sobre un anillo de división.

Otra definición equivalente establece que un anillo es primitivo a la izquierda si y solo si es un anillo primario con un módulo fiel izquierdo de longitud finita ( Lam 2001 , Ex. 11.19, p. 191 ).

Propiedades [ editar ]

De un solo lado anillos primitivos son ambos anillos semiprimitive y anillos principales . Dado que el producto del anillo de dos o más anillos distintos de cero no es primo, está claro que el producto de los anillos primitivos nunca es primitivo.

Para un anillo Artiniano izquierdo , se sabe que las condiciones "primitivo izquierdo", "primitivo derecho", "primo" y " simple " son todas equivalentes, y en este caso es un anillo semisimple isomorfo a un anillo de matriz cuadrada sobre un anillo de división. Más generalmente, en cualquier anillo con un ideal mínimo de un lado, "primitiva izquierda" = "primitiva derecha" = "cebado".

Un anillo conmutativo se deja primitivo si y solo si es un campo .

Ser primitivo de izquierda es una propiedad invariante de Morita .

Ejemplos [ editar ]

Cada simple anillo R con unidad es tanto primitivo izquierdo como derecho. (Sin embargo, un simple anillo no unital puede no ser primitivo). Esto se deriva del hecho de que R tiene una M ideal ideal izquierda máxima , y el hecho de que el cociente módulo R / M es un simple módulo R izquierdo , y que su aniquilador es un ideal a doble cara adecuada en R . Como R es un anillo simple, este aniquilador es {0} y, por lo tanto, R / M es un módulo R de izquierda fiel .

Las álgebras de Weyl sobre campos con característica cero son primitivas, y como son dominios , son ejemplos sin ideales unilaterales mínimos.

Anillos lineales completos [ editar ]

Un caso especial de anillos primitivos es el de anillos lineales completos . Un anillo lineal completo izquierdoes el anillo de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial izquierdo de dimensión infinita sobre un anillo de división. (Un anillo lineal completo derecho difiere al usar un espacio vectorial derecho en su lugar.) En símbolos,$${\ displaystyle R = \ mathrm {Fin} (_ {D} V) \,}donde V es un espacio vectorial sobre un anillo de división D . Se sabe que R es un anillo lineal completo izquierdo si y solo si R es von Neumann regular , autoinyectivo izquierdo con socle soc ( _R R ) ≠ {0}. ( Goodearl 1991 , p. 100) A través de argumentos de álgebra lineal, se puede mostrar que$${\ displaystyle \ mathrm {Fin} (_ {D} V) \,}Es isomorfo al anillo de matrices finitas de fila. $${\ displaystyle \ mathbb {RFM} _ {I} (D) \,}, Donde I es un conjunto de índices cuyo tamaño es la dimensión de V sobre D . Asimismo anillos lineales de pleno derecho se pueden realizar como la columna matrices finitos más de D .

Usando esto podemos ver que hay anillos primitivos de izquierda no simples. Por la caracterización de la densidad de Jacobson, un anillo lineal completo izquierdo R siempre es primitivo. Cuando dim _D V es finito, R es un anillo de matriz cuadrada sobre D , pero cuando dim _D V es infinito, el conjunto de transformaciones lineales de rango finito es un ideal bidireccional adecuado de R , y por lo tanto R no es simple.

anillo semiprimitive o anillo de Jacobson semisimple o anillo J-semisimple es un anillo cuyo radical Jacobson es cero. Este es un tipo de anillo más general que un anillo semisimple , pero donde los módulos simples todavía proporcionan suficiente información sobre el anillo. Los anillos como el anillo de enteros son semiprimitivos, y un anillo semiprimitivo artiniano es solo un anillo semisimple . Los anillos semiprimitivos pueden entenderse como productos subdirectos de anillos primitivos , que están descritos por el teorema de densidad de Jacobson .

Definición [ editar ]

Un anillo se llama semiprimitivo o semisimple de Jacobson si su radical de Jacobson es el ideal cero .

Un anillo es semiprimitivo si y solo si tiene un módulo semisimple izquierdo fiel . La propiedad semiprimitiva es simétrica izquierda-derecha, por lo que un anillo es semiprimitivo si y solo si tiene un módulo fiel semisimple derecho.

Un anillo es semiprimitivo si y solo si es un producto subdirecto de los anillos primitivos izquierdos .

Un anillo conmutativo es semiprimitivo si y solo si es un producto subdirecto de campos , ( Lam 1995 , p. 137).

Un anillo artiniano de izquierda es semiprimitivo si y solo si es semisimple ( Lam 2001 , p. 54). Tales anillos a veces se llaman semisimples Artinian , ( Kelarev 2002 , p. 13).

Ejemplos [ editar ]

• El anillo de enteros es semiprimitivo, pero no semisimple.
• Todo anillo primitivo es semiprimitivo.
• El producto de dos campos es semiprimitivo pero no primitivo.
• Cada anillo regular de von Neumann es semiprimitivo.

El mismo Jacobson ha definido que un anillo es "semisimple" si y solo si es un producto subdirecto de anillos simples ( Jacobson 1989 , p. 203). Sin embargo, esta es una noción más estricta, ya que el anillo de endomorfismo de un espacio vectorial dimensional infinitamente contable es semiprimitivo, pero no es un producto subdirecto de los anillos simples, ( Lam 1995 , p. 42).

En álgebra abstracta , un anillo no nulo R es un anillo principal si para cualquiera de los dos elementos a y b de R , arb = 0 para todo r en R implica que a = 0 o b = 0 . Esta definición puede considerarse como una generalización simultánea de dominios integrales y anillos simples .

Aunque este artículo discute la definición anterior, el anillo principal también puede referirse a la subring mínima no cero de un campo , que es generado por su elemento de identidad 1, y determinado por su característica . Para un campo característico 0, el anillo primario son los números enteros , para un campo característico p (con p un número primo ) el anillo primario es el campo finito de orden p (consulte el campo primo ).

Definiciones equivalentes [ editar ]

Un anillo R es primo si y solo si el ideal cero {0} es un ideal primo en el sentido no conmutativo.

Siendo este el caso, las condiciones equivalentes para los ideales primos producen las siguientes condiciones equivalentes para que R sea ​​un anillo principal:

• Para cualquiera de los dos ideales A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.
• Para cualquiera de los dos ideales correctos A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.
• Para dos ideales izquierdos A y B de R , AB = {0} implica A = {0} o B = {0}.

Usando estas condiciones, se puede verificar que lo siguiente sea equivalente a que R sea ​​un anillo principal:

• Todos los ideales correctos distintos de cero son fieles como módulos R correctos .
• Todos los ideales de izquierda distintos de cero son fieles como módulos R de izquierda .

Ejemplos [ editar ]

• Cualquier dominio es un anillo principal.
• Cualquier anillo simple es un anillo principal, y más generalmente: cada anillo primitivo izquierdo o derecho es un anillo principal.
• Cualquier anillo de matriz sobre un dominio integral es un anillo primario. En particular, el anillo de matrices de enteros de 2 por 2 es un anillo principal.

Propiedades [ editar ]

• Un anillo conmutativo es un anillo principal si y solo si es un dominio integral .
• Un anillo es primo si y solo si su ideal cero es un ideal primo .
• Un anillo distinto de cero es primordial si y solo si el monoide de sus ideales carece de divisores cero .
• El anillo de matrices sobre un anillo primario es nuevamente un anillo primario.

En la teoría del anillo , un anillo R se llama anillo reducido si no tiene elementos nilpotentes que no sean cero . De manera equivalente, un anillo se reduce si no tiene elementos que no sean cero con cero cuadrado, es decir, x ²  = 0 implica x  = 0. Un álgebra conmutativa sobre un anillo conmutativo se llama álgebra reducida si se reduce su anillo subyacente.

Los elementos nilpotentes de un anillo conmutativo R forman un ideal de R , llamado el nilradical de R ; por lo tanto, un anillo conmutativo se reduce si y solo si su radio lineal es cero. Además, un anillo conmutativo se reduce si y solo si el único elemento contenido en todos los ideales primarios es cero.

Un anillo cociente R / I se reduce si y solo si I es un ideal radical .

Deje D el conjunto de todos los zerodivisors en un anillo de reducción R . Entonces D es la unión de todos los ideales primos mínimos . ^[1]

Sobre un anillo noetheriano R , decimos que un módulo M finamente generado tiene rango constante local si$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ mapsto \ operatorname {dim} _ {k ({\ mathfrak {p}})} (M \ otimes k ({\ mathfrak {p}}))}es una función localmente constante (o equivalentemente continua) en Spec R . Entonces R se reduce si y solo si cada módulo generado finamente de rango constante local es proyectivo .

Ejemplos y no ejemplos [ editar ]

• Sujeciones , productos y localizaciones de anillos reducidos son nuevamente anillos reducidos.
• El anillo de enteros Z es un anillo reducido. Cada campo y cada anillo polinomial sobre un campo (en muchas variables arbitrarias) es un anillo reducido.
• De manera más general, cada dominio integral es un anillo reducido, ya que un elemento nilpotente es a fortiori un divisor cero . Por otro lado, no todos los anillos reducidos son un dominio integral. Por ejemplo, el anillo Z [ x , y ] / ( xy ) contiene x + (xy) e y + (xy) como divisores cero, pero no elementos nilpotentes distintos de cero. Como otro ejemplo, el anillo Z × Z contiene (1,0) y (0,1) como divisores cero, pero no contiene elementos nilpotentes que no sean cero.
• El anillo Z / 6 Z se reduce, sin embargo, Z / 4 Z no se reduce: la clase 2 + 4 Z es nilpotente. En general, Z / n Z se reduce si y solo si n  = 0 o n es un entero sin cuadrados .
• Si R es un anillo conmutativo y N es el nilradical de R , entonces el anillo cociente R / N se reduce.
• Un anillo conmutativo R de la característica p para algún número primo p se reduce si y solo si su endomorfismo de Frobenius es inyectivo . (cf. campo perfecto .)

Generalizaciones [ editar ]

Los anillos reducidos desempeñan un papel elemental en la geometría algebraica , donde este concepto se generaliza al concepto de un esquema reducido .

 dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos distintos de cero es distinto de cero. ^{[1] [2] Los} dominios integrales son generalizaciones del anillo de enteros y proporcionan un entorno natural para estudiar la divisibilidad . En un dominio integral, cada elemento distinto de cero a tiene la propiedad de cancelación , es decir, si a ≠ 0 , una igualdad ab = ac implica b = c .

El "dominio integral" se define casi universalmente como arriba, pero hay algunas variaciones. Este artículo sigue la convención de que los anillos tienen una identidad multiplicativa , generalmente se denota con 1, pero algunos autores no siguen esto, ya que no requieren que los dominios integrales tengan una identidad multiplicativa. ^[3] [4]A veces se admiten dominios integrales no conmutativos. ^[5] Este artículo, sin embargo, sigue la convención mucho más habitual de reservar el término "dominio integral" para el caso conmutativo y usar " dominio " para el caso general, incluidos los anillos no conmutativos.

Algunas fuentes, especialmente Lang , usan el término anillo completo para el dominio integral. ^[6]

Algunos tipos específicos de dominios integrales se dan con la siguiente cadena de inclusiones de clase :

anillos conmutativos ⊃ dominios de integridad ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ GCD dominios ⊃dominio de factorización única ⊃ principales dominios ideales ⊃ dominios euclídeos ⊃ campos ⊃campos finitos

Definición [ editar ]

Un dominio integral se define básicamente como un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos distintos de cero es distinto de cero. Esta definición puede ser reformulada en una serie de definiciones equivalentes:

• Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero sin divisores cero distintos .
• Un dominio integral es un anillo conmutativo en el que el ideal cero {0} es un ideal primo .
• Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero para el cual cada elemento distinto de cero es cancelable bajo la multiplicación.
• Un dominio integral es un anillo para el cual el conjunto de elementos distintos de cero es un monoideconmutativo bajo multiplicación (porque un monoide debe cerrarse bajo multiplicación).
• Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que, para cada elemento r distinto de cero , la función que asigna cada elemento x del anillo al producto xr es inyectiva . Los elementos r con esta propiedad se denominan regulares , por lo que es equivalente a requerir que todos los elementos distintos del cero del anillo sean regulares.

Una propiedad fundamental de los dominios integrales es que cada subring de un campo es un dominio integral, y que, a la inversa, dado cualquier dominio integral, uno puede construir un campo que lo contenga como un subring, el campo de fracciones . Esta caracterización puede verse como una definición equivalente adicional:

• Un dominio integral es un anillo que es ( isomorfo a) un subring de un campo.

Ejemplos [ editar ]

• El ejemplo arquetípico es el anillo. $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}de todos los enteros .
• Cada campo es un dominio integral. Por ejemplo, el campo$${\ displaystyle \ mathbb {R}}De todos los números reales es un dominio integral. A la inversa, cada dominio integral artiniano es un campo. En particular, todos los dominios integrales finitos son campos finitos (más generalmente, según el pequeño teorema de Wedderburn , los dominios finitos son campos finitos ). El anillo de los enteros.$${\ displaystyle \ mathbb {Z}} proporciona un ejemplo de un dominio integral infinito no Artiniano que no es un campo, que posee secuencias descendentes infinitas de ideales tales como:

$${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ supset 2 \ mathbb {Z} \ supset \ cdots \ supset 2 ^ {n} \ mathbb {Z} \ supset 2 ^ {n + 1} \ mathbb {Z} \ supset \ cdots }

• Los anillos de polinomios son dominios integrales si los coeficientes provienen de un dominio integral. Por ejemplo, el anillo.$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}de todos los polinomios en una variable con coeficientes enteros es un dominio integral; asi es el anillo$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}De todos los polinomios en n -variables con coeficientes complejos .

• El ejemplo anterior puede explotarse aún más tomando cocientes de ideales primos. Por ejemplo, el anillo.$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (y ^ {2} -x (x-1) (x-2))}Correspondiendo a una curva elíptica plana es un dominio integral. La integralidad puede comprobarse mostrando$${\ displaystyle y ^ {2} -x (x-1) (x-2)}Es un polinomio irreducible .

• El anillo $${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x] / (x ^ {2} -n) \ cong \ mathbb {Z} [{\ sqrt {n}}]} es un dominio integral para cualquier entero no cuadrado $${\ displaystyle n}. Si{\ displaystyle n> 0}, entonces este anillo es siempre un subring de $${\ displaystyle \ mathbb {R}}, de lo contrario, es una subring de $${\ displaystyle \ mathbb {C}.}

• El anillo de enteros p-adic. $${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}} Es un dominio integral.

• Si $${\ displaystyle U}es un subconjunto abierto conectado del plano complejo $${\ displaystyle \ mathbb {C}}, entonces el anillo $${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (U)}que consiste en todas las funciones holomorfas es un dominio integral. Lo mismo ocurre con los anillos de funciones analíticas en subconjuntos abiertos conectados de múltiples analíticas .

• Un anillo local regular es un dominio integral. De hecho, un anillo local regular es un UFD . ^[7] [8]

No ejemplos [ editar ]

Los siguientes anillos no son dominios integrales.

• El anillo cero (el anillo en el que$${\ displaystyle 0 = 1}).

• El anillo cociente $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}}cuando m es un número compuesto . De hecho, elegir una factorización adecuada$${\ displaystyle m = xy} (significa que $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y} no son iguales a $${\ displaystyle 1} o $${\ displaystyle m}). Entonces$${\ displaystyle x \ not \ equiv 0 {\ bmod {m}}} y $${\ displaystyle y \ not \ equiv 0 {\ bmod {m}}}, pero $${\ displaystyle xy \ equiv 0 {\ bmod {m}}}.

• Un producto de dos anillos conmutativos distintos de cero. En tal producto$${\ displaystyle R \ times S}, uno tiene $${\ displaystyle (1,0) \ cdot (0,1) = (0,0)}.

• Cuando $${\ displaystyle n} es un cuadrado, el anillo $${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x] / (x ^ {2} -n)}No es un dominio integral. Escribir$${\ displaystyle n = m ^ {2}}, y tenga en cuenta que hay una factorización $${\ displaystyle x ^ {2} -n = (xm) (x + m)} en $${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}. Por el teorema del resto chino , hay un isomorfismo$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x] / (x ^ {2} -n) \ cong \ mathbb {Z} [x] / (xm) \ times \ mathbb {Z} [x] / (x + m ) \ cong \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}.}

• El anillo de n × n matrices sobre cualquier anillo distinto de cero cuando n ≥ 2. Si$${\ displaystyle M} y $${\ displaystyle N} Son matrices tales que la imagen de $${\ displaystyle N} esta contenido en el kernel de $${\ displaystyle M}, entonces $${\ displaystyle MN = 0}. Por ejemplo, esto sucede para{\ displaystyle M = N = ({\ begin {smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {smallmatrix}})}.

• El anillo cociente $${\ displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] / (fg)} para cualquier campo $${\ displaystyle k} y cualquier polinomio no constante $${\ displaystyle f, g \ en k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}. Las imágenes de f y g en este anillo cociente son elementos distintos de cero cuyo producto es 0. Este argumento muestra, de manera equivalente, que$${\ displaystyle (fg)}No es un ideal primordial . La interpretación geométrica de esto es que los ceros de fg forman un conjunto algebraico afín que no es irreductible (es decir, no es una variedad algebraica ) en general. El único caso en el que este conjunto algebraico puede ser irreductible es cuando fg es una potencia de un polinomio irreducible , que define el mismo conjunto algebraico.

• El anillo de funciones continuas en el intervalo unitario . Considerar las funciones

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1-2x & x \ in \ left [0, {\ tfrac {1} {2}} \ right] \\ 0 & x \ in \ left [{\ tfrac {1 } {2}}, 1 \ right] \ end {cases}} \ qquad g (x) = {\ begin {cases} 0 & x \ in \ left [0, {\ tfrac {1} {2}} \ right] \\ 2x-1 & x \ in \ left [{\ tfrac {1} {2}}, 1 \ right] \ end {cases}}}

Ninguno $${\ displaystyle f} ni $${\ displaystyle g} está en todas partes cero, pero $${\ displaystyle fg} es.

• El producto tensorial. $${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}. Este anillo tiene dos idempotentes no triviales ,$${\ displaystyle e_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} (1 \ otimes 1) - {\ tfrac {1} {2}} (i \ otimes i)} y $${\ displaystyle e_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} (1 \ otimes 1) + {\ tfrac {1} {2}} (i \ otimes i)}. Son ortogonales, lo que significa que$${\ displaystyle e_ {1} e_ {2} = 0}, y por lo tanto $${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}no es un dominio De hecho, hay un isomorfismo.$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}} definido por $${\ displaystyle (z, w) \ mapsto z \ cdot e_ {1} + w \ cdot e_ {2}}. Su inverso se define por$${\ displaystyle z \ otimes w \ mapsto (zw, z {\ overline {w}})}. Este ejemplo muestra que un producto de fibra de esquemas afines irreducibles no necesita ser irreducible.

Divisibilidad, elementos primarios y elementos irreductibles [ editar ]

Ver también: Divisibilidad (teoría del anillo).

En esta sección, R es un dominio integral.

Dados los elementos a y b de R , uno dice que a divide b , o que a es un divisor de b , o que b es un múltiplo de a, si existe un elemento x en R tal que ax = b .

Las unidades de R son los elementos que dividen 1; Estas son precisamente los elementos invertibles en R . Las unidades dividen todos los demás elementos.

Si a divide b y b divide a , entonces a y b son elementos asociados o asociados . ^{[9] De manera} equivalente, a y bson asociados si a = ub para alguna unidad u .

Un elemento irreducible es una no-unidad no nula que no puede escribirse como un producto de dos no-unidades.

Un p no distinto a cero es un elemento primo si, cuando p divide un producto ab , entonces p divide a o p divide b. De manera equivalente, un elemento p es primo si y solo si el ideal principal ( p ) es un ideal primo distinto de cero.

Ambas nociones de elementos irreductibles y elementos primos generalizan la definición ordinaria de números primos en el anillo$${\ displaystyle \ mathbb {Z},} Si uno considera primos los primos negativos.

Todo elemento primordial es irreductible. Lo contrario no es cierto en general: por ejemplo, en el anillo entero cuadrático$${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right]} el elemento 3 es irreducible (si se factorizara de manera no trivial, los factores tendrían que tener la norma 3, pero no hay elementos de la norma 3 ya que $${\ displaystyle a ^ {2} + 5b ^ {2} = 3} no tiene soluciones enteras), pero no es primo (ya que 3 divisiones $${\ displaystyle \ left (2 + {\ sqrt {-5}} \ right) \ left (2 - {\ sqrt {-5}} \ right)}sin dividir ninguno de los factores). En un dominio de factorización único (o más generalmente, un dominio GCD ), un elemento irreductible es un elemento primordial.

Mientras que la factorización única no se mantiene en$${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right]}, hay una factorización única de ideales . Ver el teorema de Lasker-Noether .

Propiedades [ editar ]

• Un anillo conmutativo R es un dominio integral si y solo si el ideal (0) de R es un ideal primo.
• Si R es un anillo conmutativo y P es un ideal en R , entonces el anillo cociente R / P es un dominio integral si y solo si P es un ideal primo .
• Sea R un dominio integral. Luego, los anillos polinomiales sobre R (en cualquier número de indeterminados) son dominios integrales. Este es en particular el caso si R es un campo .
• La propiedad de cancelación se mantiene en cualquier dominio integral: para cualquier a , b y c en un dominio integral, si a ≠ 0 y ab = ac, entonces b = c . Otra forma de expresar esto es que la función x ↦ hacha es inyectiva para cualquier distinto de cero una en el dominio.
• La propiedad de cancelación se mantiene para ideales en cualquier dominio integral: si xI = xJ , entonces o bien x es cero o I = J .
• Un dominio integral es igual a la intersección de sus localizaciones en ideales máximos.
• Un límite inductivo de dominios integrales es un dominio integral.
• Si $${\ displaystyle A, B}son dominios integrales sobre un campo k algebraicamente cerrado , entonces$${\ displaystyle A \ otimes _ {k} B}Es un dominio integral. Esto es una consecuencia de las nulestellensatz de Hilbert , ^{[nota 1]} y, en geometría algebraica, implica la afirmación de que el anillo de coordenadas del producto de dos variedades algebraicas afines sobre un campo algebraicamente cerrado es nuevamente un dominio integral.

Campo de fracciones [ editar ]

Artículo principal: Campo de fracciones.

El campo de fracciones K de un dominio integral R es el conjunto de fracciones a / b con a y b en R y b ≠ 0 módulo una relación de equivalencia apropiada, equipada con las operaciones de suma y multiplicación habituales. Es "el campo más pequeño que contiene R  " en el sentido de que hay una inyectiva homomorfismo de anillos R → K tal que cualquier homomorfismo de anillos inyectiva de R a una serie de factores de campo a través de K . El campo de fracciones del anillo de enteros.$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}es el campo de los números racionales $${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}El campo de fracciones de un campo es isomorfo al campo mismo.

Algebraic geometría [ editar ]

Los dominios integrales se caracterizan por la condición de que están reducidos (es decir, x ² = 0 implica x = 0) e irreductibles (es decir, solo hay un ideal primo mínimo ). La primera condición garantiza que el nilradical del anillo sea cero, de modo que la intersección de todos los primos mínimos del anillo sea cero. La última condición es que el anillo solo tiene una prima mínima. De ello se deduce que el ideal primordial mínimo único de un anillo reducido e irreducible es el ideal cero, por lo que dichos anillos son dominios integrales. Lo contrario es claro: un dominio integral no tiene ningún elemento nulo que no sea nulo, y el ideal cero es el ideal primordial mínimo único.

Esto se traduce, en geometría algebraica , en el hecho de que el anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín es un dominio integral si y solo si el conjunto algebraico es una variedad algebraica .

Más generalmente, un anillo conmutativo es un dominio integral si y solo si su espectro es un esquema afín integral .

Característico y homomorfismos [ editar ]

La característica de un dominio integral es 0 o un número primo .

Si R es un dominio integral de la característica principal p , entonces el endomorfismo de Frobenius f ( x ) = x ^p es inyectivo .