MECÁNICA CUÁNTICA

reducción dinámica (DRT) es una extensión de la mecánica cuántica (QM) que intenta explicar el colapso de la función de onda . Es necesario porque QM no tiene en cuenta las mediciones específicas de cantidades observables o eventos, en el ámbito familiar de la física newtoniana o clásica , que realizamos en los experimentos de QM .

La razón por la que QM no tiene en cuenta las mediciones es que la evolución temporal del estado cuántico de un sistema se describe probabilísticamente mediante superposiciones lineales de las ecuaciones de Schrödinger. Incluso si incluimos el estado cuántico de los dispositivos de medición, e incluso si incluimos el estado cuántico del universo circundante, esto no proporciona información ^[1] sobre las mediciones reales, cada una de las cuales siempre parece elegir un valor posible particular.

El teorema de Ehrenfest , que lleva el nombre de Paul Ehrenfest , un físico teórico austríaco en la Universidad de Leiden , relaciona el tiempo derivado de los valores de expectativa de los operadores de posición y momento x y p con el valor de expectativa de la fuerza$${\ displaystyle F = -V '(x)} en una partícula masiva moviéndose en un potencial escalar $${\ displaystyle V (x)}, ^[1]

$${\ displaystyle m {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle = \ langle p \ rangle, \; \; {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = - \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle ~.}

Aunque, a primera vista, podría parecer que el teorema de Ehrenfest dice que los valores de expectativa mecánica cuántica obedecen a las ecuaciones de movimiento clásicas de Newton, este no es realmente el caso. ^[2] Si el par$${\ displaystyle (\ langle x \ rangle, \ langle p \ rangle)} Para satisfacer la segunda ley de Newton, el lado derecho de la segunda ecuación tendría que ser

$${\ displaystyle -V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right)},

que típicamente no es lo mismo que

$${\ displaystyle - \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle}.

Si por ejemplo, el potencial $${\ displaystyle V (x)} es cúbico, (es decir, proporcional a $${\ displaystyle x ^ {3}}), entonces $${\ displaystyle V '} es cuadrático (proporcional a $${\ displaystyle x ^ {2}}). Esto significa que, en el caso de la segunda ley de Newton, el lado derecho estaría en la forma de$${\ displaystyle \ langle x \ rangle ^ {2}}, mientras que en el teorema de Ehrenfest está en la forma de $${\ displaystyle \ langle x ^ {2} \ rangle}. La diferencia entre estas dos cantidades es el cuadrado de la incertidumbre en$${\ displaystyle x} y por lo tanto es distinto de cero.

Se produce una excepción en caso de que las ecuaciones clásicas de movimiento sean lineales, es decir, cuando $${\ displaystyle V} es cuadrático y $${\ displaystyle V '}es lineal En ese caso especial,$${\ displaystyle V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right)} y $${\ displaystyle \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle}de acuerdo Por lo tanto, para el caso de un oscilador armónico cuántico, la posición esperada y el impulso esperado siguen exactamente las trayectorias clásicas.

Para sistemas generales, si la función de onda está altamente concentrada alrededor de un punto $${\ displaystyle x_ {0}}, entonces $${\ displaystyle V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right)} y $${\ displaystyle \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle}será casi igual, ya que ambos serán aproximadamente iguales a$${\ displaystyle V '(x_ {0})}. En ese caso, la posición esperada y el impulso esperado seguirán aproximadamente las trayectorias clásicas, al menos mientras la función de onda permanezca localizada en la posición. ^[3]

El teorema de Ehrenfest es un caso especial de una relación más general entre la expectativa de cualquier operador mecánico cuántico y la expectativa del conmutador de ese operador con el Hamiltoniano del sistema ^[4] [5]

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle A \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [A, H] \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} \ right \ rangle ~,}

donde A es algún operador mecánica cuántica y ⟨ Un ⟩ es su valor esperado . Este teorema más general no fue realmente derivado por Ehrenfest (se debe a Werner Heisenberg ).

Es más evidente en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, donde es solo el valor de expectativa de la ecuación de movimiento de Heisenberg. Proporciona soporte matemático al principio de correspondencia .

La razón es que el teorema de Ehrenfest está estrechamente relacionado con el teorema de Liouville sobre la mecánica hamiltoniana , que involucra el soporte de Poisson en lugar de un conmutador. La regla de oro de Dirac sugiere que las declaraciones en la mecánica cuántica que contienen un conmutador corresponden a las declaraciones en la mecánica clásica, donde el conmutador es suplantado por un soporte de Poisson multiplicado por iħ . Esto hace que los valores de expectativa del operador obedezcan las ecuaciones de movimiento clásicas correspondientes, siempre que el Hamiltoniano esté a lo sumo cuadrático en las coordenadas y los momentos. De lo contrario, las ecuaciones de evolución pueden mantenerse aproximadamente , siempre que las fluctuaciones sean pequeñas.

Derivación en la imagen de Schrödinger [ editar ]

Supongamos que algún sistema está actualmente en un estado cuántico Φ . Si queremos saber la derivada instantánea del tiempo del valor de expectativa de A , es decir, por definición

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle A \ rangle & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ int \ Phi ^ {*} A \ Phi \, \ mathrm {d} x ^ {3} \\ & = \ int \ left ({\ frac {\ partial \ Phi ^ {*}} { \ partial t}} \ right) A \ Phi \, \ mathrm {d} x ^ {3} + \ int \ Phi ^ {*} \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ derecha) \ Phi \, \ mathrm {d} x ^ {3} + \ int \ Phi ^ {*} A \ left ({\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} \ right) \, \ mathrm {d} x ^ {3} \\ & = \ int \ left ({\ frac {\ partial \ Phi ^ {*}} {\ partial t}} \ right) A \ Phi \, \ mathrm {d} x ^ {3} + \ left \ langle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right \ rangle + \ int \ Phi ^ {*} A \ left ({\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} \ right) \, \ mathrm {d} x ^ {3} \ end {alineado}}}

Donde nos estamos integrando en todo el espacio. Si aplicamos la ecuación de Schrödinger , encontramos que

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} H \ Phi}

Al tomar el conjugado complejo encontramos

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi ^ {*}} {\ partial t}} = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ Phi ^ {*} H ^ {*} = - { \ frac {1} {i \ hbar}} \ Phi ^ {*} H.} ^[6]

Note H = H  ^∗ , porque el hamiltoniano es hermitiano . Colocando esto en la ecuación anterior tenemos

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle A \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int \ Phi ^ {*} (AH-HA) \ Phi ~ dx ^ { 3} + \ left \ langle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [A, H] \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right \ rangle.}

A menudo (pero no siempre) el operador A es independiente del tiempo, por lo que su derivado es cero y podemos ignorar el último término.

Derivación en la imagen de Heisenberg [ editar ]

En el cuadro de Heisenberg , la derivación es trivial. La imagen de Heisenberg mueve la dependencia temporal del sistema a los operadores en lugar del vector de estado. Comenzando con la ecuación de movimiento de Heisenberg

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} A (t) = {\ frac {\ parcial A (t)} {\ parcial t}} + {\ frac {1} {i \ hbar}} [A (t), H],}

podemos derivar el teorema de Ehrenfest simplemente proyectando la ecuación de Heisenberg en $${\ displaystyle | \ Psi \ rangle} de la derecha y $${\ displaystyle \ langle \ Psi |} desde la izquierda, o tomando el valor esperado, por lo que

$${\ displaystyle \ left \ langle \ Psi \ left | {\ frac {d} {dt}} A (t) \ right | \ Psi \ right \ rangle = \ left \ langle \ Psi \ left | {\ frac {\ parcial A (t)} {\ parcial t}} \ right | \ Psi \ right \ rangle + \ left \ langle \ Psi \ left | {\ frac {1} {i \ hbar}} [A (t), H ] \ right | \ Psi \ right \ rangle,}

Podemos sacar el d/dt del primer término ya que los vectores de estado ya no dependen del tiempo en la Imagen de Heisenberg. Por lo tanto,

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle A (t) \ rangle = \ left \ langle {\ frac {\ partial A (t)} {\ partial t}} \ right \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle [A (t), H] \ right \ rangle}

Ejemplo general [ editar ]

Los valores de expectativa del teorema, sin embargo, son los mismos en la imagen de Schrödinger también. Para el ejemplo muy general de una partícula masiva que se mueve en un potencial , el Hamiltoniano es simplemente

$${\ displaystyle H (x, p, t) = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x, t)}

donde x es la posición de la partícula.

Supongamos que queremos saber el cambio instantáneo en el momento p . Usando el teorema de Ehrenfest, tenemos

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [p, H] \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ parcial p} {\ parcial t}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [p, V (x, t)] \ rangle,}

ya que el operador p conmuta consigo mismo y no tiene dependencia del tiempo. ^[7] Al expandir el lado derecho, reemplazando p por - iħ ∇ , obtenemos

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ Phi ~ dx - \ int \ Phi ^ {*} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (V (x, t) \ Phi) ~ dx ~.}

Después de aplicar la regla del producto en el segundo término, tenemos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle & = \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ Phi ~ dx- \ int \ Phi ^ {*} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} V (x, t) \ right) \ Phi ~ dx- \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ Phi ~ dx \\ & = - \ int \ Phi ^ {*} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} V (x, t) \ right) \ Phi ~ dx \\ & = \ left \ langle - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} V (x, t) \ right \ rangle = \ langle F \ rangle, \ end {alineado}}}.

Como se explica en la introducción, este resultado no dice que el par$${\ displaystyle (\ langle X \ rangle, \ langle P \ rangle)}satisface la segunda ley de Newton , porque el lado derecho de la fórmula es$${\ displaystyle \ langle F (x, t) \ rangle,} más bien que $${\ displaystyle F (\ langle X \ rangle, t)}. Sin embargo, como se explica en la introducción, para los estados que están altamente localizados en el espacio, la posición y el impulso esperados seguirán aproximadamente las trayectorias clásicas, que pueden entenderse como un ejemplo del principio de correspondencia .

Del mismo modo, podemos obtener el cambio instantáneo en el valor de expectativa de posición.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [x, H] \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ partial x} {\ partial t}} \ right \ rangle \\ & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ left [x, {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x, t) \ right] \ right \ rangle +0 \\ & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ left [x, {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ right] \ right \ rangle \\ & = {\ frac {1} {i \ hbar 2m}} \ left \ langle [x, p] {\ frac {d} {dp}} p ^ {2} \ right \ rangle \\ & = {\ frac {1} {i \ hbar 2m}} \ langle i \ hbar 2p \ rangle \\ & = {\ frac {1 } {m}} \ langle p \ rangle \ end {alineado}}}

Este resultado es en realidad exactamente de acuerdo con la ecuación clásica.

Derivación de la ecuación de Schrödinger de los teoremas de Ehrenfest [ editar ]

Se estableció anteriormente que los teoremas de Ehrenfest son consecuencias de la ecuación de Schrödinger . Sin embargo, lo contrario también es cierto: la ecuación de Schrödinger puede inferirse de los teoremas de Ehrenfest. ^[8] Comenzamos desde

{\ displaystyle {\ begin {alineado} m {\ frac {d} {dt}} \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {x}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle & = \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {p}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle, \\ {\ frac {d} {dt}} \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {p}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle & = \ left \ langle \ Psi (t) \ right | -V '({\ hat { x}}) \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle. \ end {alineado}}}

Las aplicaciones de la regla del producto llevan a

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ langle {\ frac {d \ Psi} {dt}} {\ Big |} {\ hat {x}} {\ Big |} \ Psi \ right \ rangle + \ left \ langle \ Psi {\ Big |} {\ hat {x}} {\ Big |} {\ frac {d \ Psi} {dt}} \ right \ rangle & = \ left \ langle \ Psi {\ Big | } {\ frac {\ hat {p}} {m}} {\ Big |} \ Psi \ right \ rangle, \\ left \ langle {\ frac {d \ Psi} {dt}} {\ Big |} {\ hat {p}} {\ Big |} \ Psi \ right \ rangle + \ left \ langle \ Psi {\ Big |} {\ hat {p}} {\ Big |} {\ frac {d \ Psi} {dt}} \ right \ rangle & = \ langle \ Psi | -V '({\ hat {x}}) | \ Psi \ rangle, \ end {alineado}}}

Aquí, aplique el teorema de Stone , usando Ĥ para denotar el generador cuántico de la traducción del tiempo. El siguiente paso es mostrar que esto es lo mismo que el operador hamiltoniano utilizado en la mecánica cuántica. El teorema de piedra implica

$${\ displaystyle i \ hbar \ left | {\ frac {d \ Psi} {dt}} \ right \ rangle = {\ hat {H}} | \ Psi (t) \ rangle ~,}

donde se introdujo ħ como una constante de normalización a la dimensionalidad del equilibrio. Dado que estas identidades deben ser válidas para cualquier estado inicial, el promedio puede ser eliminado y el sistema de ecuaciones del conmutador para Ĥ se derivan:

$${\ displaystyle im [{\ hat {H}}, {\ hat {x}}] = \ hbar {\ hat {p}}, \ qquad i [{\ hat {H}}, {\ hat {p} }] = - \ hbar V '({\ hat {x}}).}

Suponiendo que los observables de la coordenada y el momento obedecen a la relación de conmutación canónica [ x̂, p̂ ] = iħ . Ajuste$${\ displaystyle {\ hat {H}} = H ({\ hat {x}}, {\ hat {p}})}, las ecuaciones del conmutador se pueden convertir en las ecuaciones diferenciales ^[8] [9]

$${\ displaystyle m {\ frac {\ parcial H (x, p)} {\ parcial p}} = p, \ qquad {\ frac {\ parcial H (x, p)} {\ parcial x}} = V ' (X),}

cuya solución es el Hamiltoniano cuántico familiar

$${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ hat {x}}).}

Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se derivó de los teoremas de Ehrenfest al asumir la relación de conmutación canónica entre la coordenada y el momento. Si se supone que las coordenadas y el momento se conmutan, el mismo método computacional conduce a la mecánica clásica de Koopman-von Neumann , que es la formulación espacial de Hilbert de la mecánica clásica . ^[8] Por lo tanto, tanto esta derivación como la derivación de la mecánica de Koopman-von Neumann muestran que la diferencia esencial entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica se reduce al valor del conmutador [ x̂, p̂ ] .

El efecto Ehrenfest – Tolman (también conocido como efecto Tolman – Ehrenfest ), creado por Richard C. Tolman y Paul Ehrenfest , sostiene que la temperatura no es constante en el espacio en el equilibrio térmico , pero varía con la curvatura del espacio-tiempo. Específicamente, depende de la métrica del espacio-tiempo . En un espacio-tiempo estacionario con un campo vectorial de matanza temporal $${\ displaystyle \ xi}, la temperatura $${\ displaystyle T} satisface en cambio la relación Tolman-Ehrenfest: $${\ displaystyle T \, || \ xi || = \ mathrm {constant}}, dónde $${\ displaystyle || \ xi || = {\ sqrt {g_ {ab} \ xi ^ {a} \ xi ^ {b}}}} Es la norma del campo vectorial de matanza temporal.

Esta relación conduce al concepto de tiempo térmico que se ha considerado como una posible base para una termodinámica relativista completamente general. Se ha demostrado que el efecto Tolman-Ehrenfest puede derivarse aplicando el principio de equivalencia al concepto de que la temperatura es la tasa de tiempo térmico con respecto al tiempo adecuado.