LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

 dominio ideal principal , o PID , es un dominio integral en el que cada ideal es principal , es decir, puede ser generado por un solo elemento. Más generalmente, un anillo ideal principal es un anillo conmutativo distinto de cero cuyos ideales son principales, aunque algunos autores (por ejemplo, Bourbaki) se refieren a PID como anillos principales. La distinción es que un anillo ideal principal puede tener cero divisoresmientras que un dominio ideal principal no puede.

Los dominios ideales principales son, por lo tanto, objetos matemáticos que se comportan de manera similar a los enteros , con respecto a la divisibilidad : cualquier elemento de un PID tiene una descomposición única en elementos primarios (por lo que se sostiene un análogo del teorema fundamental de la aritmética ); cualquiera de los dos elementos de un PID tiene un mayor divisor común (aunque puede que no sea posible encontrarlo utilizando el algoritmo euclidiano ). Si x e y son elementos de un PID sin divisores comunes, entonces cada elemento del PID se puede escribir en la forma ax  +  by .

Los dominios ideales principales son noetherianos , están cerrados integralmente , son dominios de factorización únicos y dominios Dedekind . Todos los dominios euclidianos y todos los campos son dominios ideales principales.

Ejemplos [ editar ]

Ejemplos incluyen:

• $${\ displaystyle K}: cualquier campo ,
• $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}: el anillo de enteros , ^[1]
• $${\ displaystyle K [x]}: anillos de polinomios en una variable con coeficientes en un campo. (Lo contrario también es cierto; es decir, si$${\ displaystyle A [x]} es un PID, entonces $${\ displaystyle A} es un campo.) Además, un anillo de series de poder formales en una variable sobre un campo es un PID ya que cada ideal es de la forma $${\ displaystyle (x ^ {k})},
• $${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}: el anillo de enteros gaussianos ^[2] ,
• $${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ omega]} (dónde $${\ displaystyle \ omega}es una raíz cúbica primitiva de 1): los enteros de Eisenstein ,
• Cualquier anillo de valoración discreto , por ejemplo el anillo de enteros p -adic $${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}.

Ejemplos de dominios integrales que no son PIDs:

• $${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}: el anillo de todos los polinomios con coeficientes enteros. No es principal porque$${\ displaystyle \ langle 2, x \ rangle} es un ejemplo de un ideal que no puede ser generado por un solo polinomio.
• $${\ displaystyle K [x, y]}: anillos de polinomios en dos variables . El ideal$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle} no es principal

Modulos [ editar ]

Artículo principal: Teorema de estructura para módulos generados de manera finita sobre un dominio ideal principal

El resultado clave es el teorema de la estructura: si R es un dominio ideal principal, y M es un módulo Rfinamente generado , entonces$${\ displaystyle M}es una suma directa de módulos cíclicos, es decir, módulos con un generador. Los módulos cíclicos son isomorfos para$${\ displaystyle R / xR} para algunos $${\ displaystyle x \ en R}^[3] (note que$${\ displaystyle x} puede ser igual a $${\ displaystyle 0}, en ese caso $${\ displaystyle R / xR} es $${\ displaystyle R}).

Si M es un módulo libre sobre un dominio ideal principal R , entonces cada submódulo de M es nuevamente libre. Esto no es válido para módulos sobre anillos arbitrarios, como el ejemplo$${\ displaystyle (2, X) \ subseteq {\ mathbb {Z}} [X]} de módulos sobre $${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} [X]} muestra

Propiedades [ editar ]

En un dominio ideal principal, cualquiera de los dos elementos a , b tiene un mayor divisor común , que puede obtenerse como un generador del ideal (a, b) .

Todos los dominios euclidianos son dominios ideales principales, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo de un dominio ideal principal que no es un dominio euclidiano es el anillo$${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} \ left [(1 + {\ sqrt {-19}}) / 2 \ right].} ^[4] [5] En este dominio no existen q y r, con 0≤ | r | <4 font="" lo="" por="" que="">$${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-19}}) = (4) q + r}, A pesar de $${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {-19}}} y 4 teniendo un mayor divisor común de 2.

Cada dominio ideal principal es un dominio de factorización único (UFD). ^{[6] [7] [8] [9]} Lo contrario no se cumple, ya que para cualquier UFD K , K [ X , Y ] (los anillos de polinomios en 2 variables) es una UFD pero no es un PID. (Para demostrar esta mirada al ideal generado por$${\ displaystyle \ left \ langle X, Y \ right \ rangle.} No es el anillo completo, ya que no contiene polinomios de grado 0, pero no puede ser generado por un solo elemento.)

1. Cada dominio ideal principal es el noetheriano .
2. En todos los anillos unitales, los ideales máximos son primos . En los dominios ideales principales se mantiene un converso cercano: cada ideal primo distinto de cero es el máximo.
3. Todos los dominios ideales principales están cerrados integralmente .

Las tres declaraciones anteriores dan la definición de un dominio Dedekind , y por lo tanto, cada dominio ideal principal es un dominio Dedekind.

Sea A un dominio integral. Entonces los siguientes son equivalentes.

1. A es un PID.
2. Todo ideal primordial de A es el principal. ^[10]
3. A es un dominio de Dedekind que es una UFD.
4. Cada ideal finamente generado de A es principal (es decir, A es un dominio Bézout ) y A satisface la condición de cadena ascendente en los ideales principales .
5. A admite una norma Dedekind-Hasse . ^[11]

Una norma de campo es una norma de Dedekind-Hasse; por lo tanto, (5) muestra que un dominio euclidiano es un PID. (4) se compara con:

• Un dominio integral es un UFD si y solo si es un dominio GCD (es decir, un dominio donde cada uno de los dos elementos tiene un divisor común más grande) que satisface la condición de cadena ascendente en los ideales principales.

Un dominio integral es un dominio Bézout si, y solo si, dos elementos tienen un gcd que es una combinación lineal de los dos. Un dominio Bézout es, por lo tanto, un dominio GCD, y (4) brinda otra prueba de que un PID es un UFD.

 anillo regular de von Neumann es un anillo R tal que para cada a en R existe una x en Rtal que a = axa . Para evitar la posible confusión con los anillos regulares y los anillos locales regulares de álgebra conmutativa (que son nociones no relacionadas), los anillos regulares de von Neumann también se denominan anillos absolutamente planos , porque estos anillos se caracterizan por el hecho de que cada módulo izquierdo es plano .

Uno puede pensar en x como un "inverso débil" de a . En general, x no está determinada únicamente por a .

Los anillos regulares de Von Neumann fueron introducidos por von Neumann  ( 1936 ) bajo el nombre de "anillos regulares", durante su estudio de las álgebras de von Neumann y la geometría continua .

Un elemento a de un anillo se llama elemento regular de von Neumann si existe una x tal que a = axa . ^[1] Un ideal$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}se llama un ideal regular (de von Neumann) si es un anillo no unital regular de von Neumann, es decir, si para cada elemento a en$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}existe un elemento x en$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}tal que a = axa .

Ejemplos [ editar ]

Cada campo (y cada campo de desviación ) es von Neumann regular: para un 0 podemos tomar x = a ⁻¹ . ^[1] Un dominio integral es von Neumann regular si y solo si es un campo.

Otro ejemplo de un anillo regular de von Neumann es el anillo M _n ( K ) de n -by- n matrices cuadradas con las entradas de algún campo K . Si r es el rango de A ∈ M _n ( K ) , existen matrices invertibles U y V tales que

{\ displaystyle A = U {\ begin {pmatrix} I_ {r} & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} V}

(donde I _r es la matriz de identidad r -by- r ). Si establecemos X = V ⁻¹ U ⁻¹ , entonces

{\ displaystyle AXA = U {\ begin {pmatrix} I_ {r} & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} I_ {r} & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} V = U { \ begin {pmatrix} I_ {r} & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} V = A.}

Más generalmente, el anillo de matriz sobre un anillo regular de von Neumann es nuevamente un anillo regular de von Neumann. ^[1]

El anillo de operadores afiliados de un álgebra de von Neumann finito es el de von Neumann regular.

Un anillo booleano es un anillo en el que cada elemento satisface un ² = a . Cada anillo booleano es de von Neumann regular.

Hechos [ editar ]

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para el anillo R :

• R es von Neumann regular
• cada ideal de izquierda principal es generado por un elemento idempotente
• cada ideal de izquierda finamente generado es generado por un idempotente
• todos los directores ideales izquierda es un sumando directo de la izquierda R -módulo R
• todo ideal izquierda finitamente generado es un sumando directo de la izquierda R -módulo R
• cada finitamente generado submódulo de un proyectiva izquierda R -módulo P es un sumando directo de P
• cada módulo R izquierdo es plano : esto también se conoce como R es absolutamente plano , o R tiene una dimensión débil 0.
• Cada secuencia exacta corta de los módulos R izquierdos es pura exacta

Las declaraciones correspondientes para los módulos correctos también son equivalentes a que R sea ​​von Neumann regular.

En un anillo regular de von Neumann conmutativo, para cada elemento x hay un elemento único y tal que xyx = xy yxy = y , así que hay una forma canónica de elegir el "inverso débil" de x . Las siguientes afirmaciones son equivalentes para el anillo conmutativo R :

• R es von Neumann regular
• R tiene Krull dimensión 0 y se reduce
• Cada localización de R en un ideal máximo es un campo
• R es el resultado de un producto de campos cerrados tomando "inversos débiles" de x ∈ R (el elemento único y tal que xyx = x y yxy = y ).
• R es un anillo en V . ^[3]

Además, los siguientes son equivalentes: para un anillo conmutativo A

• R = A / nil ( A ) es von Neumann regular.
• El espectro de A es Hausdorff (en la topología de Zariski).
• La topología constructible y la topología de Zariski para Spec ( A ) coinciden.

Cada anillo semisimple es de von Neumann regular, y un anillo regular izquierdo (o derecho) de Noetherian von Neumann es semisimple. Cada anillo regular de von Neumann tiene el radical Jacobson {0} y, por lo tanto, es semiprimitivo (también llamado "Jacobson semi-simple").

Generalizando el ejemplo anterior, supongamos que S es un anillo y M es un módulo S tal que cada submódulode M es un sumando directo de M (tales módulos M se denominan semisimples ). Luego, el anillo endomorfismoEnd _S ( M ) es Von Neumann regular. En particular, cada anillo semisimple es de von Neumann regular.

Generalizaciones y especializaciones [ editar ]

Los tipos especiales de anillos regulares de von Neumann incluyen anillos regulares de unidad y anillos regularesy anillos de rango fuertemente de von Neumann .

Un anillo R se llama unidad regular si para cada a en R , hay una unidad u en R tal que a = aua . Cada anillo semisimple es una unidad regular, y los anillos regulares unitarios son directamente anillos finitos . Un anillo normal de von Neumann no necesita ser directamente finito.

Un anillo R se llama fuertemente Von Neumann regular si para cada una en R , hay algunas x en R con a = aax. La condición es simétrica izquierda-derecha. Fuertemente los anillos regulares de von Neumann son unidad regular. Cada anillo regular fuertemente de von Neumann es un producto subdirecto de los anillos de división . En cierto sentido, esto imita más de cerca las propiedades de los anillos regulares conmutativos de Von Neumann, que son productos subdirectos de los campos. Por supuesto, para los anillos conmutativos, los equivalentes de von Neumann y los de von Neumann son equivalentes. En general, los siguientes son equivalentes para un anillo.R :

• R es fuertemente von Neumann regular
• R es von Neumann regular y reducido
• R es von Neumann regular y cada idempotente en R es central
• Cada ideal de izquierda principal de R es generado por un idempotente central

Las generalizaciones de los anillos regulares de von Neumann incluyen anillos π -regulares, anillos semihereditarios de izquierda / derecha, anillos no singulares de izquierda / derecha y anillos semiprimitivos .

 anillos de Frobenius y sus generalizaciones son la extensión del trabajo realizado en las álgebras de Frobenius . Quizás la generalización más importante es la de los anillos cuasi-Frobenius ( anillos QF), que a su vez se generalizan mediante anillos pseudo-Frobenius derechos (anillos PF) y anillos finamente pseudo-Frobenius derechos (anillos FPF). Otras generalizaciones diversas de los anillos cuasi-Frobenius incluyen los anillos QF-1 , QF-2 y QF-3 .

Estos tipos de anillos pueden verse como descendientes de álgebras examinadas por Georg Frobenius . Una lista parcial de pioneros en los anillos de casi Frobenius incluye a R. Brauer , K. Morita , T. Nakayama , CJ Nesbitt y RM Thrall .

Definiciones [ editar ]

Un anillo R es cuasi-Frobenius si y solo si R cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. R es noetheriana en un lado y autoinyectiva en un lado.
2. R es Artinian en un lado y autoinyectiva en un lado.
3. Todos los módulos R a la derecha (o todos a la izquierda) que son proyectivos también son inyectivos .
4. Todos los módulos R a la derecha (o todos a la izquierda) que son inyectivos también son proyectivos.

Un anillo de Frobenius R es uno que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes. Deje que J = J ( R ) sea el radical Jacobson de R .

1. R es cuasi-Frobenius y el zócalo $${\ displaystyle \ mathrm {soc} (R_ {R}) \ cong R / J}Como módulos R derechos .
2. R es cuasi-Frobenius y$${\ displaystyle \ mathrm {soc} (_ ​​{R} R) \ cong R / J}como módulos R de izquierda .
3. Como módulos R derechos$${\ displaystyle \ mathrm {soc} (R_ {R}) \ cong R / J}, y como quedan los módulos R$${\ displaystyle \ mathrm {soc} (_ ​​{R} R) \ cong R / J}.

Para un anillo conmutativo R , los siguientes son equivalentes:

1. R es Frobenius
2. R es cuasi-Frobenius
3. R es una suma finita directa de anillos artinios locales que tienen ideales mínimos únicos . (Tales anillos son ejemplos de " anillos locales de Gorenstein de dimensión cero ".)

Un anillo R es pseudo-Frobenius derecho si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada módulo R de fiel derecho es un generador para la categoría de módulos R de derecha .
2. R es autoinyectivo y es un cogenerador de Mod- R .
3. R es autoinyectivo correcto y está cogenerado finamente como un módulo R correcto .
4. R es justo autoinyectivo y un anillo de Kasch correcto .
5. R es auto-inyectiva derecha, semilocal y la soc zócalo ( R _R ) es un submódulo esencial de R .
6. R es un cogenerador de Mod- R y es un anillo de Kasch izquierdo.

Un anillo R es derecho finamente pseudo-Frobenius si y solo si cada módulo R derecho correcto generado de manera finita es un generador de Mod- R .

Generalizaciones de Thrall QF-1,2,3 [ editar ]

En el artículo seminal ( Thrall 1948 ), RM Thrall se centró en tres propiedades específicas de las álgebras QF (finitas-dimensionales) y las estudió de forma aislada. Con supuestos adicionales, estas definiciones también se pueden utilizar para generalizar los anillos QF. Algunos otros matemáticos pioneros en estas generalizaciones incluyen K. Morita y H. Tachikawa.

Siguiendo ( Anderson y Fuller 1992 ), sea R un anillo Artinian izquierdo o derecho:

• R es QF-1 si todos los módulos fieles de la izquierda y los fieles de la derecha son módulos equilibrados .
• R es QF-2 si cada módulo derecho proyectivo indecomposible y cada módulo izquierdo proyectivo indecomposible tienen un submódulo mínimo único. (Es decir, tienen zócalos simples).
• R es QF-3 si los cascos inyectivos E ( R _R ) y E ( _R R ) son ambos módulos proyectivos.

El esquema de numeración no necesariamente esboza una jerarquía. Bajo condiciones más laxas, estas tres clases de anillos pueden no contener entre sí. Sin embargo, bajo el supuesto de que R es Artinian izquierdo o derecho, los anillos QF-2 son QF-3. Incluso hay un ejemplo de un anillo QF-1 y QF-3 que no es QF-2.

Ejemplos [ editar ]

• Cada álgebra de Frobenius k es un anillo de Frobenius.
• Cada anillo semisimple es cuasi-Frobenius, ya que todos los módulos son proyectivos e inyectivos. Sin embargo, aún más es verdad: todos los anillos semisimples son todos de Frobenius. Esto se verifica fácilmente por la definición, ya que para anillos semisimples$${\ displaystyle \ mathrm {soc} (R_ {R}) = \ mathrm {soc} (_ ​​{R} R) = R}y J  = rad ( R ) = 0.
• El anillo cociente $${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {Z}} {n \ mathbb {Z}}}}es QF para cualquier entero positivo n > 1.
• Los anillos seriales artinianos conmutativos son todos Frobenius, y de hecho tienen la propiedad adicional de que cada anillo cociente R / I también es Frobenius. Resulta que entre los anillos artinianos conmutativos, los anillos seriales son exactamente los anillos cuyos cocientes (distintos de cero) son todos de Frobenius.
• Se pueden encontrar muchos anillos exóticos de PF y FPF como ejemplos en ( Faith 1984 )