MECÁNICA CUÁNTICA

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Dinámica cuántica de un solitón de Davydov con $${\ displaystyle \ chi = 35}pN generado por una distribución escalonada Gaussiana inicial de energía de amida I sobre 3 grupos peptídicos en el extremo N de una única espina de hélice α compuesta por 40 grupos peptídicos (que se extienden a lo largo del eje x ) durante un período de 125 picosegundos. Probabilidades cuánticas$${\ displaystyle | a_ {n} | ^ {2}}de la excitación de amida I se representan en azul a lo largo del eje z . Diferencias de desplazamiento de celosía de Phonon.$${\ displaystyle b_ {n} -b_ {n-1}}(medidos en picómetros) se trazan en rojo a lo largo del eje y . El solitón se forma mediante la auto-captura de la energía amida I por la distorsión de la red inducida. ^[1]

Davydov solitón es un quantum cuasipartícula que representa una excitación de propagación a lo largo de la proteína α-hélice auto-atrapado amida I . Es una solución del Davydov Hamiltoniano . Lleva el nombre del físico soviético y ucraniano Alexander Davydov . El modelo de Davydov describe la interacción de las vibraciones de la amida I con los enlaces de hidrógeno que estabilizan la hélice α de las proteínas . Las excitaciones elementales dentro de la hélice α están dadas por los fonones que corresponden a las oscilaciones de deformación de la red y los excitones.que describen las excitaciones internas de amida I de los grupos peptídicos . Haciendo referencia a la estructura atómica de una región α-hélice de la proteína el mecanismo que crea el solitón Davydov ( polaron , excitón ) puede ser descrito como sigue: vibracional energía del C = O de estiramiento (o amida I ) osciladores que se localiza en el La hélice α actúa a través de un efecto de acoplamiento de fonones para distorsionar la estructura de la hélice α, mientras que la distorsión helicoidal reacciona nuevamente mediante el acoplamiento de fonones para atrapar la energía de oscilación de la amida I y evitar su dispersión. Este efecto se llama auto-localización oauto-trampa . ^{[2] [3] [4] Los}solitones en los que la energía se distribuye de una manera que preserva la simetría helicoidal son dinámicamente inestables, y tales solitones simétricos se formaron una vez que se desintegraron rápidamente cuando se propagan. Por otro lado, un solitón asimétrico que rompe espontáneamente las simetrías de traslación y helicoidales locales posee la energía más baja y es una entidad localizada robusta. ^[5]

Davydov Hamiltonian [ editar ]

Davydov Hamiltonian es formalmente similar al Fröhlich-Holstein Hamiltonian para la interacción de los electrones con una red polarizable. Así el hamiltoniano del operador energético. $${\ displaystyle {\ hat {H}}} es

$${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} _ {\ text {qp}} + {\ hat {H}} _ {\ text {ph}} + {\ hat {H}} _ {\ text {int}}}

dónde $${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ text {qp}}}es el Hamiltoniano cuasiparticle ( exciton ) , que describe el movimiento de las excitaciones de amida I entre sitios adyacentes;$${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ text {ph}}}es el fonón hamiltoniano , que describe las vibraciones de la red ; y$${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ text {int}}}es la interacción hamiltoniana , que describe la interacción de la excitación de la amida I con la red. ^{[2] [3] [4]}

El quasiparticle ( excitón ) hamiltoniano $${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ text {qp}}} es:

$${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ text {qp}} =} $${\ displaystyle \ sum _ {n, \ alpha} E_ {0} {\ hat {A}} _ {n, \ alpha} ^ {\ dagger} {\ hat {A}} _ {n, \ alpha}} $${\ displaystyle -J \ sum _ {n, \ alpha} \ left ({\ hat {A}} _ {n, \ alpha} ^ {\ dagger} {\ hat {A}} _ {n + 1, \ alpha} + {\ hat {A}} _ {n, \ alpha} ^ {\ dagger} {\ hat {A}} _ {n-1, \ alpha} \ right)} $${\ displaystyle + L \ sum _ {n, \ alpha} \ left ({\ hat {A}} _ {n, \ alpha} ^ {\ dagger} {\ hat {A}} _ {n, \ alpha + 1} + {\ hat {A}} _ {n, \ alpha} ^ {\ dagger} {\ hat {A}} _ {n, \ alpha -1} \ right)}

donde el índice $${\ displaystyle n = 1,2, \ cdots, N} cuenta los grupos de péptidos a lo largo de la columna vertebral α-helix, el índice $${\ displaystyle \ alpha = 1,2,3} cuenta cada columna vertebral α-helix, $${\ displaystyle E_ {0} = 32.8} z J es la energía de la vibración de amida I (estiramiento de CO),$${\ displaystyle J = 0.155} z J es la energía de acoplamiento dipolo - dipolo entre un enlace amida I particular y los que están adelante y atrás a lo largo de la misma columna vertebral,$${\ displaystyle L = 0.246} z J es la energía de acoplamiento dipolo-dipolo entre un enlace amida I particular y aquellos en espinas adyacentes en la misma célula unitaria de la proteína α-hélice ,$${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {n, \ alpha} ^ {\ dagger}} y $${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {n, \ alpha}}son, respectivamente, el operador de creación y aniquilación de bosones para una cuasipartícula en el grupo de péptidos $${\ displaystyle (n, \ alpha)}. ^{[6] [7] [8]}

El fonon hamiltoniano $${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ text {ph}}} es

$${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ text {ph}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n, \ alpha} \ left [w ({\ hat {u}} _ {n + 1, \ alpha} - {\ hat {u}} _ {n, \ alpha}) ^ {2} + {\ frac {{\ hat {p}} _ {n, \ alpha} ^ { 2}} {M}} \ derecho]}

dónde $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {n, \ alpha}}es el operador de desplazamiento desde la posición de equilibrio del grupo de péptidos $${\ displaystyle (n, \ alpha)}, $${\ displaystyle {\ hat {p}} _ {n, \ alpha}}es el operador del momento del grupo peptídico $${\ displaystyle (n, \ alpha)}, M es la masa de cada grupo peptídico , y$${\ displaystyle w = 13-19.5} N / m es un coeficiente de elasticidad efectivo de la red (la constante de resorte de un enlace de hidrógeno ). ^[7]

Finalmente, la interacción hamiltoniana. $${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ text {int}}} es

$${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ text {int}} = \ chi \ sum _ {n, \ alpha} \ left [({\ hat {u}} _ {n + 1, \ alpha} - {\ hat {u}} _ {n, \ alpha}) {\ hat {A}} _ {n, \ alpha} ^ {\ dagger} {\ hat {A}} _ {n, \ alpha} \ Correcto]}

dónde $${\ displaystyle \ chi = 35-62} p N es un parámetro anarmónico que surge del acoplamiento entre la cuasipartícula(exciton) y los desplazamientos de la red (phonon) y parametriza la fuerza de la interacción exciton - phonon . ^[7]El valor de este parámetro para la hélice α se ha determinado mediante la comparación de las formas de las líneas de absorción calculadas teóricamente con las medidas medidas experimentalmente.

Propiedades de soliton Davydov [ editar ]

Hay tres posibles enfoques fundamentales para derivar ecuaciones de movimiento de Davydov Hamiltonian:

• enfoque cuántico , en el que tanto la vibración de la amida I ( excitones ) como el movimiento del sitio de la red ( fonones ) se tratan de forma mecánica; ^[9]
• enfoque cuántico-clásico mixto , en el que la vibración de la amida I se trata de manera mecánica, pero la red es clásica; ^[8]
• enfoque clásico , en el que tanto la amida I como los movimientos de celosía son tratados clásicamente. ^[10]

Las técnicas matemáticas que se utilizan para analizar el solitón de Davydov son similares a algunas que se han desarrollado en la teoría del polarón. ^[11] En este contexto, el solitón de Davydov corresponde a un polarón que es:

• grande, por lo que la aproximación del límite continuo está justificada, ^[7]
• acústico porque la auto-localización surge de las interacciones con los modos acústicos de la red, ^[7]
• débilmente acoplado porque la energía anharmónica es pequeña en comparación con el ancho de banda del fonón. ^[7]

El solitón de Davydov es una cuasipartícula cuántica y obedece al principio de incertidumbre de Heisenberg . Por lo tanto, cualquier modelo que no imponga la invariancia de la traducción es defectuoso por la construcción. ^[7]Suponiendo que el solitón de Davydov se localiza a 5 vueltas de la hélice α, resulta en una incertidumbre significativa en la velocidad del solitón $${\ displaystyle \ Delta v = 133} m / s, un hecho que se oculta si uno modela el soliton de Davydov como un objeto clásico.

En la mecánica cuántica , un nivel de energía está degenerado si corresponde a dos o más estados medibles diferentes de un sistema cuántico . A la inversa, se dice que dos o más estados diferentes de un sistema mecánico cuántico están degenerados si dan el mismo valor de energía en la medición. El número de estados diferentes correspondientes a un nivel de energía particular se conoce como el grado de degeneración del nivel. Se representa matemáticamente por la hamiltoniano para el sistema que tiene más de un linealmente independientes eigenstate con la misma energía valor propio . ^{[1] : p. 48} enMecánica clásica , esto se puede entender en términos de diferentes trayectorias posibles correspondientes a la misma energía.

La degeneración juega un papel fundamental en la mecánica estadística cuántica . Para un sistema de N-partículas en tres dimensiones, un solo nivel de energía puede corresponder a varias funciones de onda o estados de energía diferentes. Estos estados degenerados en el mismo nivel son igualmente probables de ser llenados. El número de tales estados da la degeneración de un nivel de energía particular.

Estados degenerados en un sistema cuántico.

Matemáticas [ editar ]

Los posibles estados de un sistema mecánico cuántico pueden tratarse matemáticamente como vectores abstractos en un espacio de Hilbert complejo y separable , mientras que los observables pueden estar representados por operadores hermitianos lineales que actúan sobre ellos. Al seleccionar una base adecuada , se pueden determinar los componentes de estos vectores y los elementos de la matriz de los operadores en esa base. Si A es una matriz N  ×  N , X es un vector que no es cero y λ es un escalar , de modo que$${\ displaystyle AX = \ lambda X}, entonces se dice que el λ escalar es un valor propio de A y se dice que el vector X es el vector propio correspondiente a λ . Junto con el vector cero, el conjunto de todos los vectores propios correspondientes a un valor propio λ dado forma un subespacio de C ⁿ , que se llama el espacio propio de λ . Un valor propio λ que corresponde a dos o más vectores propios diferentes linealmente independientes se dice que está degenerado , es decir,$${\ displaystyle AX_ {1} = \ lambda X_ {1}} y $${\ displaystyle AX_ {2} = \ lambda X_ {2}}, dónde $${\ displaystyle X_ {1}} y $${\ displaystyle X_ {2}}son vectores propios linealmente independientes. La dimensionalidad del espacio propio correspondiente a ese valor propio se conoce como su grado de degeneración , que puede ser finita o infinita. Se dice que un valor propio no es degenerado si su espacio propio es unidimensional. Los valores propios de las matrices que representan observables físicos en la mecánica cuántica.proporcione los valores medibles de estos observables, mientras que los estados propios correspondientes a estos valores propios brindan los estados posibles en los que se puede encontrar el sistema, luego de la medición. Los valores medibles de la energía de un sistema cuántico vienen dados por los valores propios del operador hamiltoniano, mientras que sus estados propios dan los estados de energía posibles del sistema. Se dice que un valor de energía está degenerado si existen al menos dos estados de energía linealmente independientes asociados con él. Además, cualquier combinación lineal de dos o más estados propios degenerados es también un estado propio del operador hamiltoniano correspondiente al mismo valor propio de energía.

Demostrarprueba del teorema anterior. [2] : p. 52

Efecto de la degeneración en la medición de la energía [ editar ]

En ausencia de degeneración, si se determina un valor medido de energía de un sistema cuántico, se supone que se conoce el estado correspondiente del sistema, ya que solo un estado propio corresponde a cada valor propio de energía. Sin embargo, si el hamiltoniano$${\ displaystyle {\ hat {H}}} tiene un valor propio degenerado $${\ displaystyle E_ {n}}de grado g _n , los estados propios asociados con él forman un subespacio vectorial de dimensión g _n . En tal caso, posiblemente se pueden asociar varios estados finales con el mismo resultado.$${\ displaystyle E_ {n}}, Todos los cuales son combinaciones lineales de las g _n ortonormales vectores propios$${\ displaystyle | E_ {n, i} \ rangle}.

En este caso, la probabilidad de que el valor de energía medido para un sistema en el estado $${\ displaystyle | \ psi \ rangle} dará el valor $${\ displaystyle E_ {n}} viene dada por la suma de las probabilidades de encontrar el sistema en cada uno de los estados en esta base, es decir

$${\ displaystyle P (E_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {g_ {n}} | \ langle E_ {n, i} | \ psi \ rangle | ^ {2}}

Degeneración en diferentes dimensiones [ editar ]

Esta sección pretende ilustrar la existencia de niveles de energía degenerados en sistemas cuánticos estudiados en diferentes dimensiones. El estudio de sistemas de una y dos dimensiones ayuda a la comprensión conceptual de sistemas más complejos.

Degeneración en una dimensión [ editar ]

En varios casos, los resultados analíticos se pueden obtener más fácilmente en el estudio de sistemas unidimensionales. Para una partícula cuántica con una función de onda.$${\ displaystyle | \ psi \ rangle} moviéndose en un potencial unidimensional $${\ displaystyle V (x)}, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede escribir como

$${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} + V \ psi = E \ psi}

Dado que esta es una ecuación diferencial ordinaria, hay dos funciones propias independientes para una energía dada $${\ displaystyle E}a lo sumo, para que el grado de degeneración nunca supere dos. Se puede demostrar que, en una dimensión, no hay estados límite degenerados para funciones de onda normalizables . Una condición suficiente en un potencial continuo por partes.$${\ displaystyle V} y la energía $${\ displaystyle E} Es la existencia de dos números reales. $${\ displaystyle M, x_ {0}} con $${\ displaystyle M \ neq 0}tal que {\ displaystyle \ forall x> x_ {0}} tenemos $${\ displaystyle V (x) -E \ geq M ^ {2}}. ^[3] En particular,$${\ displaystyle V} Se limita a continuación en este criterio.

Demostrarprueba del teorema anterior.

La degeneración en sistemas cuánticos bidimensionales [ editar ]

Los sistemas cuánticos bidimensionales existen en los tres estados de la materia y gran parte de la variedad observada en la materia tridimensional se puede crear en dos dimensiones. Los materiales bidimensionales reales están hechos de capas monoatómicas en la superficie de los sólidos. Algunos ejemplos de sistemas de electrones bidimensionales logrados experimentalmente incluyen MOSFET , superlattices bidimensionales de Helio , Neón , Argón , Xenón , etc. y superficie de Helio líquido . La presencia de niveles de energía degenerados se estudia en los casos de partículas en una caja y un oscilador armónico bidimensional , que actúan como modelos matemáticos útiles. para varios sistemas del mundo real.

Partícula en un plano rectangular [ editar ]

Considera una partícula libre en un plano de dimensiones. $${\ displaystyle L_ {x}} y $${\ displaystyle L_ {y}}En un plano de paredes impenetrables. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para este sistema con función de onda$${\ displaystyle | \ psi \ rangle} Se puede escribir como

$${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {{\ parcial x} ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {{\ parcial y} ^ {2}}} \ derecha) = E \ psi}

Los valores de energía permitidos son

$${\ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}} = {\ frac {\ pi ^ {2} \ hbar ^ {2}} {2m}} \ left ({\ frac {n_ {x} ^ { 2}} {L_ {x} ^ {2}}} + {\ frac {n_ {y} ^ {2}} {L_ {y} ^ {2}}} \ derecha)}

La función de onda normalizada es

$${\ displaystyle \ psi _ {n_ {x}, n_ {y}} (x, y) = {\ frac {2} {\ sqrt {L_ {x} L_ {y}}}} \ sin \ left ({ \ frac {n_ {x} \ pi x} {L_ {x}}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {n_ {y} \ pi y} {L_ {y}}} \ right)}

dónde $${\ displaystyle n_ {x}, n_ {y} = 1,2,3 ...}

Por lo tanto, los números cuánticos $${\ displaystyle n_ {x}} y $${\ displaystyle n_ {y}} son necesarios para describir los valores propios de energía y la energía más baja del sistema viene dada por

$${\ displaystyle E_ {1,1} = \ pi ^ {2} {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left ({\ frac {1} {L_ {x} ^ {2}} } + {\ frac {1} {L_ {y} ^ {2}}} \ right)}

Para algunas proporciones proporcionales de las dos longitudes $${\ displaystyle L_ {x}} y $${\ displaystyle L_ {y}}, ciertos pares de estados son degenerados. Si$${\ displaystyle L_ {x} / L_ {y} = p / q}, donde p y q son enteros, los estados $${\ displaystyle (n_ {x}, n_ {y})} y $${\ displaystyle (pn_ {y} / q, qn_ {x} / p)} tienen la misma energía y se degeneran entre sí.

Partícula en una caja cuadrada [ editar ]

En este caso, las dimensiones de la caja. $${\ displaystyle L_ {x} = L_ {y} = L} y los valores propios de energía están dados por

$${\ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}} = {\ frac {\ pi ^ {2} \ hbar ^ {2}} {2mL ^ {2}}} (n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2})}

Ya que $${\ displaystyle n_ {x}} y $${\ displaystyle n_ {y}} se pueden intercambiar sin cambiar la energía, cada nivel de energía es al menos el doble de degenerado cuando $${\ displaystyle n_ {x}} y $${\ displaystyle n_ {y}}son diferentes. Los estados degenerados también se obtienen cuando la suma de los cuadrados de los números cuánticos correspondientes a diferentes niveles de energía es la misma. Por ejemplo, los tres estados (n _x = 7, n _y = 1), (n _x = 1, n _y = 7) y (n _x = n _y = 5) tienen todos$${\ displaystyle E = 50 {\ frac {\ pi ^ {2} \ hbar ^ {2}} {2mL ^ {2}}}} y constituyen un conjunto degenerado.

$${\ displaystyle n_ {x}}	$${\ displaystyle n_ {y}}	$${\ displaystyle E \ left ({\ frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2ml ^ {2}}} \ right)}	Degeneración
1	1	2	1
2  1	1  2	5  5	2
2	2	8	1
3  1	1  3	10  10	2
3  2	2  3	13  13	2
4  1	1  4	17  17	2
3	3	18	1

Grados de degeneración de diferentes niveles de energía para una partícula en una caja cuadrada

Encontrar una base de datos única en caso de degeneración [ editar ]

Si dos operadores $${\ displaystyle {\ hat {A}}} y $${\ displaystyle {\ hat {B}}} conmutar, es decir $${\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] = 0}, entonces para cada eigenvector $${\ displaystyle | \ psi \ rangle} de $${\ displaystyle {\ hat {A}}}, $${\ displaystyle {\ hat {B}} | \ psi \ rangle}también es un vector propio de $${\ displaystyle {\ hat {A}}}con el mismo valor propio. Sin embargo, si este valor propio, diga$${\ displaystyle \ lambda}, es degenerado, se puede decir que $${\ displaystyle {\ hat {B}} | \ psi \ rangle} pertenece al eigenspace $${\ displaystyle E _ {\ lambda}} de $${\ displaystyle {\ hat {A}}}, que se dice que es invariante globalmente bajo la acción de $${\ displaystyle {\ hat {B}}}.

Para dos observables de desplazamiento A y B , uno puede construir una base ortonormal del espacio de estado con vectores propios comunes a los dos operadores. Sin embargo,$${\ displaystyle \ lambda} es un valor propio degenerado de $${\ displaystyle {\ hat {A}}}, entonces es un eigensubspace de $${\ displaystyle {\ hat {A}}} que es invariante bajo la acción de $${\ displaystyle {\ hat {B}}}, por lo que la representación de$${\ displaystyle {\ hat {B}}} en los eigenbasis de $${\ displaystyle {\ hat {A}}}no es una diagonal sino una matriz diagonal de bloques , es decir, los vectores propios degenerados de$${\ displaystyle {\ hat {A}}} no son, en general, vectores propios de $${\ displaystyle {\ hat {B}}}. Sin embargo, siempre es posible elegir, en cada eigensubspace degenerado de$${\ displaystyle {\ hat {A}}}, una base de vectores propios para $${\ displaystyle {\ hat {A}}} y $${\ displaystyle {\ hat {B}}}.

Elección de un conjunto completo de observables de conmutación [ editar ]

Si un A observable dado no es degenerado, existe una base única formada por sus vectores propios. Por otro lado, si uno o varios valores propios de$${\ displaystyle {\ hat {A}}}son degenerados, especificando un valor propio no es suficiente para caracterizar un vector base. Si, eligiendo un observable$${\ displaystyle {\ hat {B}}}, que conmuta con $${\ displaystyle {\ hat {A}}}, es posible construir una base ortonormal de vectores propios comunes a $${\ displaystyle {\ hat {A}}} y $${\ displaystyle {\ hat {B}}}, que es único, para cada uno de los posibles pares de valores propios {a, b}, entonces $${\ displaystyle {\ hat {A}}} y $${\ displaystyle {\ hat {B}}}se dice que forman un conjunto completo de observables de conmutación . Sin embargo, si un conjunto único de vectores propios aún no se puede especificar, para al menos uno de los pares de valores propios, un tercer observable$${\ displaystyle {\ hat {C}}}, que conmuta con ambos $${\ displaystyle {\ hat {A}}} y $${\ displaystyle {\ hat {B}}} se pueden encontrar de manera que los tres formen un conjunto completo de observables de conmutación.

De ello se deduce que las funciones propias del Hamiltoniano de un sistema cuántico con un valor de energía común se deben etiquetar proporcionando información adicional, que se puede hacer eligiendo un operador que conmute con el Hamiltoniano. Estas etiquetas adicionales requieren el nombramiento de una función propia de energía única y generalmente están relacionadas con las constantes de movimiento del sistema.

Los estados propios de energía degenerada y el operador de paridad [ editar ]

El operador de paridad se define por su acción en el $${\ displaystyle | r \ rangle} representación de cambiar r a -r, es decir

$${\ displaystyle \ langle r | P | \ psi \ rangle = \ psi (-r)}

Los valores propios de P pueden mostrarse limitados a $${\ displaystyle \ pm 1}, que son valores propios degenerados en un espacio de estado de dimensión infinita. Se dice que un vector propio de P con valor propio +1 es par, mientras que se dice que con valor propio −1 es impar.

Ahora, un operador par $${\ displaystyle {\ hat {A}}} es uno que satisface,

$${\ displaystyle {\ tilde {A}} = P {\ hat {A}} P}

$${\ displaystyle [P, {\ hat {A}}] = 0}

mientras que un operador extraño $${\ displaystyle {\ hat {B}}} es uno que satisface

$${\ displaystyle P {\ hat {B}} + {\ hat {B}} P = 0}

Desde la plaza del operador momentum. $${\ displaystyle {\ hat {P}} ^ {2}} es par, si el potencial V (r) es par, el hamiltoniano $${\ displaystyle {\ hat {H}}}se dice que es un operador par En ese caso, si cada uno de sus valores propios no es degenerado, cada vector propio es necesariamente un estado propio de P, y por lo tanto es posible buscar los estados propios de$${\ displaystyle {\ hat {H}}}entre estados pares e impares. Sin embargo, si uno de los estados propios de energía no tiene una paridad definida , se puede afirmar que el valor propio correspondiente está degenerado, y$${\ displaystyle P | \ psi \ rangle} es un vector propio de $${\ displaystyle {\ hat {H}}} con el mismo valor propio que $${\ displaystyle | \ psi \ rangle}.

La degeneración y la simetría [ editar ]

El origen físico de la degeneración en un sistema mecánico-cuántico es a menudo la presencia de cierta simetríaen el sistema. El estudio de la simetría de un sistema cuántico puede, en algunos casos, permitirnos encontrar los niveles de energía y las degeneraciones sin resolver la ecuación de Schrödinger, lo que reduce el esfuerzo.

Matemáticamente, la relación de la degeneración con la simetría se puede aclarar de la siguiente manera. Consideremos una operación de simetría asociada con un operador unitario S . Bajo tal operación, el nuevo Hamiltoniano se relaciona con el Hamiltoniano original por una transformación de similitud generada por el operador S , de manera que$${\ displaystyle H '= SHS ^ {- 1} = SHS ^ {\ dagger}}, ya que S es unitario. Si el Hamiltoniano permanece sin cambios bajo la operación de transformación S , tenemos

$${\ displaystyle SHS ^ {\ dagger} = H}

$${\ displaystyle SHS ^ {- 1} = H}

$${\ displaystyle HS = SH}

$${\ displaystyle [S, H] = 0}

Ahora si $${\ displaystyle | \ alpha \ rangle} es un estado propio de energía,

$${\ displaystyle H | \ alpha \ rangle = E | \ alpha \ rangle}

donde E es el valor propio de energía correspondiente.

$${\ displaystyle HS | \ alpha \ rangle = SH | \ alpha \ rangle = SE | \ alpha \ rangle = ES | \ alpha \ rangle}

Lo que significa que $${\ displaystyle S | \ alpha \ rangle}es también un estado propio de energía con el mismo valor propio E . Si los dos estados$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle} y $${\ displaystyle S | \ alpha \ rangle} son linealmente independientes (es decir, físicamente distintos), por lo tanto son degenerados.

En los casos en que S se caracteriza por un parámetro continuo . $${\ displaystyle \ epsilon}, todos los estados de la forma $${\ displaystyle S (\ epsilon) | \ alpha \ rangle} tienen el mismo valor propio de energía.

Grupo de simetría del hamiltoniano [ editar ]

Se dice que el conjunto de todos los operadores que conmutan con el hamiltoniano de un sistema cuántico forman el grupo de simetría del hamiltoniano. Los conmutadores de los generadores de este grupo determinan el álgebra del grupo. Una representación n-dimensional del grupo de Simetría conserva la tabla de multiplicar de los operadores de simetría. Las posibles degeneraciones del Hamiltoniano con un grupo de simetría particular están dadas por las dimensionalidades de las representaciones irreductibles del grupo. Las funciones propias correspondientes a un valor propio degenerado en n forman una base para una representación irreductible en n dimensiones del grupo de simetría del hamiltoniano.

Tipos de degeneración [ editar ]

Las degeneraciones en un sistema cuántico pueden ser de naturaleza sistemática o accidental.

Degeneración sistemática o esencial [ editar ]

Esto también se denomina degeneración geométrica o normal y surge debido a la presencia de algún tipo de simetría en el sistema que se está considerando, es decir, la invariancia del Hamiltoniano en una determinada operación, como se describió anteriormente. La representación obtenida de una degeneración normal es irreducible y las funciones propias correspondientes forman una base para esta representación.

Degeneración accidental [ editar ]

Es un tipo de degeneración que resulta de algunas características especiales del sistema o la forma funcional del potencial en consideración, y se relaciona posiblemente con una simetría dinámica oculta en el sistema. También resulta en cantidades conservadas, que a menudo no son fáciles de identificar. Las simetrías accidentales conducen a estas degeneraciones adicionales en el espectro de energía discreta. Una degeneración accidental puede deberse al hecho de que el grupo del Hamiltoniano no está completo. Estas degeneraciones están conectadas a la existencia de órbitas ligadas en la Física clásica.

Ejemplos de sistemas con degeneraciones accidentales [ editar ]

Los potenciales de Coulomb y del oscilador armónico [ editar ]

Para una partícula en un potencial central de 1 / r, el vector de Laplace-Runge-Lenz es una cantidad conservada que resulta de una degeneración accidental, además de la conservación del momento angular debido a la invarianza rotacional.

Para una partícula que se mueve en un cono bajo la influencia de potenciales 1 / r y r ² , centrados en la punta del cono, las cantidades conservadas correspondientes a la simetría accidental serán dos componentes de un equivalente del vector Runge-Lenz, además a un componente del vector de momento angular. Estas cantidades generan simetría SU (2) para ambos potenciales.

Partícula en un campo magnético constante [ editar ]

Una partícula que se mueve bajo la influencia de un campo magnético constante, que experimenta un movimiento ciclotrón en una órbita circular es otro ejemplo importante de una simetría accidental. Los multiplets de simetría en este caso son los niveles de Landau que son infinitamente degenerados.

Ejemplos [ editar ]

El átomo de hidrógeno [ editar ]

Artículo principal: átomo de hidrógeno

En la física atómica , los estados unidos de un electrón en un átomo de hidrógeno nos muestran ejemplos útiles de degeneración. En este caso, el Hamiltoniano conmuta con el momento angular orbital total $${\ displaystyle {\ hat {L ^ {2}}}}, su componente a lo largo de la dirección z, $${\ displaystyle {\ hat {L_ {z}}}}, momento angular de espín total $${\ displaystyle {\ hat {S ^ {2}}}} y su componente z $${\ displaystyle {\ hat {S_ {z}}}}. Los números cuánticos correspondientes a estos operadores son$${\ displaystyle l}, $${\ displaystyle m_ {l}}, $${\ displaystyle s} (siempre 1/2 por un electrón) y $${\ displaystyle m_ {s}}respectivamente.

Los niveles de energía en el átomo de hidrógeno dependen solo del número cuántico principal n . Para una ndada , todos los estados correspondientes a$${\ displaystyle l = 0} → $${\ displaystyle n-1}Tienen la misma energía y son degenerados. De manera similar para valores dados de n y l , la$${\ displaystyle (2l + 1)}, estados con $${\ displaystyle m_ {l} = - l} → $${\ displaystyle l}son degenerados El grado de degeneración del nivel de energía E _n es por lo tanto:$${\ displaystyle \ sum _ {l \ mathop {=} 0} ^ {n-1} (2l + 1) = n ^ {2}}, que se duplica si se incluye la degeneración del espín. ^{[1] : p. 267f}

La degeneración con respecto a $${\ displaystyle m_ {l}}es una degeneración esencial que está presente para cualquier potencial central , y surge de la ausencia de una dirección espacial preferida. La degeneración con respecto a$${\ displaystyle l}a menudo se describe como una degeneración accidental, pero puede explicarse en términos de simetrías especiales de la ecuación de Schrödinger que solo son válidas para el átomo de hidrógeno en el que la energía de potencial viene dada por la ley de Coulomb . ^{[1] : p. 267f}

Oscilador armónico tridimensional isotrópico [ editar ]

Es una partícula de masa sin espín m que se mueve en el espacio tridimensional , sujeta a una fuerza centralcuyo valor absoluto es proporcional a la distancia de la partícula desde el centro de la fuerza.

$${\ displaystyle F = -kr}

Se dice que es isotrópico ya que el potencial $${\ displaystyle V (r)} Actuar sobre él es invariante rotacionalmente, es decir:$${\ displaystyle V (r) = 1/2 (m \ omega ^ {2} r ^ {2})}

dónde $${\ displaystyle \ omega}es la frecuencia angular dada por$${\ displaystyle {\ sqrt {k / m}}}.

Dado que el espacio de estado de una partícula de este tipo es el producto tensorial de los espacios de estado asociados con las funciones de onda unidimensionales individuales, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para dicho sistema viene dada por:

$${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac { \ partial ^ {2} \ psi} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial z ^ {2}}} \ right) + (1 / 2) {m \ omega ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) \ psi} = E \ psi}

Así, los valores propios de energía son $${\ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = (n_ {x} + n_ {y} + n_ {z} +3/2) \ hbar \ omega}

o, $${\ displaystyle E_ {n} = (n + 3/2) \ hbar \ omega}

donde n es un entero no negativo. Por lo tanto, los niveles de energía son degenerados y el grado de degeneración es igual al número de conjuntos diferentes$${\ displaystyle {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}} satisfactorio

$${\ displaystyle n_ {x} + n_ {y} + n_ {z} = n}

que es igual a

$${\ displaystyle \ sum _ {n_ {x} = 0} ^ {n} (n-n_ {x} +1) = (n + 1) (n + 2) / 2}

Sólo el estado fundamental no es degenerado.

Eliminando la degeneración [ editar ]

La degeneración en un sistema mecánico cuántico puede eliminarse si la simetría subyacente se rompe por una perturbación externa . Esto provoca la división en los niveles de energía degenerada. Esto es esencialmente una división de las representaciones irreductibles originales en representaciones de dimensión inferior del sistema perturbado.

Matemáticamente, la división debida a la aplicación de un pequeño potencial de perturbación puede calcularse utilizando la teoría de la perturbación degenerada independiente del tiempo . Este es un esquema de aproximación que puede aplicarse para encontrar la solución a la ecuación del valor propio para el Hamiltoniano H de un sistema cuántico con una perturbación aplicada, dada la solución para el Hamiltoniano H ₀para el sistema imperturbado. Implica expandir los valores propios y los elementos propios del Hamiltoniano H en una serie de perturbaciones. Los estados propios degenerados con un valor propio de energía dado forman un subespacio vectorial, pero no todas las bases de estados propios de este espacio son un buen punto de partida para la teoría de la perturbación, porque normalmente no habría estados propios del sistema perturbado cerca de ellos. La base correcta para elegir es una que diagonalice la perturbación hamiltoniana dentro del subespacio degenerado.

MostrarLevantamiento de la degeneración por la teoría de perturbación degenerada de primer orden.

Ejemplos físicos de la eliminación de la degeneración por una perturbación [ editar ]

A continuación se presentan algunos ejemplos importantes de situaciones físicas en las que los niveles de energía degenerada de un sistema cuántico se dividen por la aplicación de una perturbación externa.

Simetría de ruptura en sistemas de dos niveles [ editar ]

Un sistema de dos niveles se refiere esencialmente a un sistema físico que tiene dos estados cuyas energías están muy juntas y son muy diferentes de las de los otros estados del sistema. Todos los cálculos para dicho sistema se realizan en un subespacio bidimensional del espacio de estado.

Si el estado fundamental de un sistema físico tiene una doble degeneración, cualquier acoplamiento entre los dos estados correspondientes reduce la energía del estado fundamental del sistema y lo hace más estable.

Si $${\ displaystyle E_ {1}} y $${\ displaystyle E_ {2}} son los niveles de energía del sistema, tales que $${\ displaystyle E_ {1} = E_ {2} = E}, y la perturbacion $${\ displaystyle W} se representa en el subespacio bidimensional como la siguiente matriz 2 × 2

{\ displaystyle \ mathbf {W} = {\ begin {bmatrix} 0 & W_ {12} \\ W_ {12} ^ {*} & 0 \ end {bmatrix}}.}

entonces las energías perturbadas son

$${\ displaystyle E _ {+} = E + | W_ {12} |}

$${\ displaystyle E _ {-} = E- | W_ {12} |}

Los ejemplos de sistemas de dos estados en los que la degeneración en los estados de energía se rompe por la presencia de términos fuera de la diagonal en el hamiltoniano como resultado de una interacción interna debido a una propiedad inherente del sistema incluyen:

• Benceno , con dos posibles disposiciones de los tres dobles enlaces entre los átomos de carbono vecinos .
• Molécula de amoniaco , donde el átomo de nitrógeno puede estar por encima o por debajo del plano definido por los tres átomos de hidrógeno .
• 
  Molécula H +2 , en la cual el electrón puede localizarse alrededor de cualquiera de los dos núcleos.

De estructura fina división [ editar ]

Las correcciones a la interacción de Coulomb entre el electrón y el protón en un átomo de hidrógeno debido al movimiento relativista y al acoplamiento de órbita de espín dan como resultado la ruptura de la degeneración en los niveles de energía para diferentes valores de l correspondientes a un solo número cuántico principal n.

La perturbación hamiltoniana debida a la corrección relativista está dada por

$${\ displaystyle H_ {r} = - p ^ {4} / 8m ^ {3} c ^ {2}}

dónde $${\ displaystyle p} es el operador de impulso y $${\ displaystyle m}Es la masa del electrón. La corrección de energía relativista de primer orden en el$${\ displaystyle | nlm \ rangle} la base está dada por

$${\ displaystyle E_ {r} = (- 1 / 8m ^ {3} c ^ {2}) \ langle nlm | p ^ {4} | nlm \ rangle}

Ahora $${\ displaystyle p ^ {4} = 4m ^ {2} (H ^ {0} + e ^ {2} / r) ^ {2}}

$${\ displaystyle E_ {r} = (- 1 / 2mc ^ {2}) [E_ {n} ^ {2} + 2E_ {n} e ^ {2} \ langle 1 / r \ rangle + e ^ {4} \ langle 1 / r ^ {2} \ rangle]}

$${\ displaystyle = (- 1/2) mc ^ {2} \ alpha ^ {4} [- 3 / (4n ^ {4}) + 1 / {n ^ {3} (l + 1/2)}] }

dónde $${\ displaystyle \ alpha}Es la estructura fina constante .

La interacción órbita de espín se refiere a la interacción entre el momento magnético intrínseco del electrón con el campo magnético que experimenta debido al movimiento relativo con el protón. La interacción hamiltoniana es

$${\ displaystyle H_ {so} = - (e / mc) {{\ vec {m}} \ cdot {\ vec {L}} / r ^ {3}} = [(e ^ {2} / (m ^ {2} c ^ {2} r ^ {3})) {\ vec {S}} \ cdot {\ vec {L}}]}

que puede ser escrito como

$${\ displaystyle H_ {so} = (e ^ {2} / (4m ^ {2} c ^ {2} r ^ {3})) [{\ vec {J}} ^ {2} - {\ vec { L}} ^ {2} - {\ vec {S}} ^ {2}]}

La corrección de energía de primer orden en el $${\ displaystyle | j, m, l, 1/2 \ rangle} base donde la perturbación hamiltoniana es diagonal, está dada por

$${\ displaystyle E_ {so} = (\ hbar ^ {2} e ^ {2}) / (4m ^ {2} c ^ {2}) [j (j + 1) -l (l + 1) -3 / 4] / ((a_ {0}) ^ {3} n ^ {3} (l (l + 1/2) (l + 1))]}

dónde $${\ displaystyle a_ {0}}es el radio de Bohr . El cambio de energía de estructura fina total está dado por

$${\ displaystyle E_ {fs} = - (mc ^ {2} \ alpha ^ {4} / (2n ^ {3})) [1 / (j + 1/2) -3 / 4n]}

para $${\ displaystyle j = l \ pm 1/2}

Efecto Zeeman [ editar ]

La división de los niveles de energía de un átomo cuando se coloca en un campo magnético externo debido a la interacción del momento magnético $${\ displaystyle {\ vec {m}}}El átomo con el campo aplicado se conoce como el efecto Zeeman .

Teniendo en cuenta los momentos orbitales y de ángulo angular, $${\ displaystyle {\ vec {L}}} y $${\ displaystyle {\ vec {S}}}, respectivamente, de un solo electrón en el átomo de hidrógeno, el Hamiltoniano de perturbación se da por-

$${\ displaystyle {\ hat {V}} = - ({\ vec {m_ {l}}} + {\ vec {m_ {s}}}) \ cdot {\ vec {B}}}

dónde $${\ displaystyle m_ {l} = - e {\ vec {L}} / 2m} y $${\ displaystyle m_ {s} = - e {\ vec {S}} / m}. Así,

$${\ displaystyle {\ hat {V}} = e ({\ vec {L}} + 2 {\ vec {S}}) \ cdot {\ vec {B}} / 2m}

Ahora, en el caso del efecto Zeeman de campo débil, cuando el campo aplicado es débil en comparación con el campo interno, el acoplamiento de órbita de giro domina y$${\ displaystyle {\ vec {L}}} y $${\ displaystyle {\ vec {S}}}no se conservan por separado. Los buenos números cuánticos son n, l, j y m _j , y sobre esta base, se puede demostrar que la corrección de energía de primer orden viene dada por

$${\ displaystyle E_ {z} = - \ mu _ {B} g_ {j} Bm_ {j}}, dónde

$${\ displaystyle \ mu _ {B} = {e \ hbar} / 2m}se llama Bohr Magneton. Así , dependiendo del valor de$${\ displaystyle m_ {j}}Cada nivel de energía degenerado se divide en varios niveles.

Levantamiento de la degeneración por un campo magnético externo.

En el caso del efecto Zeeman de campo fuerte, cuando el campo aplicado es lo suficientemente fuerte, de modo que el momento orbital y el momento angular se desacoplan, los números cuánticos buenos son ahora n, l, my _l y m _s . Aquí, L _z y S _z se conservan, por lo que el Hamiltoniano de perturbación es dado por:

$${\ displaystyle {\ hat {V}} = eB (L_ {z} + 2S_ {z}) / 2m}

suponiendo que el campo magnético esté a lo largo de la dirección z. Asi que,

$${\ displaystyle {\ hat {V}} = eB (m_ {l} + 2m_ {s}) / 2m}

Para cada valor de m _l , hay dos valores posibles de m _s ,$${\ displaystyle \ pm 1/2}.

Efecto Stark [ editar ]

La división de los niveles de energía de un átomo o molécula cuando se somete a un campo eléctrico externo se conoce como el efecto Stark .

Para el átomo de hidrógeno, la perturbación hamiltoniana es

$${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {s} = - | e | Ez}

Si el campo eléctrico es elegido a lo largo de la dirección z.

Las correcciones de energía debidas al campo aplicado están dadas por el valor esperado de $${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {s}} en el $${\ displaystyle | nlm \ rangle}base. Puede mostrarse mediante las reglas de selección que$${\ displaystyle \ langle nlm_ {l} | z | n_ {1} l_ {1} m_ {l1} \ rangle \ neq 0} cuando $${\ displaystyle l = l_ {1} \ pm 1} y $${\ displaystyle m_ {l} = m_ {l1}}.

La degeneración se levanta solo para ciertos estados que obedecen las reglas de selección, en el primer orden. La división de primer orden en los niveles de energía para los estados degenerados.$${\ displaystyle | 2,0,0 \ rangle} y $${\ displaystyle | 2,1,0 \ rangle}, ambos correspondientes a n = 2, viene dado por $${\ displaystyle \ Delta E_ {2,1, m_ {l}} = \ pm | e | (\ hbar ^ {2}) / (m_ {e} e ^ {2}) E}.