MECÁNICA CUÁNTICA

 potencial de doble pozo es uno de una serie de potenciales quárticos de considerable interés en la mecánica cuántica , en la teoría cuántica de campos y en otros lugares para la exploración de diversos fenómenos físicos o propiedades matemáticas, ya que en muchos casos permite el cálculo explícito sin sobrepasar. simplificación.

Así, el "potencial de pozo doble simétrico" sirvió durante muchos años como un modelo para ilustrar el concepto de instantón como una configuración pseudo-clásica en una teoría de campo euclideante . ^[1] En el contexto mecánico cuántico más simple, este potencial sirvió como modelo para la evaluación de las integrales de trayectoria de Feynman . ^[2] o la solución de la ecuación de Schrödinger por varios métodos con el fin de obtener explícitamente los valores propios de energía.

El "potencial simétrico invertido de doble pozo", por otro lado, sirvió como un potencial no trivial en la ecuación de Schrödinger para el cálculo de las tasas de decaimiento ^[3] y la exploración del comportamiento de gran orden de las expansiones asintóticas . ^[4]

La tercera forma del potencial quártico es la de un "oscilador armónico simple perturbado" o "oscilador anharmónico puro" que tiene un espectro de energía puramente discreto.

El cuarto tipo de potencial de cuarzo posible es el de "forma asimétrica" ​​de uno de los dos primeros mencionados anteriormente.

El doble pozo y otros potenciales quárticos pueden tratarse mediante una variedad de métodos, los métodos principales son (a) un método de perturbación (el de B. Dingle y HJW Müller-Kirsten ^[5] ) que requiere la imposición de condiciones de frontera, (b) el método WKB y (c) el método integral de trayectoria. Todos los casos se tratan en detalle en el libro de HJW Müller-Kirsten. 

El pozo doble simétrico [ editar ]

El interés principal en la literatura se ha centrado (por razones relacionadas con la teoría de campo) en el pozo doble simétrico (potencial), y allí en el estado fundamental de la mecánica cuántica. Dado que se trata de un túnel a través de la joroba central del potencial, el cálculo de las eigenenergías de la ecuación de Schrödingerpara este potencial no es trivial. El caso del estado fundamental está mediado por configuraciones pseudoclásicas conocidas como instantón y anti-instantón. En forma explícita estas son funciones hiperbólicas. Como configuraciones pseudoclásicas, estas aparecen naturalmente en consideraciones semiclásicas.- la suma de los pares de instancias instantáneas anti-instantáneas (ampliamente separados) se conoce como la aproximación de gas diluido. La eigenenergía del estado fundamental finalmente obtenida es una expresión que contiene el exponencial de la acción euclidiana del instante. Esta es una expresión que contiene el factor.$${\ displaystyle 1 / \ hbar} y por lo tanto se describe como un efecto no-masturbativo (clásicamente).

La estabilidad de la configuración de instantón en la teoría de la integral de trayectoria de una teoría de campo escalar con autointeracción simétrica de doble pozo se investiga mediante la ecuación de pequeñas oscilaciones sobre el instante. Uno encuentra que esta ecuación es una ecuación de Pöschl-Teller (es decir, una ecuación diferencial de segundo orden como la ecuación de Schrödinger con potencial de Pöschl-Teller ) con valores propios no negativos. La no negatividad de los valores propios es indicativa de la estabilidad del instante. ^[7]

Como se indicó anteriormente, la instancia instantánea es la configuración de pseudopartículas definida en una línea infinita de tiempo euclidiano que se comunica entre los dos pozos del potencial y es responsable del estado fundamental del sistema. Las configuraciones correspondientes correspondientes a estados superiores, es decir, excitados, son instancias periódicas definidas en un círculo del tiempo euclidiano que en forma explícita se expresan en términos de funciones elípticas jacobianas (la generalización de las funciones trigonométricas). La evaluación de la integral de trayectoria en estos casos implica integrales correspondientemente elípticas. La ecuación de pequeñas fluctuaciones sobre estos instantes periódicos es una ecuación de Lamé cuyas soluciones son funciones de Lamé.. En casos de inestabilidad (en cuanto al potencial de doble pozo invertido), esta ecuación posee valores propios negativos indicativos de esta inestabilidad, es decir, decaimiento. ^[7]

La aplicación del método de perturbación de Dingle y Müller (aplicado originalmente a la ecuación de Mathieu, es decir, una ecuación de Schrödinger con potencial coseno) requiere la explotación de las simetrías de parámetros de la ecuación de Schrödinger para el potencial quártico. Uno se expande alrededor de uno de los dos mínimos del potencial. Además, este método requiere la coincidencia de diferentes ramas de soluciones en dominios de superposición. La aplicación de condiciones de contorno finalmente produce (como en el caso del potencial periódico) el efecto no perturbador.

En términos de parámetros como en la ecuación de Schrödinger para el potencial de pozo doble simétrico en la siguiente forma

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (z)} {dz ^ {2}}} + [EV (z)] y (z) = 0, \; \; \; V (z) = - {\ frac {1} {4}} z ^ {2} h ^ {4} + {\ frac {1} {2}} c ^ {2} z ^ {4}, \; \; c ^ { 2}> 0, h ^ {4}> 0,}

los valores propios para $${\ displaystyle q_ {0} = 1,3,5, ...} se encuentran (véase el libro de Müller-Kirsten, fórmula (18.175b), pág. 525)

$${\ displaystyle E _ {\ pm} (q_ {0}, h ^ {2}) = - {\ frac {h ^ {8}} {2 ^ {5} c ^ {2}}} + {\ frac { 1} {\ sqrt {2}}} q_ {0} h ^ {2} - {\ frac {c ^ {2} (3q_ {0} ^ {2} +1)} {2h ^ {4}}} - {\ frac {{\ sqrt {2}} c ^ {4} q_ {0}} {8h ^ {10}}} (17q_ {0} ^ {2} +19) + O ({\ frac {1 } {h ^ {16}}})}

$${\ displaystyle \; \; \; \ mp {\ frac {2 ^ {q_ {0} +1} h ^ {2} (h ^ {6} / 2c ^ {2}) ^ {q_ {0} / 2}} {{\ sqrt {\ pi}} 2 ^ {q_ {0} / 4} [(q_ {0} -1) / 2]!}} E ^ {- h ^ {6} / 6 {\ sqrt {2}} c ^ {2}}.}

Claramente estos valores propios son asintóticamente ($${\ displaystyle h ^ {2} \ rightarrow \ infty}) degenerar como se espera de la parte armónica del potencial. Observe que los términos de la parte perturbativa del resultado son alternativamente par o impares en$${\ displaystyle q_ {0}} y $${\ displaystyle h ^ {2}}(como en los resultados correspondientes para funciones de Mathieu , funciones de Lamé , funciones de onda esferoidal prolada , funciones de onda esferoidal oblata y otras).

En contextos de teoría de campo, el potencial de pozo doble simétrico anterior se escribe a menudo ($${\ displaystyle \ phi} siendo un campo escalar)

$${\ displaystyle V (\ phi) = {\ frac {m ^ {4}} {2g ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {g ^ {2} \ phi ^ {2}} {m ^ {2}}} \ derecha) ^ {2},}

Y el instante es la solución. $${\ displaystyle \ phi _ {c} (\ tau)} de la ecuación de Newton

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ phi} {d \ tau ^ {2}}} = V '(\ phi), \; \; \; {\ frac {1} {2}} \ izquierda ({\ frac {d \ phi} {d \ tau}} \ derecha) ^ {2} -V (\ phi) = - E_ {cl} = 0}

($${\ displaystyle \ tau} siendo el tiempo euclidiano), es decir

$${\ displaystyle \ phi _ {c} (\ tau) = {\ frac {m} {g}} \ tanh \ left [m (\ tau - \ tau _ {0}) \ right].

La ecuación de pequeñas fluctuaciones. $${\ displaystyle \ eta} acerca de $${\ displaystyle \ phi _ {c}, \ phi = \ phi _ {c} + \ eta,} es la ecuación de Pöschl-Teller (ver potencial de Pöschl-Teller )

$${\ displaystyle \ left [- {\ frac {d ^ {2}} {d \ tau ^ {2}}} + V '' (\ phi _ {c}) \ right] \ eta _ {n} (\ tau) = \ omega _ {n} ^ {2} \ eta _ {n} (\ tau),}

con

$${\ displaystyle V '' (\ phi _ {c}) = 4m ^ {2} - {\ frac {6m ^ {2}} {\ cosh ^ {2} m (\ tau - \ tau _ {0}) }}.}

Dado que todos los valores propios $${\ displaystyle \ omega _ {n} ^ {2}} son positivos o cero, la configuración de instanton es estable y no hay deterioro.

En el caso más general de $${\ displaystyle E_ {cl} \ neq 0}La solución clásica es la instancia periódica.

$${\ displaystyle \ phi _ {c} (\ tau) = {\ frac {kb (k)} {g}} sn [b (k) (\ tau - \ tau _ {0})], \; \; \; b (k) = m \ left ({\ frac {2} {1 + k ^ {2}}} \ right) ^ {1/2},}

dónde $${\ displaystyle k}es el módulo elíptico de la función elíptica jacobiana periódica $${\ displaystyle sn}. La pequeña ecuación de fluctuación es en este caso general una ecuación de Lamé . En el limite$${\ displaystyle k = 1, E_ {cl} = 0} la solución $${\ displaystyle \ phi _ {c}} se convierte en la solución instantánea de vacío,

$${\ displaystyle \ phi _ {c} = {\ frac {m} {g}} \ tanh [m (\ tau - \ tau _ {0})].}

El potencial de doble pozo invertido [ editar ]

La teoría de la perturbación junto con el emparejamiento de soluciones en dominios de superposición e imposición de condiciones de contorno (diferentes de las del pozo doble) se puede usar nuevamente para obtener los valores propios de la ecuación de Schrödinger para este potencial. En este caso, sin embargo, uno se expande alrededor de la vaguada central del potencial. Por lo tanto, los resultados son diferentes de los anteriores.

En términos de parámetros como en la ecuación de Schrödinger para el potencial de doble pozo invertido en la siguiente forma

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (z)} {dz ^ {2}}} + [EV (z)] y (z) = 0, \; \; \; V (z) = {\ frac {1} {4}} h ^ {4} z ^ {2} - {\ frac {1} {2}} c ^ {2} z ^ {4}, \; \; h ^ {4 }> 0, \; c ^ {2}> 0,}

los valores propios para $${\ displaystyle q_ {0} = 1,3,5, ...} se encuentran (ver libro de Müller-Kirsten, fórmula (18.86), pág. 503)

$${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} q_ {0} h ^ {2} - {\ frac {3c ^ {2}} {4h ^ {4}}} (q_ {0} ^ { 2} +1) - {\ frac {q_ {0} c ^ {4}} {h ^ {10}}} (4q_ {0} ^ {2} +29) + O ({\ frac {1} { h ^ {16}}}) + i {\ frac {2 ^ {q_ {0}} h ^ {2} (h ^ {6} / 2c ^ {2}) ^ {q_ {0} / 2}} {(2 \ pi) ^ {1/2} [(q_ {0} -1) / 2]!}} E ^ {- h ^ {6} / 6c ^ {2}}.}

La parte imaginaria de esta expresión concuerda con el resultado de CM Bender y TT Wu (ver su fórmula (3.36) y establecer $${\ displaystyle \ hbar = 1}, y en su notación. $${\ displaystyle q_ {0} = 2K + 1, h ^ {6} / 2c ^ {2} = \ epsilon}). ^[8] Este resultado juega un papel importante en la discusión e investigación del comportamiento de orden grande de la teoría de la perturbación.

El oscilador anharmónico puro [ editar ]

En términos de parámetros como en la ecuación de Schrödinger para el oscilador anharmónico puro en la siguiente forma

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (z)} {dz ^ {2}}} + [EV (z)] y (z) = 0, \; \; \; V (z) = {\ frac {1} {4}} h ^ {4} z ^ {2} + {\ frac {1} {2}} c ^ {2} z ^ {4}, \; \; h ^ {4 }> 0, \; c ^ {2}> 0,}

los valores propios para $${\ displaystyle q = q_ {0} = 1,3,5, ...} se encuentran para ser

$${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} qh ^ {2} + {\ frac {3c ^ {2}} {4h ^ {4}}} (q ^ {2} +1) - { \ frac {c ^ {4}} {h ^ {10}}} q (4q ^ {2} +29) + O ({\ frac {1} {h ^ {16}}}).}

Más términos pueden ser calculados fácilmente. Observe que los coeficientes de la expansión son alternativamente par o impares en$${\ displaystyle q} y $${\ displaystyle h ^ {2}}, como en todos los demás casos. Este es un aspecto importante de las soluciones de la ecuación diferencial para los potenciales quárticos.

Comentarios generales [ editar ]

Los resultados anteriores para el pozo doble y el pozo doble invertido también se pueden obtener mediante el método de la integral de trayectoria (a través de instantes periódicos, cf. instantones ), y el método WKB, aunque con el uso de integrales elípticas y la aproximación de Stirling de la función gamma , todo lo cual dificulta el cálculo. La propiedad de simetría de la parte perturbativa en los cambios q → - q ,$${\ displaystyle h ^ {2}} → -$${\ displaystyle h ^ {2}}Los resultados solo se pueden obtener en la derivación de la ecuación de Schrödinger, que es, por lo tanto, la mejor y más correcta forma de obtener el resultado. Esta conclusión se apoya en investigaciones de otras ecuaciones diferenciales de segundo orden, como la ecuación de Mathieu y la ecuación de Lamé, que exhiben propiedades similares en sus ecuaciones de valores propios. Además, en cada uno de estos casos (doble pozo, doble pozo invertido, potencial coseno), la ecuación de pequeñas fluctuaciones sobre la configuración clásica es una ecuación de Lamé.

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Proceso de Drell-Yan: un quark de un hadrón y un antiquark de otro hadron se aniquilan para crear un par de leptones a través del intercambio de un fotón virtual.

El proceso Drell-Yan se produce en la dispersión de hadrones - hadrones de alta energía . Se produce cuando un quark de un hadrón y un antiquark de otro hadron se aniquilan, creando un fotón virtual o bosón Z que luego se desintegra en un par de leptones de carga opuesta . Es importante destacar que la energía del par de quark-antiquark en colisión se puede transformar casi por completo en la masa de nuevas partículas. Este proceso fue sugerido por primera vez por Sidney Drell y Tung-Mow Yanen 1970 ^[1] para describir la producción de lepton - antileptonParejas en colisiones de hadrones de alta energía. Experimentalmente, este proceso fue observado por primera vez por JH Christenson et al. ^[2] en colisiones protón-uranio en el Sincrotrón de Gradiente Alternativo .

Descripción general [ editar ]

El proceso de Drell-Yan se estudia tanto en experimentos de objetivo fijo como de colisionador. Proporciona información valiosa sobre las funciones de distribución de parton (PDF) que describen la forma en que el impulso de un nucleón de alta energía entrante se divide entre sus partones constituyentes. Estos PDF son ingredientes básicos para calcular esencialmente todos los procesos en los colisionadores de hadrones. Aunque los archivos PDF deberían ser derivados en principio, la ignorancia actual de algunos aspectos de la fuerza fuerte lo impide. En cambio, las formas de los PDF se deducen de los datos experimentales.

Proceso de Drell-Yan y dispersión inelástica profunda [ editar ]

Los archivos PDF se determinan utilizando los datos mundiales de la dispersión inelástica profunda , el proceso de Drell-Yan, etc. El proceso Drell-Yan está estrechamente relacionado con la dispersión inelástica profunda: diagrama de Feynman del proceso de Drell-Yan si se obtiene el diagrama de Feynman de la dispersión inelástica profunda Se gira 90 °. Un fotón o Z virtual Higgs-tiempo como se produce en s -channel en el proceso Drell-Yan mientras que un fotón o Z Higgs virtual espacio-como se produce en t -channel en la dispersión inelástica profunda.

Sensibilidad a la luz asimetría del sabor de quark de mar en el protón [ editar ]

Se había creído ingenuamente que el mar de quark en el protón estaba formado por procesos de cromodinámica cuántica (QCD) que no discriminaban entre los quarks up y down. Sin embargo, los resultados de la dispersión inelástica profunda de muones de alta energía en un protón y deuteron dianas por CERN-NMC ^[3] [4] mostraron que hay más d 's que u ' s en el protón. La suma de Gottfried deducida por NMC fue 0.235 ± 0.026, que es más pequeña que el valor esperado de 0.33. Esto sugiere el dominio d sobre u en el protón. Las mediciones recientes utilizando la dispersión de Drell-Yan sondaron la asimetría de sabor del protón. ^{[5] [6] [7]} AEl primer orden en la constante de acoplamiento de interacción fuerte, α _s , la relación de la sección transversal Drell-Yan desde un haz de protones en un objetivo de deuterio a un haz de protones en un objetivo de protones viene dada por

$${\ displaystyle {\ frac {\ sigma ^ {pd}} {2 \ sigma ^ {pp}}} = {\ frac {1} {2}} \ left [1 + {\ frac {{\ bar {d} } (x)} {{\ bar {u}} (x)}} \ right]}

dónde $${\ displaystyle {\ bar {d}} (x)} y $${\ displaystyle {\ bar {u}} (x)}son las distribuciones de quarks anti-down y anti-up en el mar de protones y$${\ displaystyle x} es el Bjorken-$${\ displaystyle x}variable de escala (la fracción de momento del quark objetivo en el modelo de parton ). ^[5]

Producción de bosón z [ editar ]

La producción de bosones Z a través del proceso Drell-Yan brinda la oportunidad de estudiar los acoplamientosdel bosón Z a los quarks . El principal observable es la asimetría hacia adelante y hacia atrás en la distribución angular de los dos leptones en su marco de centro de masa .

Si existen bosones de calibre neutro más pesados ​​(ver bosón Z ' ), podrían descubrirse como un pico en el espectro de masas invariante Dilepton de forma muy similar a como aparece el bosón Z estándar en virtud del proceso Drell-Yan.