MECÁNICA CUÁNTICA

operador de Dirac es un operador diferencial que es una raíz cuadrada formal, o media iteración , de un operador de segundo orden, como un laplaciano . El caso original que concierne a Paul Dirac fue factorizar formalmente un operador para el espacio de Minkowski , para obtener una forma de teoría cuántica compatible con la relatividad especial ; para obtener el Laplaciano relevante como producto de operadores de primer orden, introdujo los espinores .

Definición formal [ editar ]

En general, dejar que D sea un operador diferencial de primer orden que actúa sobre un paquete del vector V a través de una variedad de Riemann M . Si

$${\ displaystyle D ^ {2} = \ Delta, \,}

donde ∆ es el laplaciano de V , entonces D se llama operador de Dirac .

En física de alta energía , este requisito a menudo es relajado: solo la parte de segundo orden de D ² debe ser igual a la de Laplaciano.

Ejemplos [ editar ]

Ejemplo 1: D = - i ∂ _x es un operador de Dirac en el haz tangente sobre una línea.

Ejemplo 2: Consideremos ahora un paquete sencillo de importancia en la física: el espacio de configuración de una partícula con espín 1/2 confinado a un plano, que es también el colector de base. Se representa mediante una función de onda ψ : R ² → C ²

$${\ displaystyle \ psi (x, y) = {\ begin {bmatrix} \ chi (x, y) \\\ eta (x, y) \ end {bmatrix}}}

donde x e y son las funciones de coordenadas habituales en R ² . χ especifica la amplitud de probabilidad para que la partícula esté en el estado de giro y de manera similar para η . El llamado operador Spin-Dirac se puede escribir

$${\ displaystyle D = -i \ sigma _ {x} \ parcial _ {x} -i \ sigma _ {y} \ parcial _ {y},}

donde σ _i son las matrices de Pauli . Tenga en cuenta que las relaciones anticonmutación de las matrices de Pauli hacen que la prueba de la propiedad que define anteriormente sea trivial. Esas relaciones definen la noción de un álgebra de Clifford .

Las soluciones a la ecuación de Dirac para los campos de espinor a menudo se llaman espinores armónicos . ^[1]

Ejemplo 3: Operador de Dirac de Feynman ^{[ ¿cuál? ]} describe la propagación de un fermión libre en tres dimensiones y está escrito con elegancia

$${\ displaystyle D = \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ \ equiv \ partial \! \! \! /,}

utilizando la notación de barra de Feynman .

Ejemplo 4: Otro operador de Dirac ^{[ ¿cuál? ]} surge en el análisis de Clifford . En el espacio n euclidiano esto es

$${\ displaystyle D = \ sum _ {j = 1} ^ {n} e_ {j} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}}}

donde { e _j : j = 1, ..., n } es una base ortonormal para el espacio n euclidiano, y R ⁿ se considera incrustado en un álgebra de Clifford .

Este es un caso especial del operador Atiyah – Singer – Dirac que actúa sobre las secciones de un paquete de spinor .

Ejemplo 5: Para un colector giratorio , M , el operador Atiyah – Singer – Dirac se define localmente de la siguiente manera: Para x ∈ M y e ₁ ( x ), ..., e _j ( x ) una base ortonormal local para la tangente espacio de M en x, el operador Atiyah – Singer – Dirac es

$${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} e_ {j} (x) {\ tilde {\ Gamma}} _ {e_ {j} (x)},}

dónde $${\ displaystyle {\ tilde {\ Gamma}}}es un levantamiento de la conexión de Levi-Civita en M al haz spinor sobre M .

Generalizaciones [ editar ]

En el análisis de Clifford, el operador D  : C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , S ) → C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , C ^k ⊗ S ) que actúa sobre las funciones de valor de giro definidas por

$${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) \ mapsto {\ begin {pmatrix} \ partial _ {\ underline {x_ {1}}} f \\\ parcial _ {\ underline {x_ {2}}} f \\ ldots \\\ parcial _ {\ underline {x_ {k}}} f \\ end {pmatrix}}}

A veces se le llama operador de Dirac en k variables de Clifford. En la notación, S es el espacio de los espinores,$${\ displaystyle x_ {i} = (x_ {i1}, x_ {i2}, \ ldots, x_ {in})}son variables de n dimensiones y$${\ displaystyle \ partial _ {\ underline {x_ {i}}} = \ sum _ {j} e_ {j} \ cdot \ partial _ {x_ {ij}}}es el operador de Dirac en la i-ésima variable. Esta es una generalización común del operador Dirac ( k = 1 ) y el operador Dolbeault ( n = 2 , karbitrario). Es un operador diferencial invariante , invariante bajo la acción del grupo SL ( k ) × Spin ( n ) . La resolución de D es conocida solo en algunos casos especiales.

espectro de Dirac , llamado así por Paul Dirac , es el espectro de valores propios de un operador de Dirac en una variedad de Riemann con una estructura de espín . El problema isospectral para el espectro de Dirac pregunta si dos variedades de espín Riemannian tienen espectros idénticos. El espectro de Dirac depende de la estructura de giro en el sentido de que existe una variedad de Riemann con dos estructuras de giro diferentes que tienen diferentes espectros de Dirac.

el spinor de Dirac es el bispinor en la solución de onda plana

$${\ displaystyle \ psi = \ omega _ {\ vec {p}} \; e ^ {- ipx} \;}

de la ecuación de Dirac libre ,

$${\ displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi = 0 \ ;,}

donde (en las unidades $${\ displaystyle c \, = \, \ hbar \, = \, 1})

$${\ displaystyle \ psi}es un relativista spin-medio campo ,

$${\ displaystyle \ omega _ {\ vec {p}}}es el spinor de Dirac relacionado con una onda plana con un vector de onda $${\ displaystyle {\ vec {p}}},

$${\ displaystyle px \; \ equiv \; p _ {\ mu} x ^ {\ mu} \; \ equiv \; Et - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {x}}},

$${\ displaystyle p ^ {\ mu} \; = \; \ left \ {\ pm {\ sqrt {m ^ {2} + {\ vec {p}} ^ {2}}}, \, {\ vec { p}} \ right \}} es el vector de cuatro ondas de la onda plana, donde $${\ displaystyle {\ vec {p}}} es arbitrario,

$${\ displaystyle x ^ {\ mu}}son las cuatro coordenadas en un marco de referencia inercial dado .

El spinor de Dirac para la solución de frecuencia positiva se puede escribir como

$${\ displaystyle \ omega _ {\ vec {p}} = {\ begin {bmatrix} \ phi \\ {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E _ {\ vec {p}} + m}} \ phi \ end {bmatrix}} \ ;,}

dónde

$${\ displaystyle \ phi} es un dos-espín arbitrario,

$${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}}son las matrices de Pauli ,

$${\ displaystyle E _ {\ vec {p}}} es la raíz cuadrada positiva $${\ displaystyle E _ {\ vec {p}} \; = \; + {\ sqrt {m ^ {2} + {\ vec {p}} ^ {2}}}}

Derivación de la ecuación de Dirac [ editar ]

La ecuación de Dirac tiene la forma.

$${\ displaystyle \ left (-i {\ vec {\ alpha}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} + \ beta m \ right) \ psi = i {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t }} \,}

Para derivar la forma de los cuatro espines. $${\ displaystyle \ scriptstyle \ omega} Primero debemos notar el valor de las matrices α y β:

{\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {0} & {\ vec {\ sigma}} \\ {\ vec {\ sigma}} & \ mathbf {0} \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ beta = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {I} & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & - \ mathbf {I} \ end {bmatrix}}}

Estas dos matrices 4 × 4 están relacionadas con las matrices gamma de Dirac . Tenga en cuenta que 0 y I son matrices 2 × 2 aquí.

El siguiente paso es buscar soluciones de la forma.

$${\ displaystyle \ psi = \ omega e ^ {- ip \ cdot x}},

mientras que al mismo tiempo dividir ω en dos de dos espines:

$${\ displaystyle \ omega = {\ begin {bmatrix} \ phi \\\ chi \ end {bmatrix}} \,}.

Resultados [ editar ]

Usando toda la información anterior para conectarse a los resultados de la ecuación de Dirac en

{\ displaystyle E {\ begin {bmatrix} \ phi \\ chi \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} m \ mathbf {I} & {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec { p}} \\ {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} & - m \ mathbf {I} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ phi \\\ chi \ end {bmatrix}}}.

Esta ecuación matricial es en realidad dos ecuaciones acopladas:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ left (Em \ right) \ phi & = \ left ({\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} \ right) \ chi \\\ left ( E + m \ right) \ chi & = \ left ({\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} \ right) \ phi \ end {alineado}}}

Resuelve la segunda ecuación para $${\ displaystyle \ scriptstyle \ chi \,} y uno obtiene

$${\ displaystyle \ omega = {\ begin {bmatrix} \ phi \\ {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ phi \ end {bmatrix }} \,}.

Tenga en cuenta que esta solución debe tener $${\ displaystyle E = + {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2}}}} para que la solución sea válida en un marco donde la partícula tiene $${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ vec {0}}}.

Derivación del signo de la energía en este caso[mostrar]

Alternativamente, resuelva la primera ecuación para $${\ displaystyle \ phi \,} y uno encuentra

$${\ displaystyle \ omega = {\ begin {bmatrix} - {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {- E + m}} \ chi \\\ chi \ end {bmatrix}} \,}.

En este caso hay que hacer cumplir eso. $${\ displaystyle E = - {\ sqrt {p ^ {2} + m ^ {2}}}} para que esta solución sea válida en un marco donde la partícula tiene $${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ vec {0}}}. Esto se puede mostrar de forma análoga al caso anterior.

Esta solución es útil para mostrar la relación entre antipartículas y partículas.

Detalles [ editar ]

Dos espines [ editar ]

Las definiciones más convenientes para los dos espines son:

$${\ displaystyle \ phi ^ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ phi ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end { bmatrix}} \,}

y

$${\ displaystyle \ chi ^ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ chi ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix}} \,}

Matrices de Pauli [ editar ]

Las matrices de Pauli son.

{\ displaystyle \ sigma _ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ sigma _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {bmatrix}} \ quad \ quad \ sigma _ {3} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}}}

Usando estos, uno puede calcular:

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} = \ sigma _ {1} p_ {1} + \ sigma _ {2} p_ {2} + \ sigma _ {3} p_ {3} = {\ begin {bmatrix} p_ {3} & p_ {1} -ip_ {2} \\ p_ {1} + ip_ {2} & - p_ {3} \ end {bmatrix}}}

Cuatro espines [ editar ]

Para partículas [ editar ]

Las partículas se definen como tener energía positiva . La normalización para el four-spinor ω se elige de modo que la probabilidad total sea invariante en la transformación de Lorentz. La probabilidad total es:

$${\ displaystyle P = \ int _ {V} \ omega ^ {\ dagger} \ omega dV}

dónde $${\ displaystyle V}Es el volumen de integración. Bajo la transformación de Lorentz, el volumen se escala como el inverso del factor de Lorentz:$${\ displaystyle (E / m) ^ {- 1}}. Esto implica que la densidad de probabilidad debe ser normalizada proporcional a$${\ displaystyle E}así que la probabilidad total es invariante de Lorentz. La convención habitual es elegir.$${\ displaystyle \ omega ^ {\ dagger} \ omega \; = \; 2E \,}. De ahí que los espinores, denotados como u, son:

$${\ displaystyle u \ left ({\ vec {p}}, s \ right) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} \ phi ^ {(s)} \\ {\ frac {{ \ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}}} {E + m}} \ phi ^ {(s)} \ end {bmatrix}} \,}

donde s = 1 o 2 (girar "arriba" o "abajo")

Explícitamente,

$${\ displaystyle u \ left ({\ vec {p}}, 1 \ right) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ {\ frac {p_ {3}} {E + m}} \\ {\ frac {p_ {1} + ip_ {2}} {E + m}} \ end {bmatrix}} \ quad \ mathrm {y} \ quad u \ left ({\ vec {p}}, 2 \ right) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ {\ frac {p_ {1} -ip_ {2}} {E + m} } \\ {\ frac {-p_ {3}} {E + m}} \ end {bmatrix}}}

Para anti-partículas [ editar ]

Antipartículas con energía positiva.$${\ displaystyle \ scriptstyle E}Se definen como partículas que tienen energía negativa y se propagan hacia atrás en el tiempo. De ahí cambiando el signo de$${\ displaystyle \ scriptstyle E} y $${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {p}}} en el cuatro-espinor para partículas dará el cuatro-espinor para antipartículas:

$${\ displaystyle v ({\ vec {p}}, s) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {{\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p }}} {E + m}} \ chi ^ {(s)} \\\ chi ^ {(s)} \ end {bmatrix}}}

Aquí elegimos el $${\ displaystyle \ scriptstyle \ chi}soluciones Explícitamente,

$${\ displaystyle v \ left ({\ vec {p}}, 1 \ right) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {p_ {3}} {E + m}} \\ {\ frac {p_ {1} + ip_ {2}} {E + m}} \\ 1 \\ 0 \\ end {bmatrix}} \ quad \ mathrm {y} \ quad v ({\ vec {p}}, 2) = {\ sqrt {E + m}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {p_ {1} -ip_ {2}} {E + m}} \\ {\ frac {- p_ {3}} {E + m}} \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}

Tenga en cuenta que estas soluciones se obtienen fácilmente sustituyendo el ansatz $${\ displaystyle \ psi = ve ^ {+ ipx}} en la ecuación de Dirac.

Relaciones de integridad [ editar ]

Las relaciones de integridad para los cuatro espines u y v son

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {s = 1,2} {u_ {p} ^ {(s)} {\ bar {u}} _ {p} ^ {(s)}} & = {p \! \! \! /} + m \\\ sum _ {s = 1,2} {v_ {p} ^ {(s)} {\ bar {v}} _ {p} ^ {(s )}} & = {p \! \! \! /} - m \ end {alineado}}}

dónde

$${\ displaystyle {p \! \! \! /} = \ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} \,}      (ver notación de barra de Feynman )

$${\ displaystyle {\ bar {u}} = u ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \,}

Los espinores de Dirac y el álgebra de Dirac [ editar ]

Las matrices de Dirac son un conjunto de cuatro matrices 4 × 4 que se utilizan como operadores de giro y carga .

Convenciones [ editar ]

Hay varias opciones de firma y representación que son de uso común en la literatura de física. Las matrices de Dirac se escriben típicamente como$${\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma ^ {\ mu}} dónde $${\ displaystyle \ scriptstyle \ mu} corre de 0 a 3. En esta notación, 0 corresponde al tiempo, y 1 a 3 corresponden a x, y y z.

La firma + - - - a veces se denomina la métrica de la costa oeste , mientras que la - + + + es la métrica de la costa este . En este momento, la firma + - - - es de uso más común, y nuestro ejemplo usará esta firma. Para cambiar de un ejemplo a otro, multiplica todos$${\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma ^ {\ mu}} por $${\ displaystyle \ scriptstyle i}.

Después de elegir la firma, hay muchas formas de construir una representación en las matrices 4 × 4, y muchas son de uso común. Para que este ejemplo sea lo más general posible, no especificaremos una representación hasta el paso final. En ese momento sustituiremos en la representación "quiral" o "Weyl" .

Construcción de un rotor de Dirac con una dirección de giro y carga dadas [ editar ]

Primero elegimos una dirección de giro para nuestro electrón o positrón. Como en el ejemplo del álgebra de Pauli discutido anteriormente, la dirección de giro se define por un vector unitario en 3 dimensiones, (a, b, c). Siguiendo la convención de Peskin & Schroeder, el operador de giro para girar en la dirección (a, b, c) se define como el producto puntual de (a, b, c) con el vector

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (i \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}, \; \; i \ gamma ^ {3} \ gamma ^ {1}, \; \; i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2}) & = - (\ gamma ^ {1}, \; \ gamma ^ {2}, \; \ gamma ^ {3}) i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ { 2} \ gamma ^ {3} \\\ sigma _ {(a, b, c)} & = ia \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} + ib \ gamma ^ {3} \ gamma ^ {1 } + ic \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ end {alineado}}}

Tenga en cuenta que lo anterior es una raíz de unidad , es decir, se cuadra a 1. En consecuencia, podemos hacer un operador de proyección a partir de él que proyecta el subálgebra del álgebra de Dirac que tiene un giro orientado en (a, b, c) dirección:

$${\ displaystyle P _ {(a, b, c)} = {\ tfrac {1} {2}} \ left (1+ \ sigma _ {(a, b, c)} \ right)}

Ahora debemos elegir una carga, +1 (positrón) o −1 (electrón). Siguiendo las convenciones de Peskin & Schroeder, el operador a cargo es$${\ displaystyle \ scriptstyle Q \, = \, - \ gamma ^ {0}}, es decir, los estados de electrones tomarán un valor propio de -1 con respecto a este operador, mientras que los estados de positrones tomarán un valor propio de +1.

Tenga en cuenta que $${\ displaystyle \ scriptstyle Q}También es una raíz cuadrada de la unidad. Además,$${\ displaystyle \ scriptstyle Q} conmuta con $${\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma _ {(a, b, c)}}. Forman un conjunto completo de operadores de conmutación para el álgebra de Dirac. Continuando con nuestro ejemplo, buscamos una representación de un electrón con giro en la dirección (a, b, c). Torneado$${\ displaystyle \ scriptstyle Q} en un operador de proyección para cargo = −1, tenemos

$${\ displaystyle P _ {- Q} = {\ frac {1} {2}} \ left (1-Q \ right) = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ gamma ^ {0} \Correcto)}

El operador de proyección para el spinor que buscamos es, por lo tanto, el producto de los dos operadores de proyección que hemos encontrado:

$${\ displaystyle P _ {(a, b, c)} \; P _ {- Q}}

El operador de proyección anterior, cuando se aplica a cualquier espinor, dará la parte del espinor que corresponde al estado electrónico que buscamos. Así que podemos aplicarlo a un spinor con el valor 1 en uno de sus componentes, y 0 en los otros, lo que da una columna de la matriz. Continuando con el ejemplo, ponemos (a, b, c) = (0, 0, 1) y tenemos

$${\ displaystyle P _ {(0,0,1)} = {\ frac {1} {2}} \ left (1 + i \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ right)}

y así nuestro operador de proyección deseado es

$${\ displaystyle P = {\ frac {1} {2}} \ left (1 + i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ right) \ cdot {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ gamma ^ {0} \ right) = {\ frac {1} {4}} \ left (1+ \ gamma ^ {0} + i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} + i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ derecha)}

Las matrices gamma 4 × 4 utilizadas en la representación de Weyl son

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ gamma _ {0} & = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} \\\ gamma _ {k} & = {\ begin {bmatrix} 0 & \ sigma ^ {k} \\ - \ sigma ^ {k} & 0 \ end {bmatrix}} \ end {alineado}}}

para k = 1, 2, 3 y donde $${\ displaystyle \ sigma ^ {i}}Son las matrices habituales de 2 × 2 Pauli . Sustituyendo estos por P da

{\ displaystyle P = {\ frac {1} {4}} {\ begin {bmatrix} 1+ \ sigma ^ {3} & 1 + \ sigma ^ {3} \\ 1+ \ sigma ^ {3} & 1 + \ sigma ^ {3} \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}

Nuestra respuesta es cualquier columna que no sea cero de la matriz anterior. La división por dos es solo una normalización. La primera y tercera columnas dan el mismo resultado:

$${\ displaystyle \ left | e ^ {-}, \, + {\ frac {1} {2}} \ right \ rangle = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix }}}

Más generalmente, para los electrones y positrones con giro orientado en la dirección (a, b, c), el operador de proyección es

{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} {\ begin {bmatrix} 1 + c & a-ib & \ pm (1 + c) & \ pm (a-ib) \\ a + ib & 1-c & \ pm (a + ib) & \ pm (1-c) \\\ pm (1 + c) & \ pm (a-ib) & 1 + c & a-ib \\ pm (a + ib) & \ pm (1-c) & a + ib & 1-c \ end {bmatrix}}}

donde los signos superiores son para el electrón y los signos inferiores son para el positrón. El espinor correspondiente se puede tomar como cualquier columna que no sea cero. Ya que$${\ displaystyle \ scriptstyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \, = \, 1}Las diferentes columnas son múltiplos del mismo spinor. La representación del spinor resultante en la base de Dirac se puede obtener usando la regla dada en el artículo bispinor .