LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

dominio es un anillo distinto de cero en el que ab = 0implica a = 0 o b = 0 . ^[1] (A veces se dice que un anillo de este tipo "tiene la propiedad de producto cero ".) De manera equivalente, un dominio es un anillo en el que 0 es el único divisor de cero izquierdo (o, de manera equivalente, el único divisor de cero correcto). Un dominio conmutativo se llama un dominio integral . ^[1] [2] La literatura matemática contiene múltiples variantes de la definición de "dominio". 

Ejemplos y no ejemplos [ editar ]

• El anillo Z / 6 Z no es un dominio, porque las imágenes de 2 y 3 en este anillo son elementos distintos de cero con el producto 0. Más generalmente, para un entero positivo n , el anillo Z / n Z es un dominio si y solo si nes primo
• Un dominio finito es automáticamente un campo finito , según el pequeño teorema de Wedderburn .
• Los cuaterniones forman un dominio no conmutativo. Más generalmente, cualquier álgebra de división es un dominio, ya que todos sus elementos distintos de cero son invertibles .
• El conjunto de todos los cuaterniones integrales es un anillo no conmutativo que es un subring de cuaterniones, por lo tanto, un dominio no conmutativo.
• Un anillo matricial M _n ( R ) para n ≥ 2 nunca es un dominio: si R es distinto de cero, dicho anillo matricial tiene divisores cero distintos e incluso elementos nilpotentes distintos de 0. Por ejemplo, el cuadrado de la unidad matricial E ₁₂ es 0.
• El álgebra tensorial de un espacio vectorial , o equivalentemente, el álgebra de polinomios en variables que no se conmutan en un campo,$${\ displaystyle \ mathbb {K} \ langle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ rangle,}es un dominio Esto se puede probar utilizando un ordenamiento en los monomios no conmutativos.
• Si R es un dominio y S es una extensión de mineral de R, entonces S es un dominio.
• El álgebra de Weyl es un dominio no conmutativo. De hecho, es un dominio según el teorema a continuación , ya que tiene dos filtraciones naturales , por el grado de la derivada y por el grado total, y el anillo graduado asociado para cualquiera de ellos es isomorfo al anillo de polinomios en dos variables.
• El álgebra universal envolvente de cualquier álgebra de Lie sobre un campo es un dominio. La prueba utiliza la filtración estándar en el álgebra universal envolvente y el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt .

Construcciones de dominios [ editar ]

Una forma de probar que un anillo es un dominio es exhibiendo una filtración con propiedades especiales.

Teorema: si R es un anillo filtrado cuyo anillo graduado asociado gr ( R ) es un dominio, entonces R es un dominio.

Este teorema debe complementarse con el análisis del anillo graduado gr ( R ).

Grupo de anillos y el problema del divisor cero [ editar ]

Supongamos que G es un grupo y K es un campo . ¿El grupo suena R = K [ G ] un dominio? La identidad

$${\ displaystyle (1-g) (1 + g + \ ldots + g ^ {n-1}) = 1-g ^ {n},}

muestra que un elemento g de finito orden n > 1 induce un cero divisor 1 - g en R . El problema del divisor ceropregunta si esta es la única obstrucción; en otras palabras,

Dado un campo K y un grupo G libre de torsión , ¿es cierto que K [ G ] no contiene cero divisores?

No se conocen contraejemplos, pero el problema sigue abierto en general (a partir de 2017).

Para muchas clases especiales de grupos, la respuesta es afirmativa. Farkas y Snider demostraron en 1976 que si G es un grupo policíclico por finito libre de torsión y char K = 0, entonces el anillo de grupo K [ G ] es un dominio. Más tarde (1980) Cliff eliminó la restricción sobre la característica del campo. En 1988, Kropholler, Linnell y Moody generalizaron estos resultados en el caso de grupos solubles y solubles por torsión libres de torsión . El trabajo anterior de Michel Lazard (1965) , cuya importancia no fue apreciada por los especialistas en el campo durante aproximadamente 20 años, se ocupó del caso en el que K es el anillo deenteros p-adic y G es el subgrupo de congruencia p th de GL ( n , Z ) .

Espectro de un dominio integral [ editar ]

Los divisores cero tienen una interpretación topológica, al menos en el caso de los anillos conmutativos: un anillo R es un dominio integral si y solo si se reduce y su espectro Spec R es un espacio topológico irreductible . A menudo se considera que la primera propiedad codifica alguna información infinitesimal, mientras que la segunda es más geométrica.

Un ejemplo: el anillo k [ x , y ] / ( xy ) , donde k es un campo, no es un dominio, ya que las imágenes de x e y en este anillo son divisores cero. Geométricamente, esto corresponde al hecho de que el espectro de este anillo, que es la unión de las líneas x = 0 e y = 0 , no es irreductible. De hecho, estas dos líneas son sus componentes irreducibles.

En álgebra abstracta , el campo de fracciones de un dominio integral es el campo más pequeño en el que se puede incrustar. Los elementos del campo de fracciones del dominio integral. $${\ displaystyle R} son clases de equivalencia (ver la construcción a continuación) escritas como $${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}} con $${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle b} en $${\ displaystyle R} y $${\ displaystyle b \ neq 0}. El campo de fracciones de $${\ displaystyle R} a veces es denotado por $${\ displaystyle \ operatorname {Frac} (R)} o $${\ displaystyle \ operatorname {Quot} (R)}.

Los matemáticos se refieren a esta construcción como el campo de fracciones, campo de fracción , campo de cocientes o campo de cociente . Los cuatro son de uso común. La expresión "campo de cociente" a veces puede correr el riesgo de confusión con el cociente de un anillo por un ideal, que es un concepto muy diferente.

Ejemplos [ editar ]

• El campo de fracciones del anillo de enteros es el campo de los racionales , $${\ displaystyle \ mathbb {Q} = \ operatorname {Frac} (\ mathbb {Z})}.
• Dejar $${\ displaystyle R: = \ {a + b \ mathrm {i} \ mid a, b \ in \ mathbb {Z} \}} Sé el anillo de los enteros gaussianos . Entonces $${\ displaystyle \ operatorname {Frac} (R) = \ {c + d \ mathrm {i} \ mid c, d \ in \ mathbb {Q} \}}, el campo de los racionales gaussianos .
• El campo de fracciones de un campo es canónicamente isomorfo al campo en sí.
• Dado un campo $${\ displaystyle K}, el campo de fracciones del anillo polinomial en un indeterminado $${\ displaystyle K [X]} (que es un dominio integral), se denomina campo de funciones racionales o campo de fracciones racionales ^{[1] [2] [3]} y se denota $${\ displaystyle K (X)}.

Construcción [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle R} Sea cualquier dominio integral . por $${\ displaystyle n, d \ en R} con $${\ displaystyle d \ neq 0}, la fracción $${\ displaystyle {\ frac {n} {d}}} denota la clase de equivalencia de pares $${\ displaystyle (n, d)}, dónde $${\ displaystyle (n, d)} es equivalente a $${\ displaystyle (m, b)} si y solo si $${\ displaystyle nb = md}. (La definición de equivalencia se basa en la propiedad de los números racionales que $${\ displaystyle {\ frac {n} {d}} = {\ frac {m} {b}}} si y solo si $${\ displaystyle nb = md}.) El campo de las fracciones. $${\ displaystyle \ operatorname {Frac} (R)} Se define como el conjunto de todas esas fracciones. $${\ displaystyle {\ frac {n} {d}}}. La suma de $${\ displaystyle {\ frac {n} {d}}} y $${\ displaystyle {\ frac {m} {b}}} Se define como $${\ displaystyle {\ frac {nb + md} {db}}}y el producto de $${\ displaystyle {\ frac {n} {d}}} y $${\ displaystyle {\ frac {m} {b}}} Se define como $${\ displaystyle {\ frac {nm} {db}}} (Uno comprueba que estos estén bien definidos).

La incrustación de $${\ displaystyle R} en $${\ displaystyle \ operatorname {Frac} (R)} mapas de cada $${\ displaystyle n} en $${\ displaystyle R} a la fracción $${\ displaystyle {\ frac {en} {e}}} para cualquier otro que no sea cero $${\ displaystyle e \ en R} (La clase de equivalencia es independiente de la elección. $${\ displaystyle e}). Esto se basa en la identidad. $${\ displaystyle {\ frac {n} {1}} = n}.

El campo de fracciones de $${\ displaystyle R} se caracteriza por la siguiente propiedad universal : si $${\ displaystyle h: R \ rightarrow F} es un inyectiva homomorfismo de anillos de $${\ displaystyle R} en un campo $${\ displaystyle F}, entonces existe un anillo único homomorfismo. $${\ displaystyle g: \ operatorname {Frac} (R) \ rightarrow F} que se extiende $${\ displaystyle h}.

Hay una interpretación categórica de esta construcción. Dejar $${\ displaystyle C} Ser la categoría de dominios integrales y mapas de anillos inyectivos. El funtor de $${\ displaystyle C} a la categoría de campos que lleva cada dominio integral a su campo de fracción y cada homomorfismo al mapa inducido en campos (que existe por la propiedad universal) es el adjunto izquierdo del funtor olvidadizo de la categoría de campos a $${\ displaystyle C}.

No se requiere una identidad multiplicativa para el rol del dominio integral; esta construcción se puede aplicar a cualquier distinto de cero conmutativa RNG $${\ displaystyle R}sin divisores que no sean cero . La incrustación está dada por$${\ displaystyle r \ mapsto {\ frac {rs} {s}}} para cualquier otro que no sea cero $${\ displaystyle s \ en R}. ^[4]

Generalización [ editar ]

Artículo principal: Localización de un anillo.

Para cualquier anillo conmutativo. $${\ displaystyle R} y cualquier conjunto multiplicativo $${\ displaystyle S} en $${\ displaystyle R}, la localización $${\ displaystyle S}^{$${\ displaystyle -1}}$${\ displaystyle R} Es el anillo conmutativo constituido por fracciones. $${\ displaystyle {\ frac {r} {s}}} con $${\ displaystyle r \ en R} y $${\ displaystyle s \ en S}, donde ahora $${\ displaystyle (r, s)} es equivalente a $${\ displaystyle (r ', s')} si y solo si existe $${\ displaystyle t \ en S} tal que $${\ displaystyle t (rs'-r's) = 0}. Dos casos especiales de esto son notables:

• Si $${\ displaystyle S} Es el complemento de un ideal ideal. $${\ displaystyle P}, entonces $${\ displaystyle S}^{$${\ displaystyle -1}}$${\ displaystyle R} también se denota $${\ displaystyle R_ {P}}. Cuando $${\ displaystyle R} es un dominio integral y $${\ displaystyle P} es el ideal cero, $${\ displaystyle R_ {P}} es el campo de fracciones de $${\ displaystyle R}.
• Si $${\ displaystyle S} es el conjunto de divisores no cero en $${\ displaystyle R}, entonces $${\ displaystyle S}^{$${\ displaystyle -1}}$${\ displaystyle R} Se llama el anillo cociente total . El anillo de cociente total de un dominio integral es su campo de fracciones, pero el anillo de cociente total se define para cualquier anillo conmutativo.

dominio euclidiano (también llamado anillo euclidiano ) es un dominio integral que puede estar dotado de una función euclidiana que permite una generalización adecuada de la división euclidiana de los enteros. Este algoritmo euclidiano generalizado se puede usar para muchos de los mismos usos que el algoritmo original de Euclides en el anillo de enteros : en cualquier dominio euclidiano, uno puede aplicar el algoritmo euclidiano para calcular el mayor divisor comúnde cualesquiera dos elementos. En particular, el mayor divisor común de cualquiera de los dos elementos existe y se puede escribir como una combinación lineal de ellos ( la identidad de Bézout ). Además, todo ideal en un dominio euclidiano es principal , lo que implica una generalización adecuada del teorema fundamental de la aritmética : cada dominio euclidiano es un dominio de factorización único .

Es importante comparar la clase de dominios euclidianos con la clase más amplia de dominios ideales principales(PID). Un PID arbitrario tiene las mismas "propiedades estructurales" de un dominio euclidiano (o, incluso, del anillo de enteros), pero cuando se conoce un algoritmo explícito para la división euclidiana, se puede usar un algoritmo euclidiano y un algoritmo euclidiano extendido para calcular Los mayores divisores comunes y la identidad de Bézout . En particular, la existencia de algoritmos eficientes para la división euclidiana de enteros y de polinomios en una variable sobre un campo es de importancia básica en álgebra computacional .

Entonces, dado un dominio integral R , a menudo es muy útil saber que R tiene una función euclidiana: en particular, esto implica que R es un PID. Sin embargo, si no hay una función euclidiana "obvia", entonces determinar si R es un PID es generalmente un problema mucho más fácil que determinar si es un dominio euclidiano.

Definición [ editar ]

Sea R un dominio integral. Una función euclidiana en R es una función$${\ displaystyle f} desde $${\ displaystyle R \ setminus \ {0 \}}a los enteros no negativos que satisfacen la siguiente propiedad fundamental de división con resto:

• (EF1) Si un y b están en R y b es distinto de cero, entonces hay q y r en R tal que un = bq + r y, o bien r = 0 o f ( r ) < f ( b ) .

Un dominio euclidiano es un dominio integral que puede estar dotado de al menos una función euclidiana. Es importante tener en cuenta que una función euclidiana particular f no es parte de la estructura de un dominio euclidiano: en general, un dominio euclidiano admitirá muchas funciones euclidianas diferentes.

La mayoría de los textos de álgebra requieren una función euclidiana para tener la siguiente propiedad adicional:

• (EF2) Para todos los que no sean cero a y b en R , f ( a ) ≤ f ( ab ) .

Sin embargo, se puede demostrar que (EF2) es superfluo en el siguiente sentido: cualquier dominio R que pueda estar dotado de una función g que satisfaga (EF1) también puede estar dotado de una función f que satisface (EF1) y (EF2): de hecho, para$${\ displaystyle a \ in R \ setminus \ {0 \}}uno puede definir f ( a ) como sigue ^[1]

$${\ displaystyle f (a) = \ min _ {x \ en R \ setminus \ {0 \}} g (xa)}

En palabras, uno puede definir f ( a ) como el valor mínimo alcanzado por g en el conjunto de todos los elementos distintos del cero del ideal principal generado por a .

Una función euclidiana multiplicativa es tal que f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) yf ( a ) nunca es cero. Se sigue que f (1) = 1 y de hecho f ( a ) = 1 si y solo si a es una unidad.

Notas sobre la definición [ editar ]

Muchos autores usan otros términos como "función de grado", "función de valoración", "función de medición" o "función de norma" ^[2] , en lugar de "función euclidiana". ^{[ cita requerida ]} Algunos autores también requieren que el dominio de la función euclidiana sea el anillo completo R ; ^[3] sin embargo, esto no afecta esencialmente a la definición, ya que (EF1) no implica el valor de f (0). La definición a veces se generaliza permitiendo que la función euclidiana tome sus valores en cualquier conjunto bien ordenado; este debilitamiento no afecta las implicaciones más importantes de la propiedad euclidiana.

La propiedad (EF1) se puede reformular de la siguiente manera: para cualquier ideal principal I de R con generador b distinto a cero , todas las clases distintas del anillo cociente R / I tienen un representante r con f ( r ) < f ( b ) . Como los posibles valores de f están bien ordenados, esta propiedad se puede establecer demostrando que f ( r ) < f ( b ) para cualquier r (no en I ) con un valor mínimo de f (r ) en su clase. Tenga en cuenta que para una función euclidiana que se establezca así no es necesario que exista un método efectivo para determinar q y r en (EF1).

Ejemplos [ editar ]

Ejemplos de dominios euclidianos incluyen:

• Cualquier campo. Defina f ( x ) = 1 para todos los x distintos a cero .
• Z , el anillo de los enteros . Definir f ( n ) = | n |, el valor absoluto de n . ^[4]
• Z [ i ], el anillo de los enteros gaussianos . Defina f ( a  +  bi ) = a ²  +  b ² , la norma de los enteros gaussianos a  +  bi .
• Z [ω] (donde ω es una raíz cúbica primitiva (no real) de la unidad ), el anillo de los enteros de Eisenstein . Defina f ( a  +  b ω) = a ²  -  ab  +  b ² , la norma del entero de Eisenstein a  +  b ω.
• K [ X ], el anillo de polinomios sobre un campo K . Para cada polinomio distinto de cero P , definir f ( P ) a ser el grado de P . ^[5]
• K [[ X ]], el anillo de series formales sobre el campo K . Para cada distinto de cero serie de potencias P , definir f ( P ) como el grado de la menor potencia de X que ocurre en P . En particular, para dos distinto de cero serie de potencias P y Q , f ( P ) ≤ f ( Q ) si y sólo si P divide Q .
• Cualquier anillo de valoración discreto . Defina f ( x ) como la potencia más alta del ideal máximo M quecontiene x (de manera equivalente, a la potencia del generador del ideal máximo al que x está asociado ). El caso anterior K [[ X ]] es un caso especial de esto.
• Un dominio de Dedekind con finamente muchos ideales primarios distintos de cero P ₁ , ..., P _n . Definir$${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} (x)}, dónde $${\ displaystyle v_ {i}}Es la valoración discreta correspondiente al ideal P _i . (Samuel 1971)

Ejemplos de dominios que no son dominios euclidianos incluyen:

• Todo dominio que no sea un dominio ideal principal , como el anillo de polinomios en al menos dos indeterminados sobre un campo, o el anillo de polinomios univariados con coeficientes enteros, o el anillo de número$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}} \,]}.
• El anillo de enteros de$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-19}}),} consistiendo en los numeros $${\ displaystyle {\ frac {a + b {\ sqrt {-19}}} {2}}}de modo que a y b son números enteros, que son ambos pares o impares. Es un dominio ideal principal que no es euclidiano.
• El anillo $${\ displaystyle \ mathbb {R} [X, Y] / (X ^ {2} + Y ^ {2} +1)}También es un principal dominio ideal que no es euclidiano. ^{[ cita requerida ]}

Propiedades [ editar ]

Deje que R sea un dominio y f una función euclidiana en R . Entonces:

• R es un dominio ideal principal (PID). De hecho, si I es un no nulo ideales de R entonces cualquier elemento de una de I \ {0} con un valor mínimo (en ese conjunto) de f ( un ) es un generador de I . ^[6] Como consecuencia, R es también un dominio de factorización único y un anillo noetheriano . Con respecto a los dominios ideales principales generales, la existencia de factorizaciones (es decir, que R es un dominio atómico).) es particularmente fácil de probar en dominios euclidianos: al elegir una función euclídea f quesatisface (EF2), x no puede tener ninguna descomposición en más de f ( x ) factores no unitarios, por lo que comenzar con x y descomponer repetidamente los factores reducibles está obligado a producir una factorización En elementos irreductibles.
• Cualquier elemento de R en la que f toma su valor global mínima es invertible en R . Si un f se elige satisface (EF2), entonces el contrario también se mantiene, y f toma su valor mínimo exactamente en los elementos invertibles de R .
• Si la propiedad euclidiana es algorítmica, es decir, si hay un algoritmo de división que para a a y no a cero bproduce un cociente q y el resto r con a = bq + r y r = 0 o f ( r ) < f ( b ) , luego se puede definir un algoritmo euclidiano extendido en términos de esta operación de división. ^[7]
• Si un dominio euclidiano no es un campo, tiene un elemento a con la siguiente propiedad: cualquier elemento x no divisible por a puede escribirse como x = ay + u para alguna unidad u y algún elemento y . Esto sigue por tomar una no-unidad con f ( a ) lo más pequeña posible. Esta propiedad extraña se puede usar para mostrar que algunos dominios ideales principales no son dominios euclidianos, ya que no todos los PID tienen esta propiedad. Por ejemplo, para d = −19, −43, −67, −163, el anillo de enteros de$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}es un PID que no es euclidiano, pero los casos d = −1, −2, −3, −7, −11 son euclidianos. ^[8]

Sin embargo, en muchas extensiones finitas de Q con grupo de clase trivial , el anillo de enteros es euclidiano (no necesariamente con respecto al valor absoluto de la norma de campo; consulte a continuación). Asumiendo la hipótesis de Riemann extendida , si K es una extensión finita de Q y el anillo de enteros de K es un PID con un número infinito de unidades, entonces el anillo de números enteros es euclidiano. ^[9] En particular, esto se aplica al caso de campos numéricos cuadráticos totalmente reales con grupos de clases triviales. Además (y sin asumir ERH), si el campo K es una extensión de Galois de Q, tiene un grupo de clase trivial y un rango de unidadestrictamente mayor que tres, entonces el anillo de enteros es euclidiano. ^[10] Un corolario inmediato de esto es que si el campo numérico es Galois sobre Q , su grupo de clases es trivial y la extensión tiene un grado mayor que 8, entonces el anillo de números enteros es necesariamente euclidiano.

Norma-campos euclidianos [ editar ]

Los campos de números algebraicos K vienen con una función de norma canónica: el valor absoluto de la norma de campo N que lleva un elemento algebraico α al producto de todos los conjugados de α . Esta norma asigna el anillo de enteros de un campo numérico K , digamos O _K , a los enteros racionales no negativos , por lo que es un candidato para ser una norma euclidiana en este anillo. Si esta norma satisface los axiomas de una función euclidiana, entonces el campo numérico K se llama norma-euclidiana o simplemente euclidiana . ^[11] [12]Estrictamente hablando, es el anillo de enteros el que es euclidiano, ya que los campos son dominios trivialmente euclidianos, pero la terminología es estándar.

Si un campo no es una norma euclidiana, eso no significa que el anillo de enteros no sea euclidiano, solo que la norma de campo no satisface los axiomas de una función euclidiana. De hecho, los anillos de enteros de campos numéricos se pueden dividir en varias clases:

• Aquellos que no son principales y por lo tanto no son euclidianos, como los enteros de$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-5}})}
• Los que son principales y no euclidianos, como los enteros de $${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-19}})}
• Aquellos que son euclidianos y no normales euclidianos, como los enteros de $${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {69}})} ^[13]
• Aquellos que son normativos-euclidianos, como los enteros gaussianos (enteros de$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-1}})})

Los campos cuadráticos de la norma euclidiana han sido completamente clasificados; son$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}, donde d toma los valores

−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (secuencia A048981 en la OEIS ). ^[14]

Cada campo cuadrático imaginario euclidiano es norma euclidiana y es uno de los cinco primeros campos de la lista anterior.