MECÁNICA CUÁNTICA

La hipótesis de duane

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegaciónSaltar a búsqueda

En 1922, el físico estadounidense William Duane presentó la hipótesis ^{[1] de} que la dispersión de los fotones de rayos X por un cristal podría explicarse mejor por un mecanismo de transacciones cuantificadas discretas entre el cristal y los fotones de rayos X incidentes, donde la reacción del el cristal está limitado por una regla cuántica simple, y los fotones incidentes se comportan como partículas libres. Duane argumentó que la dispersión discreta observada (es decir, un fotón a la vez) no puede explicarse de manera simple mediante teorías basadas en ondas clásicas.

Duane aplicó su hipótesis para derivar la Ley de Bragg para los ángulos de dispersión de los rayos X por un cristal. Posteriormente, también se vio que los principios que Duane avanzaba proporcionaban las relaciones correctas para la dispersión óptica en las redes y la difracción de los electrones. 

Primeros desarrollos en la teoría cuántica [ editar ]

En 1905, Albert Einstein presentó la hipótesis de que el efecto fotoeléctrico podría explicarse si un haz de luz estuviera compuesto por una corriente de partículas discretas ( fotones ), cada una con una energía ( E = hf ) la energía ( E ) de cada fotón. igual a la frecuencia ( f ) multiplicada por la constante de Planck ( h ). ^[3] Más tarde, en 1916 Einstein.También demostró que el retroceso de las moléculas durante la emisión y absorción de fotones era consistente con, y necesario para, una descripción cuántica de los procesos de radiación térmica. Cada fotón actúa como si impartira un impulso de impulso p igual a su energía dividida por la velocidad de la luz, ( p = E / c ). ^[4]

En 1925, poco antes del desarrollo de la descripción matemática completa de la mecánica cuántica, Born atrajo la atención de Einstein sobre la idea entonces nueva de " las ondas de De Broglie ". Escribió: "Me parece que existe una conexión de tipo completamente formal entre estos y esa otra explicación mística de la reflexión, la difracción y la interferencia utilizando la cuantificación 'espacial' que Compton y Duane propusieron y que ha sido estudiada más de cerca por Epstein y Ehrenfest. . " ^{[5] [6] [7]}Al examinar la hipótesis de Duane sobre la transferencia cuantificada del momento de la traducción, ya que explicaba la difracción de rayos X por cristales, ^[1] y su seguimiento por Compton, ^[8] Epstein y Ehrenfest habían escrito "Los fenómenos de la difracción de Fraunhofer pueden tratarse así como sobre la base de la teoría ondulatoria de la luz, así como por una combinación del concepto de cuantos de luz con el principio de correspondencia de Bohr ". Más tarde, Born y Biem escribieron: "Todo físico debe aceptar el gobierno de Duane". ^[9]

Usando la hipótesis de Duane de 1923, la antigua teoría cuántica y la relación de Broglie , que vinculan las longitudes de onda y las frecuencias con la energía y los momentos, da cuenta de la difracción de las partículas materiales. ^{[10] [11] [12] [13]}

El experimento de difracción de dos rendijas de Young, con análisis de Fourier [ editar ]

Gregory Breit en 1923 señaló que tal transferencia de momento de traslación cuántica, examinada por el análisis de Fourier en la antigua teoría cuántica, explica la difracción incluso por solo dos cortes. ^[14] Más recientemente, se ha demostrado experimentalmente la difracción de partículas de dos rendijas con la acumulación de partículas individuales de patrones de difracción de electrones, como se puede ver en la foto en esta referencia ^[15] [16] y con átomos de helio y moléculas. ^[17]

Difracción de Bragg [ editar ]

Una onda de longitud de onda λ incide en un ángulo θ sobre una serie de planos atómicos de cristal, que se encuentran en una orientación característica, separados por una distancia característica d . Dos rayos del haz se reflejan en planos separados por la distancia nd , donde n denota el número de planos de la separación, y se denomina orden de difracción. Si θ es tal que

$${\ displaystyle 2d \ sin \ theta = n \ lambda \ ,,}

luego existe una interferencia constructiva entre los rayos reflejados, que puede observarse en el patrón de interferencia. Esta es la ley de Bragg .

El mismo fenómeno, considerado desde un punto de vista diferente, se describe mediante un haz de partículas de momento p que inciden en el ángulo θ sobre la misma serie de planos atómicos de cristal. Se supone que un colectivo de n tales planos atómicos refleja la partícula, transfiriendo a ella un momento nP , donde P es un momento característico de los planos reflectantes, en la dirección perpendicular a ellos. El reflejo es elástico, con una transferencia insignificante de energía cinética, porque el cristal es masivo. El momento inicial de la partícula en la dirección perpendicular a los planos reflectantes fue p sin θ. Para la reflexión, el cambio de cantidad de movimiento de la partícula en esa dirección debe ser 2 p pecado θ . Por consiguiente,

$${\ displaystyle 2p \ sin \ theta = nP \ ,.}

Esto concuerda con la condición Bragg observada para el patrón de difracción si θ es tal que

$${\ displaystyle p / d = P / \ lambda} o $${\ displaystyle p \ lambda = Pd \ ,.}

Es evidente que p proporciona información para un punto de vista de partículas, mientras que λ proporciona información para un punto de vista de onda. Antes del descubrimiento de la mecánica cuántica, de Broglie descubrió en 1923 cómo traducir las informaciones del punto de vista de la partícula y la información del punto de vista de la onda para las partículas materiales: ^[18] [19] usa la constante de Planck y recuerda la fórmula de Einstein para los fotones

$${\ displaystyle p \ lambda = h \ ,.}

De ello se deduce que la cantidad característica del momento de traslación P para los planos cristalinos de interés viene dada por

$${\ displaystyle P = h / d \ ,.}^[20] [21]

Mecánica cuántica [ editar ]

Según Ballentine, la propuesta de Duane de la transferencia de momento de traslación cuántica ya no es necesaria como una hipótesis especial; más bien, se predice como un teorema de la mecánica cuántica. ^[22]También se presenta en términos de mecánica cuántica por otros escritores actuales. ^{[23] [24] [25] [26] [27] [28]}

Difracción [ editar ]

Se puede considerar una partícula con momento de traslación. $${\ displaystyle {\ vec {p}}}, una cantidad vectorial.

En el ejemplo más simple de dispersión de dos partículas en colisión con los momentos iniciales.$${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {i1}, {\ vec {p}} _ {i2}}, resultando en momenta final $${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {f1}, {\ vec {p}} _ {f2}}. La transferencia de impulso está dada por

$${\ displaystyle {\ vec {q}} = {\ vec {p}} _ {i1} - {\ vec {p}} _ {f1} = {\ vec {p}} _ {f2} - {\ vec {p}} _ {i2}}

Donde la última identidad expresa la conservación del impulso . ^[29]

En difracción, la diferencia de los momentos de la partícula dispersada y la partícula incidente se llama transferencia de momento .

Tales fenómenos también pueden considerarse desde un punto de vista de onda, mediante el uso de la constante de Planck reducida $${\ displaystyle \ hbar}. El numero de onda $${\ displaystyle k}es el valor absoluto del vector de onda $${\ displaystyle {\ vec {k}} = {\ vec {p}} / \ hbar}, que está relacionado con la longitud de onda $${\ displaystyle \ lambda = 2 \ pi / k}. A menudo, la transferencia de impulso se da en unidades de número de onda en longitud recíproca $${\ displaystyle Q = k_ {f} -k_ {i}}

La transferencia de impulso es una cantidad importante porque $${\ displaystyle \ Delta x = \ hbar / | q |} Es una medida mejor para la resolución a distancia típica de la reacción que los propios momentos.

La difracción de Bragg ocurre en la red cristalina atómica . Conserva la energía de las partículas y por eso se llama dispersión elástica . Los números de onda de las partículas finales e incidentes,$${\ displaystyle k_ {f}} y $${\ displaystyle k_ {i}}, respectivamente, son iguales. Sólo los cambios de dirección por un vector de red recíproca$${\ displaystyle {\ vec {G}} = {\ vec {Q}} = {\ vec {k}} _ {f} - {\ vec {k}} _ {i}} Con relación al espaciado de la red. $${\ displaystyle G = 2 \ pi / d}. A medida que se conserva el impulso, la transferencia del impulso se produce al momento del cristal .

Para la investigación de la materia condensada , los neutrones , los rayos X y la difracción de electrones en laactualidad se estudian comúnmente como procesos de transferencia de momento. ^[30] [31]

Cuentas físicas de onda y de la difracción de partículas [ editar ]

Los fenómenos pueden ser analizados de varias maneras apropiadas. Los objetos difractados entrantes y salientes pueden tratarse por separado como partículas o como ondas. El objeto de difracción puede tratarse como un objeto macroscópico clásico sin características cuánticas, o puede tratarse como un objeto físico con un carácter esencialmente cuántico. Se han considerado varios casos de estas formas de análisis, de los cuales hay ocho. Por ejemplo, Schrödinger propuso una cuenta puramente de onda del efecto Compton. ^[32] [33]

Difractor clásica [ editar ]

Un difractor clásico carece de carácter cuántico. Para la difracción, la física clásica generalmente considera el caso de una onda entrante y saliente, no de haces de partículas. Cuando se descubrió la difracción de haces de partículas mediante un experimento, a muchos escritores les pareció apropiado seguir pensando en términos de los difractores clásicos, formalmente pertenecientes al aparato de laboratorio macroscópico, y del carácter de onda que pertenece al objeto cuántico que sufre la difracción.

Parece que Heisenberg en 1927 pensaba en términos de un difractor clásico. Según Bacciagaluppi & Crull (2009), Heisenberg reconoció en 1927 que "el electrón se desvía solo en direcciones discretas que dependen de las propiedades globales de la rejilla". Sin embargo, parece que esto no lo llevó a pensar que las propiedades globales colectivas de la rejilla debían convertirlo en un difractor con las propiedades cuantitativas correspondientes, como para suministrar al electrón difractado una trayectoria definida. Parece, más bien, que pensó que la difracción era necesariamente una manifestación del carácter de onda que pertenece al electrón. Parece que sintió que esto era necesario para explicar la interferencia cuando el electrón se detectaba lejos del difractor. ^[34]Por lo tanto, parece posible que en 1927, Heisenberg no estuviera pensando en términos de la hipótesis de Duane sobre la transferencia cuántica del impulso translativo. Para 1930, sin embargo, Heisenberg pensó lo suficiente en la hipótesis de Duane para exponerla en su libro de texto. ^[20]

Difractor cuántico [ editar ]

Un difractor cuántico tiene un carácter esencialmente cuántico. Fue concebido por primera vez en 1923 por William Duane, en los días de la antigua teoría cuántica , para explicar la difracción de los rayos X como partículas de acuerdo con la nueva concepción de Einstein sobre ellos, como portadores de cuantos de momento. Se imaginó que el difractor mostraba una transferencia cuántica del momento de traslación, en estrecha analogía con la transferencia del momento angular en múltiplos enteros de la constante de Planck. Se propuso que el cuanto del momento de traslación se explicara por las propiedades físicas cuánticas globales del difractor que surgen de su periodicidad espacial. Esto está en consonancia con el pensamiento mecánico cuántico actual, en el que los cuerpos físicos macroscópicos se conciben como modos colectivos de apoyo, ^{[35] se}manifiestan, por ejemplo, en cuasipartículas cuantificadas, como los fonones . Formalmente, el difractor pertenece al sistema cuántico, no al aparato de laboratorio clásico.

La transformación Duru-Kleinert , llamada así por İsmail Hakkı Duru y Hagen Kleinert , es un método matemático para resolver integrales de trayectoria de sistemas físicos con potenciales singulares, que es necesario para la solución de todas las integrales de trayectoria atómica debido a la presencia de potenciales de Coulomb (singular me gusta$${\ displaystyle 1 / r}). La transformación Duru-Kleinert reemplaza la integral divergente de la ruta de tiempo dividida de Richard Feynman (que, por lo tanto, no existe) por una convergente bien definida.

La teoría dinámica del campo medio ( DMFT ) es un método para determinar la estructura electrónica de materiales fuertemente correlacionados . En tales materiales, la aproximación de los electrones independientes, que se utiliza en la teoría de la densidad funcional y en los cálculos habituales de la estructura de la banda , se rompe. La teoría del campo medio dinámico, un tratamiento no perturbativo de las interacciones locales entre electrones, cierra la brecha entre el límite de gas de electrones casi libre y el límite atómico de la física de la materia condensada . ^[1]

DMFT consiste en mapear una de muchos cuerpos problema de celosía a una de muchos cuerpos local deproblema, llamado un modelo de impureza. ^[2] Si bien el problema de la red es en general intratable, el modelo de impureza generalmente se puede resolver a través de varios esquemas. La cartografía en sí misma no constituye una aproximación. La única aproximación hecha en esquemas DMFT ordinarios es asumir que la energía propia de la red es una cantidad (local) independiente del impulso. Esta aproximación se vuelve exacta en el límite de las celosías con una coordinación infinita . ^[3]

Uno de los principales éxitos de DMFT es describir la transición de fase entre un metal y un aislante de Mottcuando aumenta la fuerza de las correlaciones electrónicas . Se ha aplicado con éxito a materiales reales, en combinación con la aproximación de densidad local de la teoría funcional de la densidad. 

Teoría de relación en el sentido de campo [ editar ]

El tratamiento con DMFT de los modelos cuánticos de celosía es similar al tratamiento de la teoría del campo dela media (MFT) de los modelos clásicos, como el modelo de Ising . ^[6] En el modelo de Ising, el problema de red se mapea en un problema de sitio único efectivo, cuya magnetización es reproducir la magnetización de red a través de un "campo medio" efectivo. Esta condición se denomina condición de autoconsistencia. Se estipula que los observables de sitio único deben reproducir la red "observables" observables por medio de un campo efectivo. Si bien el Hamiltoniano de Ising del sitio N es difícil de resolver analíticamente (hasta la fecha, existen soluciones analíticas solo para el caso 1D y 2D), el problema del sitio único se resuelve fácilmente.

Del mismo modo, DMFT asigna un problema de celosía ( por ejemplo, el modelo de Hubbard ) a un problema de un solo sitio. En DMFT, lo observable local es la función de Green local . Por lo tanto, la condición de autoconsistencia para DMFT es que la función de Green de la impureza reproduzca la función de Green local de la red a través de un campo medio efectivo que, en DMFT, es la función de hibridación$${\ displaystyle \ Delta (\ tau)}del modelo de impureza. DMFT debe su nombre al hecho de que el campo medio$${\ displaystyle \ Delta (\ tau)}Es dependiente del tiempo, o dinámica. Esto también apunta a la gran diferencia entre Ising MFT y DMFT: Ising MFT mapea el problema de N-spin en un solo sitio, problema de single-spin. La DMFT asigna el problema de la red a un problema de un solo sitio, pero este último sigue siendo fundamentalmente un problema de N-cuerpos que captura las fluctuaciones temporales debidas a las correlaciones electrón-electrón.

Descripción de DMFT para el modelo de Hubbard [ editar ]

El mapeo DMFT [ editar ]

Modelo Hubbard de una sola órbita [ editar ]

El modelo Hubbard ^[7] describe la interacción in situ entre electrones de espín opuestos mediante un solo parámetro,$${\ displaystyle U}. El Hamiltoniano Hubbard puede tomar la siguiente forma:

$${\ displaystyle H _ {\ text {Hubbard}} = t \ sum _ {\ langle ij \ rangle \ sigma} c_ {i \ sigma} ^ {\ dagger} c_ {j \ sigma} + U \ sum _ {i} n_ {i \ uparrow} n_ {i \ downarrow}}

donde, al suprimir los índices de espín 1/2 $${\ displaystyle \ sigma}, $${\ displaystyle c_ {i} ^ {\ dagger}, c_ {i}} denota los operadores de creación y aniquilación de un electrón en un orbital localizado en el sitio $${\ displaystyle i}y $${\ displaystyle n_ {i} = c_ {i} ^ {\ dagger} c_ {i}}.

Se han hecho los siguientes supuestos:

• solo un orbital contribuye a las propiedades electrónicas (como podría ser el caso de los átomos de cobre en cupratos superconductores , cuyos$${\ displaystyle d}-las bandas no son degeneradas),
• los orbitales están tan localizados que solo saltan los vecinos más cercanos $${\ displaystyle t} es tomado en cuenta

El problema auxiliar: el modelo de impureza de Anderson [ editar ]

El modelo de Hubbard es, en general, intratable bajo las técnicas de expansión de perturbación habituales. DMFT mapea este modelo de celosía en el llamado modelo de impureza de Anderson (AIM). Este modelo describe la interacción de un sitio (la impureza) con un "baño" de niveles electrónicos (descrito por los operadores de aniquilación y creación).$${\ displaystyle a_ {p \ sigma}} y $${\ displaystyle a_ {p \ sigma} ^ {\ dagger}}) a través de una función de hibridación. El modelo de Anderson correspondiente a nuestro modelo de sitio único es un modelo de impureza de Anderson de órbita única, cuya formulación hamiltoniana, sobre la supresión de algunos índices de espín 1/2.$${\ displaystyle \ sigma}, es:

$${\ displaystyle H _ {\ text {AIM}} = \ underbrace {\ sum _ {p} \ epsilon _ {p} a_ {p} ^ {\ dagger} a_ {p}} _ {H _ {\ text {bath} }} + \ underbrace {\ sum _ {p \ sigma} \ left (V_ {p} ^ {\ sigma} c _ {\ sigma} ^ {\ dagger} a_ {p \ sigma} + hc \ right)} _ { H _ {\ text {mix}}} + \ underbrace {Un _ {\ uparrow} n _ {\ downarrow} - \ mu \ left (n _ {\ uparrow} + n _ {\ downarrow} \ right)} _ {H _ {\ text {loc}}}}

dónde

• $${\ displaystyle H _ {\ text {bath}}} Describe los niveles electrónicos no correlacionados. $${\ displaystyle \ epsilon _ {p}} del baño
• $${\ displaystyle H _ {\ text {loc}}} Describe la impureza, donde dos electrones interactúan con el costo energético. $${\ displaystyle U}
• $${\ displaystyle H _ {\ text {mix}}} describe la hibridación (o acoplamiento) entre la impureza y el baño a través de términos de hibridación $${\ displaystyle V_ {p} ^ {\ sigma}}

La función de este modelo de Matsubara Green, definida por $${\ displaystyle G _ {\ text {imp}} (\ tau) = - \ langle Tc (\ tau) c ^ {\ dagger} (0) \ rangle}, está totalmente determinado por los parámetros. $${\ displaystyle U, \ mu} y la llamada función de hibridación $${\ displaystyle \ Delta _ {\ sigma} (i \ omega _ {n}) = \ sum _ {p} {\ frac {| V_ {p} ^ {\ sigma} | ^ {2}} {i \ omega _ {n} - \ epsilon _ {p}}}}, que es la transformada de Fourier en el tiempo imaginario de $${\ displaystyle \ Delta _ {\ sigma} (\ tau)}.

Esta función de hibridación describe la dinámica de los electrones que entran y salen del baño. Debe reproducir la dinámica de la red, de modo que la función de la impureza de Green sea la misma que la función de la red local de Green. Está relacionado con la función de Green que no interactúa por la relación:

$${\ displaystyle ({\ mathcal {G}} _ {0}) ^ {- 1} (i \ omega _ {n}) = i \ omega _ {n} + \ mu - \ Delta (i \ omega _ { norte})} (1)

Resolver el modelo de impureza de Anderson consiste en calcular observables como la función de Green que interactúa $${\ displaystyle G (i \ omega _ {n})} para una función de hibridación dada $${\ displaystyle \ Delta (i \ omega _ {n})} y $${\ displaystyle U, \ mu}. Es un problema difícil pero no intratable. Existe una serie de formas de resolver el AIM, tales como

• El grupo de renormalización numérica.
• Diagonalización exacta
• Teoría de la perturbación iterativa
• Aproximación sin cruce
• Algoritmos de Monte Carlo cuánticos en tiempo continuo

Ecuaciones de autoconsistencia [ editar ]

La condición de autoconsistencia requiere la impureza de la función de Green. $${\ displaystyle G _ {\ mathrm {imp}} (\ tau)} Para coincidir con la función de la celosía verde local. $${\ displaystyle G_ {ii} (\ tau) = - \ langle Tc_ {i} (\ tau) c_ {i} ^ {\ dagger} (0) \ rangle}:

$${\ displaystyle G _ {\ mathrm {imp}} (i \ omega _ {n}) = G_ {ii} (i \ omega _ {n}) = \ sum _ {k} {\ frac {1} {i \ omega _ {n} + \ mu - \ epsilon (k) - \ Sigma (k, i \ omega _ {n})}}}

dónde $${\ displaystyle \ Sigma (k, i \ omega _ {n})} Denota la celosía de la propia energía.

Aproximación de DMFT: localidad de la red de energía propia [ editar ]

Las únicas aproximaciones de DMFT (aparte de la aproximación que se puede hacer para resolver el modelo de Anderson) consiste en descuidar las fluctuaciones espaciales de la energía de la red , equiparándola con la energía de la impureza:

$${\ displaystyle \ Sigma (k, i \ omega _ {n}) \ approx \ Sigma _ {imp} (i \ omega _ {n})}

Esta aproximación se vuelve exacta en el límite de las celosías con coordinación infinita, es decir, cuando el número de vecinos de cada sitio es infinito. De hecho, uno puede mostrar que en la expansión esquemática de la red de energía propia, solo los diagramas locales sobreviven cuando uno entra en el límite de coordinación infinito.

Por lo tanto, como en las teorías clásicas del campo medio, se supone que la DMFT es más precisa a medida que aumenta la dimensionalidad (y, por lo tanto, el número de vecinos). Dicho de otra manera, para las dimensiones bajas, las fluctuaciones espaciales harán que la aproximación de DMFT sea menos confiable.

El bucle DMFT [ editar ]

Para encontrar la función de la red local de Green, uno tiene que determinar la función de hibridación de modo que la función de la impureza correspondiente de Green coincida con la función de la red local de Green buscado. La forma más extendida de resolver este problema es mediante el uso de un método de recursión hacia adelante, es decir, para un determinado$${\ displaystyle U}, $${\ displaystyle \ mu} y temperatura $${\ displaystyle T}:

1. Comience con una conjetura para $${\ displaystyle \ Sigma (k, i \ omega _ {n})} (típicamente, $${\ displaystyle \ Sigma (k, i \ omega _ {n}) = 0})
2. Hacer la aproximación de DMFT: $${\ displaystyle \ Sigma (k, i \ omega _ {n}) \ approx \ Sigma _ {\ mathrm {imp}} (i \ omega _ {n})}
3. Calcular la función de Green local. $${\ displaystyle G _ {\ mathrm {loc}} (i \ omega _ {n})}
4. Calcular el campo de la media dinámica. $${\ displaystyle \ Delta (i \ omega) = i \ omega _ {n} + \ mu -G _ {\ mathrm {loc}} ^ {- 1} (i \ omega _ {n}) - \ Sigma _ {\ mathrm {imp}} (i \ omega _ {n})}
5. Resuelve el objetivo de una nueva impureza. Función de Green. $${\ displaystyle G _ {\ mathrm {imp}} (i \ omega _ {n})}, extrae su autoenergía: $${\ displaystyle \ Sigma _ {\ mathrm {imp}} (i \ omega _ {n}) = ({\ mathcal {G}} _ {0}) ^ {- 1} (i \ omega _ {n}) - (G _ {\ mathrm {imp}}) ^ {- 1} (i \ omega _ {n})}
6. Vuelva al paso 2 hasta la convergencia, es decir, cuando $${\ displaystyle G _ {\ mathrm {imp}} ^ {n} = G _ {\ mathrm {imp}} ^ {n + 1}}.

Aplicaciones [ editar ]

La función de celosía verde local y otras observables de impurezas se pueden usar para calcular una cantidad de cantidades físicas en función de las correlaciones. $${\ displaystyle U}, ancho de banda, relleno (potencial químico $${\ displaystyle \ mu}), y la temperatura $${\ displaystyle T}:

• La función espectral (que da la estructura de la banda).
• la energía cinética
• La doble ocupación de un sitio.
• Funciones de respuesta (compresibilidad, conductividad óptica, calor específico).

En particular, la caída de la doble ocupación como $${\ displaystyle U} Aumentos es una firma de la transición de Mott.

Extensiones de DMFT [ editar ]

DMFT tiene varias extensiones, extendiendo el formalismo anterior a problemas multi-orbitales, multi-sitio.

Extensión multi-orbital [ editar ]

La DMFT puede extenderse a los modelos Hubbard con múltiples orbitales, es decir, con interacciones electrón-electrón de la forma $${\ displaystyle U _ {\ alpha \ beta} n _ {\ alpha} n _ {\ beta}} dónde $${\ displaystyle \ alpha} y $${\ displaystyle \ beta}denotan diferentes orbitales. La combinación con la teoría funcional de la densidad (DFT + DMFT) ^[4] [8] permite un cálculo realista de los materiales correlacionados. ^[9]

DMFT extendido [ editar ]

El DMFT extendido produce una energía propia de impureza local para interacciones no locales y, por lo tanto, nos permite aplicar el DMFT para modelos más generales, como el modelo tJ .

Cluster DMFT [ editar ]

Para mejorar la aproximación de la DMFT, el modelo de Hubbard puede mapearse en un problema de impureza (agrupación) de múltiples sitios, lo que permite agregar cierta dependencia espacial a la energía propia de la impureza. Los grupos contienen de 4 a 8 sitios a baja temperatura y hasta 100 sitios a alta temperatura.

Extensiones esquemáticas [ editar ]

Las dependencias espaciales de la energía propia más allá de la DMFT, incluidas las correlaciones de largo alcance en la vecindad de una transición de fase, también se pueden obtener a través de una combinación de técnicas analíticas y numéricas. El punto de partida de la aproximación de vértice dinámico ^[10] y del enfoque de fermión dual es el vértice local de dos partículas .

No-equilibrio [ editar ]

Se ha empleado DMFT para estudiar el transporte sin equilibrio y las excitaciones ópticas. Aquí, el cálculo confiable de la función Verde de AIM fuera de equilibrio sigue siendo un gran desafío.