MECÁNICA CUÁNTICA

potenciales pseudo-diabáticos , pero generalmente el término no se usa a menos que sea necesario para resaltar esta sutileza. Por lo tanto, los potenciales pseudo-diabáticos son sinónimos de potenciales diabáticos.

Aplicabilidad [ editar ]

La motivación para calcular los potenciales diabáticos a menudo ocurre cuando la aproximación de Born-Oppenheimer no se cumple, o no se justifica para el sistema molecular en estudio. Para estos sistemas, es necesario ir más allá de la aproximación Born-Oppenheimer. Esta es a menudo la terminología utilizada para referirse al estudio de los sistemas no adiabáticos .

Un enfoque bien conocido implica volver a fundir la ecuación de Schrödinger molecular en un conjunto de ecuaciones de valores propios acoplados. Esto se logra mediante la expansión de la función de onda exacta en términos de productos de funciones de onda electrónica y nuclear (estados adiabáticos) seguidos de la integración sobre las coordenadas electrónicas. Las ecuaciones de operador acopladas obtenidas de este modo dependen solo de las coordenadas nucleares. Los elementos fuera de la diagonal en estas ecuaciones son términos de energía cinética nuclear. Una transformación diabática de los estados adiabáticos reemplaza estos términos de energía cinética fuera de la diagonal por términos de energía potencial. A veces, esto se denomina "transformación adiabática a diabática", ADT abreviada .

Transformación diabático de dos superficies electrónicos [ editar ]

Para introducir la transformación diabática, asumimos ahora, por el bien del argumento, que solo dos Superficies de Energía Potencial (PES), 1 y 2, se acercan entre sí y que todas las demás superficies están bien separadas; El argumento puede generalizarse a más superficies. Deje que la colección de coordenadas electrónicas sea indicada por$${\ displaystyle \ mathbf {r}}, mientras $${\ displaystyle \ mathbf {R}}Indica dependencia de coordenadas nucleares. Por lo tanto, asumimos$${\ displaystyle E_ {1} (\ mathbf {R}) \ approx E_ {2} (\ mathbf {R})} con sus propios estados electrónicos ortonormales $${\ displaystyle \ chi _ {1} (\ mathbf {r}; \ mathbf {R}) \,} y $${\ displaystyle \ chi _ {2} (\ mathbf {r}; \ mathbf {R}) \,}. En ausencia de interacciones magnéticas, estos estados electrónicos, que dependen paramétricamente de las coordenadas nucleares, pueden tomarse como funciones de valor real.

La energía cinética nuclear es una suma sobre los núcleos A con masa M _A ,

$${\ displaystyle T _ {\ mathrm {n}} = \ sum _ {A} \ sum _ {\ alpha = x, y, z} {\ frac {P_ {A \ alpha} P_ {A \ alpha}} {2M_ {A}}} \ quad \ mathrm {con} \ quad P_ {A \ alpha} = - i \ nabla _ {A \ alpha} \ equiv -i {\ frac {\ partial \ quad} {\ parcial R_ {A \ alpha}}}.}

( Las unidades atómicas se utilizan aquí). Al aplicar la regla de Leibniz para la diferenciación, los elementos de la matriz de $${\ displaystyle T _ {\ textrm {n}}} son (donde suprimimos las coordenadas por razones de claridad):

$${\ displaystyle \ mathrm {T_ {n}} (\ mathbf {R}) _ {k'k} \ equiv \ langle \ chi _ {k '} | T_ {n} | \ chi _ {k} \ rangle _ {(\ mathbf {r})} = \ delta _ {k'k} T _ {\ textrm {n}} + \ sum _ {A, \ alpha} {\ frac {1} {M_ {A}}} \ langle \ chi _ {k '} | {\ big (} P_ {A \ alpha} \ chi _ {k} {\ big)} \ rangle _ {(\ mathbf {r})} P_ {A \ alpha} + \ langle \ chi _ {k '} | {\ big (} T _ {\ mathrm {n}} \ chi _ {k} {\ big)} \ rangle _ {(\ mathbf {r})}.}

El subíndice $${\ displaystyle {(\ mathbf {r})}}indica que la integración dentro del soporte es solo sobre coordenadas electrónicas. Supongamos además que todos los elementos de la matriz fuera de la diagonal $${\ displaystyle \ mathrm {T_ {n}} (\ mathbf {R}) _ {kp} = \ mathrm {T_ {n}} (\ mathbf {R}) _ {pk}}puede ser descuidado excepto para k = 1 y p = 2 . Al hacer la expansión.

$${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, \ mathbf {R}) = \ chi _ {1} (\ mathbf {r}; \ mathbf {R}) \ Phi _ {1} (\ mathbf {R} ) + \ chi _ {2} (\ mathbf {r}; \ mathbf {R}) \ Phi _ {2} (\ mathbf {R}),}

Las ecuaciones de Schrödinger acopladas para la parte nuclear toman la forma (consulte el artículo aproximación Born-Oppenheimer )

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E_ {1} (\ mathbf {R}) + \ mathrm {T_ {n}} (\ mathbf {R}) _ {11} & \ mathrm {T_ {n}} ( \ mathbf {R}) _ {12} \\\ mathrm {T_ {n}} (\ mathbf {R}) _ {21} & E_ {2} (\ mathbf {R}) + \ mathrm {T_ {n} } (\ mathbf {R}) _ {22} \\\ end {pmatrix}} {\ boldsymbol {\ Phi}} (\ mathbf {R}) = E \, {\ boldsymbol {\ Phi}} (\ mathbf {R}) \ quad \ mathrm {with} \ quad {\ boldsymbol {\ Phi}} (\ mathbf {R}) \ equiv {\ begin {pmatrix} \ Phi _ {1} (\ mathbf {R}) \ \\ Phi _ {2} (\ mathbf {R}) \\\ end {pmatrix}}.}
  

Para eliminar los términos problemáticos de la energía cinética fuera de la diagonal, definimos dos nuevos estados ortonormales por una transformación diabática de los estados adiabáticos. $${\ displaystyle \ chi _ {1} \,} y $${\ displaystyle \ chi _ {2} \,}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ varphi _ {1} (\ mathbf {r}; \ mathbf {R}) \\\ varphi _ {2} (\ mathbf {r}; \ mathbf {R}) \ \\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ gamma (\ mathbf {R}) & \ sin \ gamma (\ mathbf {R}) \\ - \ sin \ gamma (\ mathbf {R} ) & \ cos \ gamma (\ mathbf {R}) \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ chi _ {1} (\ mathbf {r}; \ mathbf {R}) \\\ chi _ {2} (\ mathbf {r}; \ mathbf {R}) \\\ end {pmatrix}}}

dónde $${\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {R})}Es el ángulo diabático . Transformación de la matriz del momento nuclear.$${\ displaystyle \ langle \ chi _ {k '} | {\ big (} P_ {A \ alpha} \ chi _ {k} {\ big)} \ rangle _ {(\ mathbf {r})}} para $${\ displaystyle k ', k = 1,2}da para los elementos de la matriz diagonal

$${\ displaystyle \ langle {\ varphi _ {k}} | {\ big (} P_ {A \ alpha} \ varphi _ {k} {\ big)} \ rangle _ {(\ mathbf {r})} = 0 \ quad {\ textrm {para}} \ quad k = 1, \, 2.}

Estos elementos son cero porque $${\ displaystyle \ varphi _ {k}} es real y $${\ displaystyle P_ {A \ alpha} \,}Es hermitiano y puro-imaginario. Los elementos fuera de la diagonal del operador de momento satisfacen,

$${\ displaystyle \ langle {\ varphi _ {2}} | {\ big (} P_ {A \ alpha} \ varphi _ {1} {\ big)} \ rangle _ {(\ mathbf {r})} = { \ big (} P_ {A \ alpha} \ gamma (\ mathbf {R}) {\ big)} + \ langle \ chi _ {2} | {\ big (} P_ {A \ alpha} \ chi _ {1 } {\ big)} \ rangle _ {(\ mathbf {r})}.}

Supongamos que un ángulo diabático $${\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {R})} Existe, tal que a una buena aproximación.

$${\ displaystyle {\ big (} P_ {A \ alpha} \ gamma (\ mathbf {R}) {\ big)} + \ langle \ chi _ {2} | {\ big (} P_ {A \ alpha} \ chi _ {1} {\ big)} \ rangle _ {(\ mathbf {r})} = 0}

es decir, $${\ displaystyle \ varphi _ {1}} y $${\ displaystyle \ varphi _ {2}}diagonalizar la matriz 2 x 2 del momento nuclear. Por la definición de Smith ^[1] $${\ displaystyle \ varphi _ {1}} y $${\ displaystyle \ varphi _ {2}}Son estados diabaticos . (Smith fue el primero en definir este concepto; anteriormente, el término diabático fue usado de manera un tanto vaga por Lichten ^[2] ).

Por un pequeño cambio de notación estas ecuaciones diferenciales para $${\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {R})} Se puede reescribir en la siguiente forma más familiar:

$${\ displaystyle F_ {A \ alpha} (\ mathbf {R}) = - \ nabla _ {A \ alpha} V (\ mathbf {R}) \ qquad \ mathrm {con} \; \; V (\ mathbf { R}) \ equiv \ gamma (\ mathbf {R}) \; \; \ mathrm {y} \; \; F_ {A \ alpha} (\ mathbf {R}) \ equiv \ langle \ chi _ {2} | {\ big (} iP_ {A \ alpha} \ chi _ {1} {\ big)} \ rangle _ {(\ mathbf {r})}.}

Es bien sabido que las ecuaciones diferenciales tienen una solución (es decir, la " V potencial" existe) si y solo si el campo vectorial ("fuerza") $${\ displaystyle F_ {A \ alpha} (\ mathbf {R})}es irrotacional ,

$${\ displaystyle \ nabla _ {A \ alpha} F_ {B \ beta} (\ mathbf {R}) - \ nabla _ {B \ beta} F_ {A \ alpha} (\ mathbf {R}) = 0.}

Se puede demostrar que estas condiciones rara vez se cumplen, por lo que rara vez existe una transformación estrictamente diabática. Es común utilizar funciones aproximadas.$${\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {R})}que conduce a la pseudo estados diabáticos .

Bajo el supuesto de que los operadores de impulso están representados exactamente por matrices 2 x 2, lo cual es consistente con el descuido de elementos fuera de la diagonal distintos del elemento (1,2) y el supuesto de diabaticidad "estricta", se puede demostrar que

$${\ displaystyle \ langle \ varphi _ {k '} | T_ {n} | \ varphi _ {k} \ rangle _ {(\ mathbf {r})} = \ delta _ {k'k} T_ {n}. }

Sobre la base de los estados diabáticos el problema nuclear de movimiento toma la siguiente Born-Oppenheimer generalizada formulario

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} T _ {\ mathrm {n}} + {\ frac {E_ {1} (\ mathbf {R}) + E_ {2} (\ mathbf {R})} {2}} & 0 \\ 0 & T _ {\ mathrm {n}} + {\ frac {E_ {1} (\ mathbf {R}) + E_ {2} (\ mathbf {R})} {2}} \ end {pmatrix}} {\ tilde {\ boldsymbol {\ Phi}}} (\ mathbf {R}) + {\ tfrac {E_ {2} (\ mathbf {R}) -E_ {1} (\ mathbf {R})} {2 }} {\ begin {pmatrix} \ cos 2 \ gamma & \ sin 2 \ gamma \\\ sin 2 \ gamma & - \ cos 2 \ gamma \ end {pmatrix}} {\ tilde {\ boldsymbol {\ Phi}} } (\ mathbf {R}) = E {\ tilde {\ boldsymbol {\ Phi}}} (\ mathbf {R}).}
  

Es importante tener en cuenta que los elementos fuera de la diagonal dependen únicamente del ángulo diabático y de las energías electrónicas. Las superficies $${\ displaystyle E_ {1} (\ mathbf {R})} y $${\ displaystyle E_ {2} (\ mathbf {R})} son PES adiabáticos obtenidos a partir de cálculos electrónicos de la estructura de los núcleos fijados y $${\ displaystyle T _ {\ mathrm {n}} \,}es el operador habitual de energía cinética nuclear definido anteriormente. Encontrando aproximaciones para$${\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {R})}es el problema restante antes de que se pueda intentar una solución de las ecuaciones de Schrödinger. Gran parte de la investigación actual en química cuántica está dedicada a esta determinación. Una vez $${\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {R})} se ha encontrado y las ecuaciones acopladas se han resuelto, la función de onda vibrónica final en la aproximación diabática es

$${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, \ mathbf {R}) = \ varphi _ {1} (\ mathbf {r}; \ mathbf {R}) {\ tilde {\ Phi}} _ {1} (\ mathbf {R}) + \ varphi _ {2} (\ mathbf {r}; \ mathbf {R}) {\ tilde {\ Phi}} _ {2} (\ mathbf {R}).}

Adiabática-a-diabatic transformación [ editar ]

Aquí, a diferencia de los tratamientos anteriores, se considera el caso no abeliano .

Felix Smith en su artículo ^[3] considera la transformación adiabática a diabática (ADT) para un sistema de múltiples estados pero una sola coordenada,$${\ displaystyle \ mathrm {R_ {A \ alpha}}}. En Diabatic, el ADT se define para un sistema de dos coordenadas$${\ displaystyle \ mathrm {R_ {A \ alpha}}} y $${\ displaystyle \ mathrm {R_ {B \ beta}}}, pero está restringido a dos estados. Tal sistema se define como abeliano y la matriz ADT se expresa en términos de un ángulo,$${\ displaystyle \ gamma}(Ver comentario más abajo), también conocido como el ángulo ADT. En el presente tratamiento, se supone que un sistema está formado por M (> 2) estados definidos para un espacio de configuración N- dimensional, donde N  = 2 o N  > 2. Dicho sistema se define como no abeliano. Para discutir el caso no abeliano, la ecuación para el ángulo ADT recién mencionado,$${\ displaystyle \ gamma} (ver Diabatic), se reemplaza por una ecuación para la matriz MxM, ADT, $${\ displaystyle \ mathbf {A}}: ^[4]

$${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {A + FA = 0}}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {F}}es el operador de matriz de fuerza, introducido en Diabatic, también conocido como matriz de transformación de acoplamiento no adiabático (NACT): ^[5]

$${\ displaystyle \ \ mathbf {F} _ {jk} = \ langle \ chi _ {j} \ mid \ nabla \ chi _ {k} \ rangle; \ qquad j, k = 1,2, \ ldots, M}

aquí $${\ displaystyle \ nabla}es el operador graduado N- dimensional (nuclear):

$${\ displaystyle \ nabla = \ left \ {{\ frac {\ partial \ quad} {\ partial q_ {1}}}, \ quad {\ frac {\ partial \ quad} {\ partial q_ {2}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial \ quad} {\ partial q_ {N}}} \ right \}}

y $${\ displaystyle | \ chi _ {k} (\ mathbf {r \ mid q}) \ rangle; \ k = 1, M}, son las funciones propias adiabáticas electrónicas que dependen explícitamente de las coordenadas electrónicas $${\ displaystyle \ mathbf {r}} y paramétricamente en las coordenadas nucleares. $${\ displaystyle \ mathbf {q}}.

Derivar la matriz. $${\ displaystyle \ mathbf {A}} uno tiene que resolver la ecuación diferencial de primer orden dada a lo largo de un contorno específico $${\ displaystyle \ Gamma}. Esta solución se aplica entonces para formar la matriz de potencial diabático.$${\ displaystyle \ mathbf {W}}:

$${\ displaystyle \ mathbf {W} = \ mathbf {A} ^ {*} \ mathbf {uA}}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {j}} ; j  = 1,  M son los potenciales adiabáticos de Born – Oppenheimer . Para poder$${\ displaystyle \ mathbf {W}} para ser de un solo valor en el espacio de configuración, $${\ displaystyle \ mathbf {A}} tiene que ser analítica y para que$${\ displaystyle \ mathbf {A}} Para ser analíticos (excluyendo los puntos patológicos), los componentes de la matriz vectorial, $${\ displaystyle \ mathbf {F}}, deben cumplir la siguiente ecuación: ^[6] [7]

$${\ displaystyle G _ {{q_ {i}} {q_ {j}}} = {\ frac {{\ partial} \ mathbf {F} _ {q_ {i}}} {\ partial q_ {j}}} - {\ frac {{\ parcial} \ mathbf {F} _ {q_ {j}}} {\ parcial q_ {i}}} - \ left [\ mathbf {F} _ {q_ {i}}, \ mathbf { F} _ {q_ {j}} \ right] = 0.}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {G}}Es un campo tensorial . Esta ecuación se conoce como la forma no abeliana de la ecuación de Curl . Una solución de la matriz ADT.$${\ displaystyle \ mathbf {A}} a lo largo del contorno $${\ displaystyle \ Gamma}se puede demostrar que tiene la forma: ^{[8] [9] [10]}

$${\ displaystyle \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {q} | \ Gamma \ right) = {\ hat {P}} \ exp}

$${\ displaystyle \ left (- \ int _ {\ mathbf {q_ {0}}} ^ {\ mathbf {q}} \ mathbf {F} \ left (\ mathbf {q '} \ mid \ Gamma \ right) \ cdot d \ mathbf {q '} \ right)}

(ver también Fase geométrica ). aquí$${\ displaystyle {\ hat {P}}} es un operador de pedido , el punto representa un producto escalar y$${\ displaystyle \ mathbf {q}} y $${\ displaystyle \ mathbf {q_ {0}}} son dos puntos en $${\ displaystyle \ Gamma}.

Un tipo diferente de soluciones se basa en ángulos cuasi-Euler según los cuales cualquiera $${\ displaystyle \ mathbf {A}}-matriz se puede expresar como un producto de matrices de Euler. ^[11] Por ejemplo, en el caso de un sistema de tres estados, esta matriz puede presentarse como un producto de tres de tales matrices,$${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {j} (\ gamma _ {ij})}( i  <  j  = 2, 3) donde, por ejemplo,$${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {13} (\ gamma _ {13})} Es de la forma:

{\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {13} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ gamma _ {13} & 0 & \ sin \ gamma _ {13} \\ 0 & 1 & 0 \\ - \ sin \ gamma _ {13} & 0 & \ cos \ gamma _ {13} \ end {pmatrix}}}

El producto $${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ mathbf {Q} _ {kl} \ mathbf {Q} _ {mn} \ mathbf {Q} _ {pq}}que se puede escribir en cualquier orden, se sustituye en la ec. (1) para obtener tres ecuaciones diferenciales de primer orden para las tres$${\ displaystyle {\ gamma} _ {ij}}-angles donde dos de estas ecuaciones están acopladas y la tercera se mantiene por sí sola. Así, asumiendo:$${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ mathbf {Q} _ {12} \ mathbf {Q} _ {23} \ mathbf {Q} _ {13}} las dos ecuaciones acopladas para $${\ displaystyle {\ gamma} _ {12}} y $${\ displaystyle {\ gamma} _ {23}} son:

$${\ displaystyle \ nabla \ gamma _ {12} = - F_ {12} - \ tan {\ gamma} _ {23} (- F_ {13} \ cos \ gamma _ {12} + F_ {23} \ sin \ gamma _ {12})}

$${\ displaystyle \ nabla \ gamma _ {23} = - (F_ {23} \ cos \ gamma _ {12} + F_ {13} \ sin \ gamma _ {12})}

mientras que la tercera ecuación (para $${\ displaystyle \ gamma _ {13}}) se convierte en una integral (línea) ordinaria

$${\ displaystyle \ nabla \ gamma _ {13} = (\ cos \ gamma _ {23}) ^ {- 1} (- F_ {13} \ cos \ gamma _ {12} + F_ {23} \ sin \ gamma _ {12})}

expresado únicamente en términos de $${\ displaystyle \ gamma _ {12}} y $${\ displaystyle \ gamma _ {23}}.

Del mismo modo, en el caso de un sistema de cuatro estados. $${\ displaystyle \ mathbf {A}}se presenta como un producto de seis matrices 4 x 4 de Euler (para los seis ángulos cuasi-Euler) y las seis ecuaciones diferenciales relevantes forman un conjunto de tres ecuaciones acopladas, mientras que las otras tres se convierten, como antes, en integrales de línea ordinarias. ^[12]

Un comentario sobre el caso de dos estados (abeliano) [ editar ]

Dado que el tratamiento del caso de dos estados como se presenta en Diabatic suscitó numerosas dudas, lo consideramos aquí como un caso especial del caso no abeliano que se acaba de discutir. Para ello asumimos la matriz 2 × 2 ADT.$${\ displaystyle \ mathrm {A}} ser de la forma:

{\ displaystyle \ mathrm {A} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ gamma & - \ sin \ gamma \\\ sin \ gamma & \ cos \ gamma \ end {pmatrix}}}

Sustituyendo esta matriz en la ecuación diferencial de primer orden dada anteriormente (para $${\ displaystyle \ mathrm {A}}) obtenemos, siguiendo algunos reordenamientos algebraicos, que el ángulo $${\ displaystyle \ gamma}cumple la correspondiente ecuación diferencial de primer orden, así como la línea de integral siguiente: ^{[4] [13] [14] [15] [16]}

$${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {\ gamma + F_ {12} = 0} \ cdot \ Longrightarrow \ cdot \ gamma \ left (\ mathbf {q} \ mid \ Gamma \ right) = - \ int _ {\ mathbf { q_ {0}}} ^ {\ mathbf {q}} \ mathbf {F} _ {12} \ left (\ mathbf {q '} \ mid \ Gamma \ right) \ cdot d \ mathbf {q'}}

dónde $${\ displaystyle \ mathrm {F} _ {12}}es el elemento matricial NACT relevante , el punto representa un producto escalar y$${\ displaystyle \ Gamma}es un contorno elegido en el espacio de configuración (generalmente uno plano) a lo largo del cual se realiza la integración. La integral de línea produce resultados significativos si y solo si la correspondiente Curl (derivada anteriormente) es cero para cada punto en la región de interés (ignorando los puntos patológicos).

La ecuación de Dirac , como la ecuación relativista que describe las partículas de espín 1/2 en mecánica cuántica , se puede escribir en términos del Álgebra del espacio físico (APS), que es un caso de un álgebra de Clifford o un álgebra geométrica que se basa en el Uso de paravectores .

La ecuación de Dirac en APS, incluida la interacción electromagnética, lee

$${\ displaystyle i {\ bar {\ partial}} \ Psi \ mathbf {e} _ {3} + e {\ bar {A}} \ Psi = m {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger}}

Otra forma de la ecuación de Dirac en términos del álgebra del espacio-tiempo fue dada anteriormente por David Hestenes .

En general, la ecuación de Dirac en el formalismo del álgebra geométrica tiene la ventaja de proporcionar una interpretación geométrica directa.

Relación con el formulario estándar [ editar ]

El spinor se puede escribir en una base nula como

$${\ displaystyle \ Psi = \ psi _ {11} P_ {3} - \ psi _ {12} P_ {3} \ mathbf {e} _ {1} + \ psi _ {21} \ mathbf {e} _ { 1} P_ {3} + \ psi _ {22} {\ bar {P}} _ {3},}

de tal manera que la representación del spinor en términos de las matrices de Pauli es

{\ displaystyle \ Psi \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {11} & \ psi _ {12} \\\ psi _ {21} & \ psi _ {22} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {22} ^ {*} & - \ psi _ {21} ^ {*} \\ - psi _ {12} ^ {*} & \ psi _ {11} ^ {*} \ end {pmatrix}}}

La forma estándar de la ecuación de Dirac se puede recuperar descomponiendo el spinor en sus componentes de spinor derecho e izquierdo, que se extraen con la ayuda del proyector.

$${\ displaystyle P_ {3} = {\ frac {1} {2}} (1+ \ mathbf {e} _ {3}),}

tal que

$${\ displaystyle \ Psi _ {L} = {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} P_ {3}}

$${\ displaystyle \ Psi _ {R} = \ Psi P_ {3} ^ {}}

Con la siguiente representación matricial.

{\ displaystyle \ Psi _ {L} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {22} ^ {*} & 0 \\ - \ psi _ {12} ^ {*} & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ Psi _ {R} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {11} & 0 \\\ psi _ {21} & 0 \ end {pmatrix}}}

La ecuación de Dirac se puede escribir también como

$${\ displaystyle i \ partial {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} \ mathbf {e} _ {3} + eA {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} = m \ Psi}

Sin interacción electromagnética, la siguiente ecuación se obtiene de las dos formas equivalentes de la ecuación de Dirac

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & i {\ bar {\ partial}} \\ i \ partial & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} P_ {3} \\\ Psi P_ {3} \ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} P_ {3} \\\ Psi P_ {3} \ end {pmatrix}}}

así que eso

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & i \ partial _ {0} + i \ nabla \\ i \ partial _ {0} -i \ nabla & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ Psi _ { L} \\\ Psi _ {R} \ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} \ Psi _ {L} \\\ Psi _ {R} \ end {pmatrix}}}

o en representación matricial

{\ displaystyle i \ left ({\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ partial _ {0} + {\ begin {pmatrix} 0 & \ sigma \\ - \ sigma & 0 \ end {pmatrix} } \ cdot \ nabla \ right) {\ begin {pmatrix} \ psi _ {L} \\\ psi _ {R} \ end {pmatrix}} = m {\ begin {pmatrix} \ psi _ {L} \\ \ psi _ {R} \ end {pmatrix}},}

donde la segunda columna de los espinores derecho e izquierdo se puede soltar definiendo los espirales quirales de una sola columna como

$${\ displaystyle \ psi _ {L} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {22} ^ {*} \\ - \ psi _ {12} ^ {*} \ end {pmatrix}}}

$${\ displaystyle \ psi _ {R} \ rightarrow {\ begin {pmatrix} \ psi _ {11} \\\ psi _ {21} \ end {pmatrix}}}

La forma covariante relativista estándar de la ecuación de Dirac en la representación de Weyl se puede identificar fácilmente $${\ displaystyle i \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} \ psi = m \ psi,} tal que

$${\ displaystyle \ psi _ {=} {\ begin {pmatrix} \ psi _ {22} ^ {*} \\ - \ psi _ {12} ^ {*} \\\ psi _ {11} \\\ psi _ {21} \ end {pmatrix}}}

Dados dos espines $${\ displaystyle \ Psi} y $${\ displaystyle \ Phi} en APS y sus respectivos espinores en la forma estándar como $${\ displaystyle \ psi} y $${\ displaystyle \ phi}, se puede verificar la siguiente identidad

$${\ displaystyle \ phi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \ psi = \ langle {\ bar {\ Phi}} \ Psi + ({\ bar {\ Psi}} \ Phi) ^ {\ dagger} \ sonar _ {S}},

tal que

$${\ displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \ psi = 2 \ langle {\ bar {\ Psi}} \ Psi \ rangle _ {SR}}

Medidor electromagnético [ editar ]

La ecuación de Dirac es invariante bajo una rotación de derecha global aplicada en el spinor del tipo

$${\ displaystyle \ Psi \ rightarrow \ Psi ^ {\ prime} = \ Psi R_ {0}}

para que el término cinético de la ecuación de Dirac se transforme como

$${\ displaystyle i {\ bar {\ partial}} \ Psi \ mathbf {e} _ {3} \ rightarrow i {\ bar {\ partial}} \ Psi R_ {0} \ mathbf {e} _ {3} R_ {0} ^ {\ dagger} R_ {0} = (i {\ bar {\ partial}} \ Psi \ mathbf {e} _ {3} ^ {\ prime}) R_ {0},}

donde identificamos la siguiente rotación

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} \ rightarrow \ mathbf {e} _ {3} ^ {\ prime} = R_ {0} \ mathbf {e} _ {3} R_ {0} ^ {\ dagger }}

El término de masas se transforma como

$${\ displaystyle m {\ overline {\ Psi ^ {\ dagger}}} \ rightarrow m {\ overline {(\ Psi R_ {0}) ^ {\ dagger}}} = m {\ overline {\ Psi ^ {\ daga}}} R_ {0},}

de modo que podamos verificar la invariancia de la forma de la ecuación de Dirac. Un requisito más exigente es que la ecuación de Dirac debe ser invariante en una transformación local del tipo$${\ displaystyle R = \ exp (-ie \ chi \ mathbf {e} _ {3})}

En este caso, el término cinético se transforma como

$${\ displaystyle i {\ bar {\ partial}} \ Psi \ mathbf {e} _ {3} \ rightarrow (i {\ bar {\ partial}} \ Psi) R \ mathbf {e} _ {3} + ( e {\ bar {\ parcial}} \ chi) \ Psi R},

de modo que el lado izquierdo de la ecuación de Dirac se transforma de forma covariante como

$${\ displaystyle i {\ bar {\ partial}} \ Psi \ mathbf {e} _ {3} -e {\ bar {A}} \ Psi \ rightarrow (i {\ bar {\ partial}} \ Psi R \ mathbf {e} _ {3} R ^ {\ dagger} -e {\ overline {(A + \ partial \ chi)}} \ Psi) R,}

Donde identificamos la necesidad de realizar una transformación electromagnética. El término de masa se transforma como en el caso de la rotación global, por lo que la forma de la ecuación de Dirac permanece invariante.

Actual [ editar ]

La corriente se define como

$${\ displaystyle J = \ Psi \ Psi ^ {\ dagger},}

que satisface la ecuación de continuidad

$${\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {\ partial}} J \ right \ rangle _ {S} = 0}

Ecuación de Dirac de segundo orden [ editar ]

Una aplicación de la ecuación de Dirac en sí misma conduce a la ecuación de Dirac de segundo orden

$${\ displaystyle (- \ partial {\ bar {\ partial}} + A {\ bar {A}}) \ Psi -i (2e \ left \ langle A {\ bar {\ partial}} \ right \ rangle _ { S} + eF) \ Psi \ mathbf {e} _ {3} = m ^ {2} \ Psi}

Soluciones de partículas gratis [ editar ]

Soluciones de energía positiva [ editar ]

Una solución para la partícula libre con impulso. $${\ displaystyle p = p ^ {0} + \ mathbf {p}} y energía positiva {\ displaystyle p ^ {0}> 0} es

$${\ displaystyle \ Psi = {\ sqrt {\ frac {p} {m}}} R (0) \ exp (-i \ left \ langle p {\ bar {x}} \ right \ rangle _ {S} \ mathbf {e} _ {3}).}

Esta solución es unimodular.

$${\ displaystyle \ Psi {\ bar {\ Psi}} = 1}

y la corriente se asemeja a la velocidad propia clásica

$${\ displaystyle u = {\ frac {p} {m}}}

$${\ displaystyle J = \ Psi {\ Psi} ^ {\ dagger} = {\ frac {p} {m}}}

Soluciones de energía negativa [ editar ]

Una solución para la partícula libre con energía negativa y momentum. $${\ displaystyle p = - | p ^ {0} | - \ mathbf {p} = -p ^ {\ prime}} es

$${\ displaystyle \ Psi = i {\ sqrt {\ frac {p ^ {\ prime}} {m}}} R (0) \ exp (i \ left \ langle p ^ {\ prime} {\ bar {x} } \ right \ rangle _ {S} \ mathbf {e} _ {3}),}

Esta solución es anti-unimodular.

$${\ displaystyle \ Psi {\ bar {\ Psi}} = - 1}

y la corriente se asemeja a la velocidad propia clásica $${\ displaystyle u = {\ frac {p} {m}}}

$${\ displaystyle J = \ Psi {\ Psi} ^ {\ dagger} = - {\ frac {p} {m}},}

Pero con una característica notable: "el tiempo corre hacia atrás".

{\ displaystyle {\ frac {dt} {d \ tau}} = \ left \ langle {\ frac {p} {m}} \ right \ rangle _ {S} <0 font="">

Dirac Lagrangian [ editar ]

El Dirac Lagrangian es

$${\ displaystyle L = \ langle i \ partial {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} \ mathbf {e} _ {3} {\ bar {\ Psi}} - eA {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger} {\ bar {\ Psi}} - m \ Psi {\ bar {\ Psi}} \ rangle _ {S}}