LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un anillo Rse denomina hereditario si todos los submódulos de módulos proyectivos sobre R son nuevamente proyectivos. Si esto se requiere solo para los submódulos generados finamente , se llama semihereditario .

Para un anillo no conmutativo R , los términos izquierdo hereditario y izquierdo semihereditario y sus versiones de la mano derecha se usan para distinguir la propiedad en un solo lado del anillo. Para ser izquierdos (semi) hereditarios, todos los submódulos (generados finamente) de los módulos R izquierdos proyectivos deben ser proyectivos, y para ser correctos (semi-) hereditarios todos los submódulos (generados finamente) de los submódulos derechos proyectivos deben ser proyectivos. Es posible que un anillo sea izquierdo (semi-) hereditario pero no correcto (semi) hereditario, y viceversa.

Definiciones equivalentes [ editar ]

• El anillo R es izquierdo (semi-) hereditario si y solo si todos los ideales izquierdos ( generados finamente ) de R son módulos proyectivos. ^[1] [2]
• El anillo R se deja hereditario si y solo si todos los módulos de la izquierda tienen resoluciones proyectivas de longitud como máximo 1. Esto es equivalente a decir que la dimensión global de la izquierda es como máximo 1. Por lo tanto, los funtores derivados habituales , como$${\ displaystyle \ mathrm {Ext} _ {R} ^ {i}} y $${\ displaystyle \ mathrm {Tor} _ {i} ^ {R}} son triviales para {\ displaystyle i> 1}.

Ejemplos [ editar ]

• Los anillos semisimples son hereditarios a la izquierda ya la derecha a través de las definiciones equivalentes: todos los ideales a la izquierda y a la derecha son sumas de R , y por lo tanto son proyectivos. De manera similar, en un anillo regular de Von Neumann, cada ideal izquierdo y derecho finamente generado es un sumando directo de R , por lo que los anillos regulares de Von Neumann son semihereditarios a izquierda y derecha.
• Para cualquier elemento distinto de cero x en un dominio R ,$${\ displaystyle R \ cong xR} a través del mapa $${\ displaystyle r \ mapsto xr}. Por lo tanto, en cualquier dominio, un ideal de derecho principal es libre, por lo tanto proyectivo. Esto refleja el hecho de que los dominios de Rickart son correctos . De ello se deduce que si R es un dominio de Bézoutcorrecto , de modo que los ideales correctos finamente generados son los principales, entonces R ha generado todos los ideales correctos proyectados finamente, y por lo tanto, R es semi hereditario. Finalmente, si se supone que R es un dominio ideal de derecho principal , entonces todos los ideales correctos son proyectivos, y R es hereditario.
• Un dominio integral hereditario conmutativo se denomina dominio Dedekind . Un dominio integral semi-hereditario conmutativo se denomina dominio de Prüfer .
• Un ejemplo importante de un anillo hereditario (izquierda) es el álgebra de trayectoria de un carcaj . Esto es una consecuencia de la existencia de la resolución estándar (que es de longitud 1) para los módulos sobre un álgebra de trayectoria.
• El anillo de matriz triangular. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} Z&Q \\ 0 & Q \ end {bmatrix}}} Es hereditario de derecha y de izquierda semi-hereditario pero no de hereditario.
• Si S es un anillo regular de von Neumann con un ideal I que no es un sumando directo, entonces el anillo de matriz triangular{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} S / I & S / I \\ 0 & S \ end {bmatrix}}} Se deja semi-hereditaria pero no derecha semi-hereditaria.

Propiedades [ editar ]

• Para un anillo R izquierdo hereditario , cada submódulo de un módulo R izquierdo libre es isomorfo a una suma directa de ideales izquierdos de R y, por lo tanto, es proyectivo. 

los anillos locales son ciertos anillos que son comparativamente simples y sirven para describir lo que se llama "comportamiento local", en el sentido de funciones definidas en variedades o variedades , o de campos numéricos algebraicos examinados en una Lugarparticular , o prime. El álgebra local es la rama del álgebra conmutativa que estudia los anillos locales conmutativos y sus módulos .

En la práctica, un anillo local conmutativo a menudo surge como resultado de la localización de un anillo en un ideal primordial.

El concepto de anillos locales fue introducido por Wolfgang Krull en 1938 con el nombre de Stellenringe . ^[1] El término local en inglés se debe a Zariski .

Definición y primeras consecuencias [ editar ]

Un anillo R es un anillo local si tiene alguna de las siguientes propiedades equivalentes:

• R tiene un único máximo izquierda ideales .
• R tiene un ideal ideal máximo único.
• 1 ≠ 0 y la suma de dos no- unidades en R es una no-unidad.
• 1 ≠ 0 y si x es cualquier elemento de R , entonces x o 1 - x es una unidad.
• Si una suma finita es una unidad, entonces tiene un término que es una unidad (esto dice en particular que la suma vacía no puede ser una unidad, por lo que implica 1 ≠ 0).

Si estas propiedades se mantienen, entonces el ideal máximo izquierdo único coincide con el ideal derecho máximo único y con el radical de Jacobson del anillo . La tercera de las propiedades enumeradas anteriormente dice que el conjunto de no unidades en un anillo local forma un ideal (apropiado), ^[3] necesariamente contenido en el radical de Jacobson. La cuarta propiedad puede ser parafraseado como sigue: un anillo R es local si y sólo si existe no existan dos primos entre sí adecuada ( director ) ideales (izquierda), donde dos ideales I ₁ , I ₂ se llaman primos entre sí si R = I ₁ + Yo ₂.

En el caso de los anillos conmutativos , uno no tiene que distinguir entre los ideales izquierdo, derecho y de dos lados: un anillo conmutativo es local si y solo si tiene un ideal máximo único. Antes de aproximadamente 1960, muchos autores requerían que un anillo local fuera (a la izquierda y a la derecha ) los anillos locales noetherianosy (posiblemente no noetherianos) se llamaran anillos casi locales . En este artículo no se impone este requisito.

Un anillo local que es un dominio integral se denomina dominio local .

Ejemplos [ editar ]

• Todos los campos (y campos sesgados ) son anillos locales, ya que {0} es el único ideal máximo en estos anillos.
• Un anillo distinto de cero en el que cada elemento es una unidad o nilpotente es un anillo local.
• Una clase importante de anillos locales son los anillos de valoración discretos , que son dominios ideales principales locales que no son campos.
• Cada anillo de la serie de potencia formal F ( X , Y , ...) sobre un anillo local F es local; el ideal máximo consiste en esas series de potencias con término constante en el ideal máximo del anillo base.
• De manera similar, el álgebra de números duales sobre cualquier campo es local. Más generalmente, si F es un anillo local y n es un entero positivo, entonces el anillo cociente F [ X ] / ( X ⁿ ) es local con un ideal máximo que consiste en las clases de polinomios con un término constante que pertenece al ideal máximo de F , ya que uno puede usar una serie geométrica para invertir todos los demás polinomios módulo X ⁿ . Si F es un campo, entonces los elementos de F [ X ] / ( X ⁿ ) son nilpotenteso invertible . (Los números duales sobre F corresponden al caso n = 2 ).
• Los anillos de cociente de los anillos locales son locales.
• Por el contrario, el anillo de números racionales con denominador impar es local; su ideal máximo consiste en las fracciones con numerador par y denominador impar. Son los enteros localizados en 2.
• Más generalmente, dado cualquier anillo conmutativo R y cualquier ideal primo P de R , la localización de Ren P es local; el ideal máximo es el ideal generado por P en esta localización.

Anillo de gérmenes [ editar ]

Artículo principal: Germen (Matemáticas)

Para motivar el nombre "local" para estos anillos, consideramos funciones continuas de valor real definidas en algún intervalo abierto alrededor de 0 de la línea real . Solo nos interesa el comportamiento local de estas funciones cerca de 0 y, por lo tanto, identificaremos dos funciones si están de acuerdo con algún intervalo abierto (posiblemente muy pequeño) alrededor de 0. Esta identificación define una relación de equivalencia , y las clases de equivalencia son los " gérmenes ". de funciones continuas de valor real a 0 ". Estos gérmenes se pueden agregar y multiplicar y formar un anillo conmutativo.

Para ver que este anillo de gérmenes es local, necesitamos caracterizar sus elementos invertibles. Un germen fes invertible si y solo si f (0) 0 . La razón: si f (0) ≠ 0 , entonces hay un intervalo abierto alrededor de 0 donde f no es cero, y podemos configurar la función g ( x ) = 1 / f ( x ) en este intervalo. La función g da lugar a un germen, y el producto de fg es igual a 1. (Por el contrario, si f es invertible, entonces hay algo de g tal que f (0) g (0) = 1, por lo tantof (0) ≠ 0. )

Con esta caracterización, está claro que la suma de cualquiera de los dos gérmenes no invertibles tampoco es invertible, y tenemos un anillo local conmutativo. El ideal máximo de este anillo consiste precisamente en esos gérmenes f con f (0) = 0 .

Exactamente los mismos argumentos funcionan para el anillo de gérmenes de funciones continuas de valores reales en cualquier espacio topológico en un punto dado, o el anillo de gérmenes de funciones diferenciables en cualquier variedad diferenciable en un punto dado, o el anillo de gérmenes de funciones racionales en cualquier variedad algebraica en un punto dado. Todos estos anillos son por lo tanto locales. Estos ejemplos ayudan a explicar por qué los esquemas , las generalizaciones de variedades, se definen como espacios anillados localmente especiales .

La teoría de valoración [ editar ]

Artículo principal: Valoración (álgebra)

Los anillos locales desempeñan un papel importante en la teoría de la valoración. Por definición, un anillo de valoración de un campo K es un subanillo R tal que para cada elemento no nulo x de K , al menos uno de x y x ^-1es en R . Cualquier subring será un anillo local. Por ejemplo, el anillo de números racionales con denominador impar (mencionado anteriormente) es un anillo de valoración en $${\ displaystyle \ mathbb {Q}}.

Dado un campo K , que puede o no ser un campo de función , podemos buscar anillos locales en él. Si K eran de hecho el campo de la función de una variedad algebraica V , a continuación, para cada punto P de V podríamos tratamos de definir un anillo de valoración R de funciones "definidos en" P . En los casos en que V tiene dimensión 2 o más, existe una dificultad que se ve de esta manera: si F y G son funciones racionales en V con

F ( P ) = G ( P ) = 0,

la función

F / G

Es una forma indeterminada en p . Considerando un ejemplo simple, como

Y / X ,

se acercó a lo largo de una línea

Y = tX ,

uno ve que el valor en P es un concepto sin una definición simple. Se reemplaza utilizando valoraciones.

No conmutativo [ editar ]

Los anillos locales no conmutativos surgen naturalmente como anillos de endomorfismo en el estudio de descomposiciones de suma directa de módulos sobre otros anillos. Específicamente, si el anillo de endomorfismo del módulo M es local, entonces M no se puede descomponer ; a la inversa, si el módulo M tiene una longitudfinita y no se puede descomponer, entonces su anillo de endomorfismo es local.

Si k es un campo de característica p > 0 y G es un finito p -group , entonces el álgebra de grupo kG es local.

Algunos hechos y definiciones [ editar ]

Caso conmutativo [ editar ]

También escribimos ( R , m ) para un anillo local conmutativo R con m ideal ideal . Cada uno de esos anillos se convierte en un anillo topológico de una manera natural si se tiene los poderes de m como base de vecindad de 0. Este es el m topología -adic en R . Si ( R , m ) es un anillo local noetheriano conmutativo , entonces

$${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} m ^ {i} = \ {0 \}

( Teorema de intersección de Krull ), y se deduce que R con la topología m -adic es un espacio de Hausdorff . El teorema es una consecuencia del lema de Artin-Rees junto con el lema de Nakayama y, como tal, el supuesto "noetheriano" es crucial. De hecho, sea R el anillo de gérmenes de funciones infinitamente diferenciables en 0 en la línea real y m sea ​​el ideal máximo$${\ displaystyle (x)}. Entonces una función distinta de cero$${\ displaystyle e ^ {- {1 \ sobre x ^ {2}}}} pertenece a $${\ displaystyle m ^ {n}}para cualquier n , ya que esa función dividida por$${\ displaystyle x ^ {n}} sigue siendo suave.

En cuanto a cualquier anillo topológico, uno puede preguntar si ( R , m ) está completo (como un espacio uniforme ); Si no lo es, se considera su finalización , nuevamente un anillo local. Los anillos locales noetherianos completos están clasificados por el teorema de estructura de Cohen .

En la geometría algebraica, especialmente cuando R es el anillo local de un esquema en algún punto P , R / m se llama el campo residuo del anillo local o de campo residuo del punto P .

Si ( R , m ) y ( S , n ) son anillos locales, entonces un homomorfismo de anillo local de R a S es un homomorfismo de anillo f  : R → S con la propiedad f ( m ) n . ^[4] Estos son precisamente los homomorfismos de anillo que son continuas con respecto a las topologías dadas en R y S . Por ejemplo, consideremos el morfismo del anillo.$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x] / (x ^ {3}) \ a \ mathbb {C} [x, y] / (x ^ {3}, x ^ {2} y, y ^ {4 })} enviando $${\ displaystyle x \ mapsto x}. La preimagen de$${\ displaystyle (x, y)} es $${\ displaystyle (x)}. Otro ejemplo de un morfismo de anillo local es dado por$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x] / (x ^ {3}) \ a \ mathbb {C} [x] / (x ^ {2})}.

Caso general [ editar ]

El radical de Jacobson m de un anillo local R (que es igual al ideal máximo izquierdo único y también al ideal derecho máximo único) consiste precisamente en las no unidades del anillo; además, es la única máxima ideales de dos caras de R . Sin embargo, en el caso no conmutativo, tener un ideal único máximo de dos lados no es equivalente a ser local. ^[5]

Para un elemento x del anillo local R , los siguientes son equivalentes:

• x tiene un inverso a la izquierda
• x tiene un derecho inverso
• x es invertible
• x no está en m .

Si ( R , m ) es local, entonces el anillo de factor R / m es un campo de sesgo . Si J ≠ R es un ideal de dos caras en R , entonces el anillo factor de R / J es de nuevo local, con máxima ideales m / J .

Un profundo teorema de Irving Kaplansky dice que cualquier módulo proyectivo sobre un anillo local es gratuito , aunque el caso en que el módulo se genera de manera definitiva es un simple corolario del lema de Nakayama . Esto tiene una consecuencia interesante en términos de equivalencia de Morita . Es decir, si P es un módulo Rproyectivo finamente generado , entonces P es isomorfo al módulo libre R ⁿ , y por lo tanto el anillo de endomorfismos$${\ displaystyle \ mathrm {Fin} _ {R} (P)} Es isomorfo al anillo completo de matrices. $${\ displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (R)}. Dado que cada anillo Morita equivalente al anillo local R es de la forma$${\ displaystyle \ mathrm {Fin} _ {R} (P)}para un tal P , la conclusión es que la única anillos Morita equivalente a un anillo local R son (isomorfo a) los anillos de matriz de más de R .

anillo semi-locales es un anillo para el cual R / J ( R ) es un anillo semisimple , donde J ( R) es el radical Jacobson de R . ( Lam & 2001, §20 ) ( Mikhalev & 2002, C.7 )

La definición anterior se satisface si R tiene un número finito de ideales máximos correctos (y un número finito de ideales máximos izquierdos). Cuando R es un anillo conmutativo , la implicación inversa también es cierta, por lo que la definición de semi-local para anillos conmutativos a menudo se considera que tiene "finamente muchos ideales máximos ".

Cierta literatura se refiere a un anillo semi-local conmutativo en general como un anillo casi semi-local , que usa un anillo semi-local para referirse a un anillo noetheriano con finamente muchos ideales máximos.

Por lo tanto, un anillo semi-local es más general que un anillo local , que tiene solo un ideal máximo (derecho / izquierdo / doble).

Ejemplos [ editar ]

• Cualquier anillo Artinian derecho o izquierdo , cualquier anillo serial y cualquier anillo semiperfecto es semi-local.
• El cociente $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}}Es un anillo semi-local. En particular, si$${\ displaystyle m} es un poder primordial, entonces $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}} Es un anillo local.
• Una suma finita de campos directos. $${\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} {F_ {i}}} Es un anillo semi-local.
• En el caso de anillos conmutativos con unidad, este ejemplo es prototípico en el siguiente sentido: el teorema del resto chino muestra que para un anillo conmutativo semi-local R con unidad e ideales máximos m ₁ , ..., m _n

$${\ displaystyle R / \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ cong \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} R / m_ {i} \,}.

(El mapa es la proyección natural). El lado derecho es una suma directa de campos. Aquí notamos que ∩ _i m _i= J ( R ), y vemos que R / J ( R ) es de hecho un anillo semisimple.

• El anillo clásico de cocientes para cualquier anillo noetheriano conmutativo es un anillo semilocal.
• El anillo de endomorfismo de un módulo artiniano es un anillo semilocal.
• Los anillos semi-locales ocurren, por ejemplo, en geometría algebraica cuando un anillo (conmutativo) R se localiza con respecto al subconjunto multiplicativamente cerrado S = ∩ (R \ p _i ) , donde los p _i son infinitamente muchos ideales primarios .

En álgebra abstracta , un anillo de valoración discreto ( DVR ) es un dominio ideal principal (PID) con exactamente un ideal máximo distinto de cero .

Esto significa que un DVR es un dominio integral R que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. R es un dominio ideal principal local , y no un campo .
2. R es un anillo de valoración con un grupo de valores isomorfo a los enteros que se suman.
3. R es un dominio local de Dedekind y no un campo.
4. R es un dominio local noetheriano cuyo ideal máximo es principal, y no un campo. ^[1]
5. R es un anillo local noetheriano integralmente cerrado con dimensión Krull uno.
6. R es un dominio ideal principal con un ideal primo distinto de cero .
7. R es un dominio ideal principal con un elemento irreductible único ( hasta la multiplicación por unidades ).
8. R es un dominio de factorización único con un elemento irreductible único (hasta la multiplicación por unidades).
9. R es noetheriano, no es un campo , y cada ideal fraccional distinto de cero de R es irreductible en el sentido de que no se puede escribir como una intersección finita de ideales fraccionarios que lo contienen correctamente.
10. Hay una cierta valoración discreta ν en el campo de fracciones K de R , tal que R = { x  : x en K , ν ( x ) ≥ 0}.

Ejemplos [ editar ]

Algebraico [ editar ]

Sea Z ₍₂₎  : = { z / n  : z , n ∈ Z , n impar}. A continuación, el campo de fracciones de Z ₍₂₎ es Q . Ahora, para cualquier elemento distinto de cero r de Q , podemos aplicar una factorización única al numerador y denominador de r para escribir r como 2 ^k z/n donde z , n y k son enteros con z y nimpar. En este caso, definimos ν ( r ) = k . Entonces Z ₍₂₎ es el anillo de valoración discreto correspondiente a ν. El ideal máximo de Z ₍₂₎ es el ideal principal generado por 2, y el elemento irreductible "único" (hasta unidades) es 2.

Tenga en cuenta que Z ₍₂₎ es la localización del dominio Z Dedekind en el ideal primario generado por 2. Cualquier localización de un dominio Dedekind en un ideal primo distinto de cero es un anillo de valoración discreto; en la práctica, así es como surgen discretamente los anillos de valoración. En particular, podemos definir anillos.$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)}: = \ left. \ left \ {{\ frac {z} {n}} \, \ right | z, n \ in \ mathbb {Z}, p \ nmid n \ right \}}Para cualquier primo p en completa analogía.

Para un ejemplo de naturaleza más geométrica, tome el anillo R = { f / g  : f , g polinomios en R [ X ] yg (0) ≠ 0}, considerado como un subgrupo del campo de funciones racionales R ( X ) en la variable x . R puede identificarse con el anillo de todas las funciones racionales con valores reales definidas (es decir, finitas) en una vecindad de 0 en el eje real (con la vecindad dependiendo de la función). Es un anillo de valoración discreto; El elemento irreductible "único" esX y la valoración asigna a cada función f el orden (posiblemente 0) del cero de f en 0. Este ejemplo proporciona la plantilla para estudiar curvas algebraicas generales cerca de puntos no singulares, siendo la curva algebraica en este caso la línea real.

Otro ejemplo importante de un DVR es el anillo de la serie de poder formal. $${\ displaystyle R = k [[T]]} en una variable $${\ displaystyle T} sobre un campo $${\ displaystyle k}. El elemento irreductible "único" es$${\ displaystyle T}, el ideal maximo de $${\ displaystyle R} es el principal ideal generado por $${\ displaystyle T}, y la valoración $${\ displaystyle \ nu} asigna a cada serie de potencias el índice (es decir, el grado) del primer coeficiente distinto de cero.

Si nos limitamos a coeficientes reales o complejos , podemos considerar el anillo de series de potencias en una variable que converge en una vecindad de 0 (con la vecindad que depende de las series de potencias). Este es también un anillo de valoración discreta.

Finalmente, el anillo. $${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}de p -adic integers es un DVR, para cualquier primo$${\ displaystyle p}. aquí$${\ displaystyle p}Es un elemento irreductible; la valoración asigna a cada uno$${\ displaystyle p}-adro entero $${\ displaystyle x} el entero más grande $${\ displaystyle k} tal que $${\ displaystyle p ^ {k}} divide $${\ displaystyle x}.

Esquema-teórica [ editar ]

Para un DVR $${\ displaystyle R} Es común escribir el campo de fracción como $${\ displaystyle K = {\ text {Frac}} (R)} y $${\ displaystyle \ kappa = R / {\ mathfrak {m}}}El campo de residuos. Estos corresponden a los puntos genéricos y cerrados de$${\ displaystyle {\ text {Spec}} (R)}. Por ejemplo, el punto cerrado de$${\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} _ {p})}es $${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}} y el punto genérico es $${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}. A veces esto se denota como

$${\ displaystyle \ eta \ a S \ leftarrow s}

dónde $${\ displaystyle \ eta} es el punto genérico y $${\ displaystyle s} Es el punto cerrado.

Dada una curva algebraica $${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}, el anillo local $${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, {\ mathfrak {p}}}} en un punto suave $${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}} es un anillo de valoración discreto, porque es un anillo de valoración principal.

Parámetro de uniformización [ editar ]

Dado un DVR R , cualquier elemento irreductible de R es un generador para el ideal máximo único de R y viceversa. Dicho elemento también se denomina parámetro de uniformización de R (o un elemento de uniformización , un uniformizador o un elemento primario ).

Si fijamos un parámetro de uniformización t , entonces M = ( t ) es el ideal máximo único de R , y cualquier otro ideal no nulo es una potencia de M , es decir, tiene la forma ( t ^k ) para algunos k ≥0. Todos los poderes de t son distintos, y también lo son los poderes de m . Cada-no cero elemento x de R puede ser escrita en forma α t ^k con α una unidad en R y k ≥0, tanto determinado unívocamente por x . La valoración está dada por ν ( x  ) = kv ( t ). Entonces, para entender completamente el anillo, uno necesita conocer el grupo de unidades de R y cómo las unidades interactúan de manera aditiva con los poderes de t .

La función v también convierte cualquier anillo de valoración discreto en un dominio euclidiano . ^{[ cita requerida ]}

Topologia [ editar ]

Cada anillo de valoración discreto, al ser un anillo local, tiene una topología natural y es un anillo topológico . También podemos darle una estructura de espacio métrico donde la distancia entre dos elementos x y y se puede medir de la siguiente manera:

$${\ displaystyle | xy | = 2 ^ {- \ nu (xy)}}

(o con cualquier otro número real fijo> 1 en lugar de 2). Intuitivamente: un elemento z es "pequeño" y "cerca de 0" si su valoración ν ( z ) es grande. La función | xy |, complementada por | 0 | = 0, es la restricción de un valor absoluto definido en el campo de fracciones del anillo de valoración discreto.

Un DVR es compacto si y solo si está completo y su campo de residuo R / M es un campo finito .

Los ejemplos de DVR completos incluyen el anillo de enteros p -adic y el anillo de series de poder formales sobre cualquier campo. Para un DVR dado, uno pasa a menudo hasta su finalización , un DVR completo que contiene el anillo dado que a menudo es más fácil de estudiar. Se puede pensar en este procedimiento de finalización de una manera geométrica como pasar de funciones racionales a series de potencias, o de números racionales a reales.

Volviendo a nuestros ejemplos: el anillo de todas las series de poder formales en una variable con coeficientes reales es la terminación del anillo de funciones racionales definidas (es decir, finitas) en una vecindad de 0 en la línea real; También es la finalización del anillo de todas las series de potencias reales que convergen cerca de 0. La finalización de$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)} = \ mathbb {Q} \ cap \ mathbb {Z} _ {p}}(que puede verse como el conjunto de todos los números racionales que son enteros p -adic) es el anillo de todos los enteros p -adic Z _p .