MECÁNICA CUÁNTICA

En la mecánica cuántica , se piensa en los eigenspinors como vectores de base que representan el estado de giro general de una partícula. Estrictamente hablando, no son vectores en absoluto, sino en realidad espines . Para una sola partícula de espín 1/2, se pueden definir como los vectores propios de las matrices de Pauli .

Eigenspinors generales [ editar ]

En la mecánica cuántica, se cuantifica el giro de una partícula o colección de partículas . En particular, todas las partículas tienen un giro de entero entero o entero. En el caso más general, los eigenspinors para un sistema pueden ser bastante complicados. Si tiene una colección de la cantidad de partículas de Avogadro , cada una con dos (o más) estados de espín posibles, no habría ninguna esperanza de anotar un conjunto completo de eigenspinors. Sin embargo, los eigenspinors son muy útiles cuando se trata de los giros de un número muy pequeño de partículas.

La partícula de espín 1/2 [ editar ]

El ejemplo más simple y esclarecedor de los eigenspinors es para una partícula de un solo giro 1/2. El giro de una partícula tiene tres componentes, correspondientes a las tres dimensiones espaciales :$${\ displaystyle S_ {x}}, $${\ displaystyle S_ {y}}y $${\ displaystyle S_ {z}}. Para una partícula 1/2 de espín, solo hay dos estados propios de giro: gire hacia arriba y gire hacia abajo. Spin up se denota como la matriz de la columna: $${\ displaystyle \ chi _ {+} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\\ end {bmatrix}}} y girar hacia abajo es $${\ displaystyle \ chi _ {-} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\\ end {bmatrix}}}.

Cada componente del momento angular tiene, por lo tanto, dos eigenspinors. Por convención, la dirección z se elige por tener la$${\ displaystyle \ chi _ {+}} y $${\ displaystyle \ chi _ {-}}Estados como sus eigenspinors. Los eigenspinors para las otras dos direcciones ortogonales siguen esta convención:

$${\ displaystyle S_ {z}}:

$${\ displaystyle \ chi _ {+} ^ {z} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\\ end {bmatrix}}}

$${\ displaystyle \ chi _ {-} ^ {z} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\\ end {bmatrix}}}

$${\ displaystyle S_ {x}}:

$${\ displaystyle \ chi _ {+} ^ {x} = {1 \ sobre {\ sqrt {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\\ end {bmatrix}}}

$${\ displaystyle \ chi _ {-} ^ {x} = {1 \ over {\ sqrt {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ - 1 \\\ end {bmatrix}}}

$${\ displaystyle S_ {y}}:

$${\ displaystyle \ chi _ {+} ^ {y} = {1 \ sobre {\ sqrt {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ i \\\ end {bmatrix}}}

$${\ displaystyle \ chi _ {-} ^ {y} = {1 \ over {\ sqrt {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ - i \\\ end {bmatrix}}}

Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ): distancia radial r , polar ángulo θ ( theta ), y el ángulo azimutal varphi ( phi ).

Todos estos resultados son casos especiales de los eigenspinors para la dirección especificada por θ y φ en coordenadas esféricas; esos eigenspinors son:

$${\ displaystyle \ chi _ {+} = {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta / 2) \\ e ^ {i \ varphi} \ sin (\ theta / 2) \\\ end {bmatrix}}}

$${\ displaystyle \ chi _ {-} = {\ begin {bmatrix} -e ^ {- i \ varphi} \ sin (\ theta / 2) \\\ cos (\ theta / 2) \\\ end {bmatrix} }}

Ejemplo de uso [ editar ]

Supongamos que hay una partícula de espín 1/2 en un estado $${\ displaystyle \ chi = {1 \ sobre {\ sqrt {5}}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\\ end {bmatrix}}}. Para determinar la probabilidad de encontrar la partícula en un estado de giro, simplemente multiplicamos el estado de la partícula por el adjunto de la matriz de eigenspinor que representa el giro y cuadramos el resultado. Así, el eigenspinor nos permite muestrear la parte del estado de la partícula que está en la misma dirección que el eigenspinor. Primero multiplicamos:

$${\ displaystyle c _ {+} = {\ begin {bmatrix} 1 \ 0 \\\ end {bmatrix}} * \ chi = {1 \ over {\ sqrt {5}}}}.

Ahora, simplemente cuadramos este valor para obtener la probabilidad de que la partícula se encuentre en un estado de giro hacia arriba:

$${\ displaystyle P _ {+} = {1 \ sobre 5}}

Propiedades [ editar ]

Cada conjunto de eigenspinors forma una completa , ortonormal base. Esto significa que cualquier estado puede escribirse como una combinación lineal de los espinores básicos .

Los eigenspinors son vectores propios de las matrices de Pauli en el caso de una sola partícula de espín 1/2.

En mecánica cuántica , einselections , abreviatura de superselección inducida por el medio ambiente , es un nombre acuñado por Wojciech H. Zurek ^[1] para un proceso que pretende explicar la aparición del colapso de la función de onda y la aparición de descripciones clásicas de la realidad a partir de descripciones cuánticas . En este enfoque, la clasicidad se describe como una propiedad emergente inducida en sistemas cuánticos abiertospor sus entornos. Debido a la interacción con el entorno, la gran mayoría de los estados en el espacio de Hilbertde un sistema abierto cuántico se vuelve altamente inestable debido a la interacción enredada con el entorno, que en efecto monitorea los observables seleccionados del sistema. Después de un tiempo de decoherencia , que para los objetos macroscópicos es típicamente muchos órdenes de magnitud más cortos que cualquier otra escala de tiempo dinámica, ^[2] un estado cuántico genérico decae en un estado incierto que puede descomponerse en una mezcla de estados de puntero simples . De esta manera el entorno induce reglas de superselección efectivas. Por lo tanto, la selección por defecto excluye la existencia estable de superposiciones puras de estados de puntero. Estos ' estados punteros'son estables a pesar de la interacción ambiental. Los estados seleccionados carecen de coherencia y, por lo tanto, no exhiben los comportamientos cuánticos de entrelazamiento y superposición .

Los defensores de este enfoque argumentan que, dado que solo los estados casi locales, esencialmente clásicos, sobreviven al proceso de decoherencia, la elección puede explicar de muchas maneras el surgimiento de una realidad (aparentemente) clásica en un universo fundamentalmente cuántico (al menos para los observadores locales). Sin embargo, el programa básico ha sido criticado por basarse en un argumento circular (por ejemplo, RE Kastner ^[3] ). Por lo tanto, la cuestión de si la cuenta 'einselection' realmente puede explicar el fenómeno del colapso de la función de onda sigue sin resolverse.

Definición [ editar ]

Zurek ha definido la selección de la siguiente manera: "La decoherencia conduce a la selección cuando los estados del entorno $${\ displaystyle | \ epsilon _ {i} \ rangle} correspondientes a diferentes estados punteros se vuelven ortogonales: $${\ displaystyle \ langle \ epsilon _ {i} | \ epsilon _ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}", ^[1]

Detalles [ editar ]

Los estados punteros seleccionados se distinguen por su capacidad de persistir a pesar del monitoreo ambiental y, por lo tanto, son aquellos en los que se observan sistemas abiertos cuánticos. Comprender la naturaleza de estos estados y el proceso de su selección dinámica es de importancia fundamental. Este proceso se ha estudiado primero en una situación de medición: cuando el sistema es un aparato cuya dinámica intrínseca se puede descuidar, los estados de puntero se convierten en estados propios de la interacción hamiltoniana entre el aparato y su entorno. ^[4] En situaciones más generales, cuando la dinámica del sistema es relevante, la selección electrónica es más complicada. Los estados de puntero resultan de la interacción entre la autoevolución y el monitoreo ambiental.

Para estudiar la selección, se ha introducido una definición operativa de estados de puntero. ^[5] [6] Este es el criterio del "tamiz de previsibilidad", basado en una idea intuitiva: los estados de puntero se pueden definir como los que se enredan mínimamente con el entorno en el curso de su evolución. El criterio del tamiz de predictibilidad es una forma de cuantificar esta idea utilizando el siguiente procedimiento algorítmico: Para cada estado puro inicial$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}, uno mide el entrelazamiento generado dinámicamente entre el sistema y el entorno mediante el cálculo de la entropía:

$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Psi} (t) = - \ operatorname {Tr} \ left (\ rho _ {\ Psi} (t) \ log \ rho _ {\ Psi} (t) \Correcto)}

o alguna otra medida de previsibilidad ^{[5] [6] [7]} de la matriz de densidad reducida del sistema$${\ displaystyle \ rho _ {\ Psi} \ left (t \ right)} (que es inicialmente $${\ displaystyle \ rho _ {\ Psi} (0) = | \ Psi \ rangle \ langle \ Psi |}). La entropía es una función del tiempo y una función del estado inicial.$${\ displaystyle \ left | \ Psi \ right \ rangle}. Los estados del puntero se obtienen minimizando$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Psi} \,} terminado $${\ displaystyle \ left | \ Psi \ right \ rangle} y exigiendo que la respuesta sea robusta al variar el tiempo. $${\ displaystyle t \}.

La naturaleza de los estados de puntero se ha investigado utilizando el criterio de tamiz de previsibilidad solo para un número limitado de ejemplos. ^{[5] [6] [7]} Aparte del caso ya mencionado de la situación de medición (donde los estados de puntero son simplemente estados propios de la interacción hamiltoniana), el ejemplo más notable es el de una partícula cuántica browniana acoplada a través de su posición con un baño de Osciladores armónicos independientes . En tal caso, los estados de puntero se localizan en el espacio de fase , aunque la interacción hamiltoniana implica la posición de la partícula. ^[6] Los estados de puntero son el resultado de la interacción entre la autoevolución y la interacción con el entorno y resultan ser estados coherentes.

También hay un límite cuántico de decoherencia: cuando el espaciado entre los niveles de energía del sistema es grande en comparación con las frecuencias presentes en el ambiente, los estados propios de energía se seleccionan de manera casi independiente de la naturaleza del acoplamiento sistema-ambiente. ^[8]

Decoherencia colisión [ editar ]

Se ha realizado un importante trabajo para identificar correctamente los estados de puntero en el caso de una partícula masiva que se despoja por colisiones con un entorno fluido, a menudo conocido como decoherencia de colisión . En particular, Busse y Hornberger han identificado ciertos paquetes de ondas solitónicas como inusualmente estables en presencia de dicha decoherencia. 

El método Einstein – Brillouin – Keller ( EBK ) es un método semiclásico (llamado así por Albert Einstein , Léon Brillouin y Joseph B. Keller ) que se usa para calcular valores propios en sistemas mecánico-cuánticos. La cuantización de EBK es una mejora de la cuantificación de Bohr-Sommerfeld que no consideró los saltos de la fase cáustica en los puntos de inflexión clásicos. ^[1] Este procedimiento es capaz de reproducir exactamente el espectro del oscilador armónico 3D , las partículas en una caja , e incluso la estructura fina relativista deátomo de hidrógeno . ^[2]

En 1976–1977, Berry y Tabor derivaron una extensión a la fórmula de rastreo de Gutzwiller para la densidad de estados de un sistema integrable a partir de la cuantización de EBK. ^[3] [4]

Ha habido una serie de resultados recientes sobre problemas de cálculo relacionados con este tema, por ejemplo, el trabajo de Eric J. Heller y Emmanuel David Tannenbaum utilizando un enfoque de descenso de gradiente de ecuación diferencial parcial.

Procedimiento [ editar ]

Dado un sistema clásico separable definido por coordenadas.$${\ displaystyle (q_ {i}, p_ {i}); i \ in \ {1,2, \ cdots, d \}}, en el que cada pareja $${\ displaystyle (q_ {i}, p_ {i})} describe una función cerrada o una función periódica en $${\ displaystyle q_ {i}}, el procedimiento EBK consiste en cuantificar las integrales de trayectoria de $${\ displaystyle p_ {i}} sobre la órbita cerrada de $${\ displaystyle q_ {i}}:

$${\ displaystyle I_ {i} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint p_ {i} dq_ {i} = \ hbar \ left (n_ {i} + {\ frac {\ mu _ {i }} {4}} + {\ frac {b_ {i}} {2}} \ right)}

dónde $${\ displaystyle I_ {i}}es la coordenada del ángulo de acción ,$${\ displaystyle n_ {i}} es un entero positivo, y $${\ displaystyle \ mu _ {i}} y $${\ displaystyle b_ {i}}Son los índices de Maslov .$${\ displaystyle \ mu _ {i}}Corresponde al número de puntos de inflexión clásicos en la trayectoria de $${\ displaystyle q_ {i}}( Condición de límite de Dirichlet ), y$${\ displaystyle b_ {i}}corresponde al número de reflexiones con una pared dura ( condición de contorno de Neumann ). ^[6]

Ejemplo: átomo de hidrógeno 2D [ editar ]

El hamiltoniano para un electrón no relativista (carga eléctrica). $${\ displaystyle e}) en un átomo de hidrógeno es:

$${\ displaystyle H = {\ frac {p_ {r} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {p _ {\ varphi} ^ {2}} {2mr ^ {2}}} - {\ frac { e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon r}}}

dónde $${\ displaystyle p_ {r}} Es el impulso canónico a la distancia radial. $${\ displaystyle r}y $${\ displaystyle p _ {\ varphi}} Es el momento canónico del ángulo azimutal. $${\ displaystyle \ varphi}. Toma las coordenadas del ángulo de acción:

$${\ displaystyle I _ {\ varphi} = {\ text {constant}} = L}

Para la coordenada radial $${\ displaystyle r}:

$${\ displaystyle p_ {r} = {\ sqrt {2mE - {\ frac {L ^ {2}} {r ^ {2}}} - {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}}}}}

$${\ displaystyle I_ {r} = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} p_ {r} dr = {\ frac {me ^ {2} } {4 \ pi \ epsilon _ {0} {\ sqrt {-2mE}}}} - | L |}

Donde nos estamos integrando entre los dos clásicos puntos de inflexión. $${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}} ($${\ displaystyle \ mu _ {r} = 2})

$${\ displaystyle E = - {\ frac {me ^ {4}} {32 \ pi ^ {2} \ epsilon _ {0} ^ {2} (I_ {r} + L) ^ {2}}}}

Usando la cuantización de EBK $${\ displaystyle b_ {r} = \ mu _ {\ varphi} = b _ {\ varphi} = 0, n _ {\ varphi} = m} :

$${\ displaystyle L = \ hbar m \ quad; \ quad m = 0,1,2, \ cdots}

$${\ displaystyle I_ {r} = \ hbar (n_ {r} +1/2) \ quad; \ quad n_ {r} = 0,1,2, \ cdots}

$${\ displaystyle E = - {\ frac {me ^ {4}} {32 \ pi ^ {2} \ epsilon _ {0} ^ {2} \ hbar ^ {2} (n_ {r} + m + 1 / 2) ^ {2}}}}

y haciendo $${\ displaystyle n = n_ {r} + m + 1}El espectro del átomo de hidrógeno 2D ^[7] se recupera:

$${\ displaystyle E_ {n} = - {\ frac {me ^ {4}} {32 \ pi ^ {2} \ epsilon _ {0} ^ {2} \ hbar ^ {2} (n-1/2) ^ {2}}} \ quad; \ quad n = 1,2,3, \ cdots}

Tenga en cuenta que para este caso $${\ displaystyle L}casi coincide con la cuantificación habitual del operador de momento angular en el plano$${\ displaystyle L_ {z}}. Para el caso 3D, el método EBK para el momento angular total es equivalente a la corrección de Langer .