MECÁNICA CUÁNTICA

En la mecánica cuántica , las imágenes dinámicas (o representaciones ) son las múltiples formas equivalentes de formular matemáticamente la dinámica de un sistema cuántico.

Los dos más importantes son la imagen de Heisenberg y la imagen de Schrödinger . Estos difieren solo por un cambio de base con respecto a la dependencia del tiempo, de manera análoga a la especificación de Lagrangian y Eulerian del campo de flujo : en resumen, la dependencia del tiempo se adjunta a los estados cuánticos en la imagen de Schrödinger y a los operadores en la imagen de Heisenberg.

También hay una formulación intermedia conocida como imagen de interacción (o imagen de Dirac ) que es útil para realizar cálculos cuando un Hamiltoniano complicado tiene una descomposición natural en un Hamiltoniano "libre" simple y una perturbación .

Las ecuaciones que se aplican en una imagen no se mantienen necesariamente en las otras, porque las transformaciones unitarias dependientes del tiempo relacionan los operadores en una imagen con los operadores análogos en las otras. No todos los libros de texto y artículos explicitan de qué imagen proviene cada operador, lo que puede generar confusión.

Imagen de Schrödinger [ editar ]

Fondo [ editar ]

En la mecánica cuántica elemental, el estado de un sistema mecánico-cuántico se representa mediante una función de onda de valor complejo ψ ( x , t ) . Más abstractamente, el estado puede representarse como un vector de estado, o ket , | Psi ⟩. Este ket es un elemento de un espacio de Hilbert , un espacio vectorial que contiene todos los estados posibles del sistema. Un operador de mecánica cuántica es una función que toma un ket | Psi ⟩ y devuelve algún otro ket | ψ ′ ⟩.

Las diferencias entre las imágenes de Schrödinger y Heiseinberg de la mecánica cuántica giran en torno a cómo tratar con los sistemas que evolucionan en el tiempo: la naturaleza dependiente del tiempo del sistema se debe a una combinación de los vectores de estado y los operadores. Por ejemplo, un oscilador armónico cuántico puede estar en un estado | Psi ⟩ para el que el valor esperado de la cantidad de movimiento,$${\ displaystyle \ langle \ psi | {\ hat {p}} | \ psi \ rangle}, oscila sinusoidalmente en el tiempo. Entonces se puede preguntar si esta oscilación sinusoidal debe reflejarse en el vector de estado | Psi ⟩, el operador del momento$${\ displaystyle {\ hat {p}}}, o ambos. Las tres de estas opciones son válidas; el primero da la imagen de Schrödinger, el segundo la imagen de Heisenberg y el tercero la imagen de interacción.

La imagen de Schrödinger es útil cuando se trata de un Hamiltoniano H independiente del tiempo , es decir,$${\ displaystyle \ parcial _ {t} H = 0}.

El operador de la evolución del tiempo [ editar ]

Definición [ editar ]

El operador de evolución en el tiempo U ( t , t ₀ ) se define como el operador que actúa en el ket en el tiempo t ₀para producir el ket en otro momento t :

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}

Para sujetadores , en cambio tenemos

$${\ displaystyle \ langle \ psi (t) | = \ langle \ psi (t_ {0}) | U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}).}

Propiedades [ editar ]

Unitaridad [ editar ]

El operador de evolución temporal debe ser unitario . Esto se debe a que exigimos que la norma del Estado no cambie con el tiempo. Es decir,

$${\ displaystyle \ langle \ psi (t) | \ psi (t) \ rangle = \ langle \ psi (t_ {0}) | U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}) U (t, t_ { 0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle = \ langle \ psi (t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}) U (t, t_ {0}) = I.}

Identidad [ editar ]

Cuando t  = t ₀ , U es el operador de identidad , ya que

$${\ displaystyle | \ psi (t_ {0}) \ rangle = U (t_ {0}, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}

Cierre [ editar ]

La evolución temporal desde t ₀ hasta t puede verse como una evolución temporal de dos pasos, primero desde t ₀ hasta un tiempo intermedio t ₁ , y luego desde t ₁ hasta el tiempo final t . Por lo tanto,

$${\ displaystyle U (t, t_ {0}) = U (t, t_ {1}) U (t_ {1}, t_ {0}).}

Ecuación diferencial para el operador de evolución temporal [ editar ]

Eliminamos el índice t ₀ en el operador de evolución temporal con la convención de que t ₀ = 0 y lo escribimos como U ( t ). La ecuación de Schrödinger es

$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = H | \ psi (t) \ rangle,}

donde H es el hamiltoniano . Ahora usando el operador de evolución del tiempo U para escribir$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t) | \ psi (0) \ rangle}, tenemos

$${\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} U (t) | \ psi (0) \ rangle = HU (t) | \ psi (0) \ rangle.}

Ya que $${\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle}es un ket constante (el ket de estado en t = 0 ), y como la ecuación anterior es verdadera para cualquier ket constante en el espacio de Hilbert, el operador de evolución temporal debe obedecer la ecuación

$${\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} U (t) = HU (t).}

Si el Hamiltoniano es independiente del tiempo, la solución a la ecuación anterior es ^[1]

$${\ displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / \ hbar}.}

Dado que H es un operador, esta expresión exponencial debe evaluarse a través de su serie de Taylor :

$${\ displaystyle e ^ {- iHt / \ hbar} = 1 - {\ frac {iHt} {\ hbar}} - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {Ht} {\ hbar} } \ right) ^ {2} + \ cdots.}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iHt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}

Tenga en cuenta que $${\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle}Es un cofre arbitrario. Sin embargo, si el valor inicial inicial es un estado propio del Hamiltoniano, con un valor propio E , obtenemos:

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iEt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}

Así vemos que los estados propios del Hamiltoniano son estados estacionarios : solo recogen un factor de fase general a medida que evolucionan con el tiempo.

Si el Hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos viajan en diferentes momentos, entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como

$${\ displaystyle U (t) = \ exp \ left ({- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} H (t ') \, dt'} \ right), }

Si el Hamiltoniano depende del tiempo, pero los Hamiltonianos en diferentes momentos no se desplazan, el operador de evolución temporal puede escribirse como

$${\ displaystyle U (t) = \ mathrm {T} \ exp \ left ({- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} H (t ') \, dt' }\Correcto),}

donde T es el operador que ordena el tiempo , lo que a veces se conoce como la serie Dyson, después de FJDyson.

La alternativa a la imagen de Schrödinger es cambiar a un marco de referencia giratorio, que a su vez está girando el propagador. Dado que el propio marco de referencia asume ahora la rotación ondulatoria, una función de estado no perturbado parece ser verdaderamente estática. Esta es la imagen de Heisenberg (abajo).

Imagen de Heisenberg [ editar ]

La imagen de Heisenberg es una formulación (hecha por Werner Heisenberg en Heligoland en la década de 1920) de mecánica cuántica en la que los operadores ( observables y otros) incorporan una dependencia del tiempo, pero los vectores de estado son independientes del tiempo.

Definición [ editar ]

En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, el vector de estado, $${\ displaystyle | \ psi \ rangle}, no cambia con el tiempo, y un observable A satisface

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} A (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [H, A (t)] + {\ frac {\ partial A (t)} { \ parcial t}},}

donde H es el hamiltoniano y [•, •] denota el conmutador de dos operadores (en este caso, H y A ). Tomando los valores de expectativa se obtiene el teorema de Ehrenfest presentado en el principio de correspondencia .

Según el teorema de Stone-von Neumann , la imagen de Heisenberg y la imagen de Schrödinger son unitariamente equivalentes. En cierto sentido, el cuadro de Heisenberg es más natural y conveniente que el cuadro de Schrödinger equivalente, especialmente para las teorías relativistas . La invariancia de Lorentz se manifiesta en el cuadro de Heisenberg. Este enfoque también tiene una similitud más directa con la física clásica: al reemplazar el conmutador de arriba por el soporte de Poisson , la ecuación de Heisenberg se convierte en una ecuación en la mecánica hamiltoniana .

Derivación de la ecuación de Heisenberg [ editar ]

El valor esperado de un observable A , que es un operador lineal de Hermitian para un estado dado$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle}, es dado por

$${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (t) | A | \ psi (t) \ rangle.}

En la imagen de Schrödinger , el estado$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}en el momento t se relaciona con el estado$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}en el momento 0 por un operador unitario de evolución en el tiempo ,$${\ displaystyle U (t)}:

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t) | \ psi (0) \ rangle.}

Si el Hamiltoniano no varía con el tiempo, entonces el operador de evolución en el tiempo puede escribirse como

$${\ displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / \ hbar},}

donde H es el hamiltoniano y ħ es la constante de Planck reducida . Por lo tanto,

$${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (0) | e ^ {iHt / \ hbar} Ae ^ {- iHt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}

Define, entonces,

$${\ displaystyle A (t): = e ^ {iHt / \ hbar} Ae ^ {- iHt / \ hbar}.}

Resulta que

$${\ displaystyle {d \ over dt} A (t) = {i \ over \ hbar} He ^ {iHt / \ hbar} Ae ^ {- iHt / \ hbar} + e ^ {iHt / \ hbar} \ left ( {\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} \ derecha) e ^ {- iHt / \ hbar} + {i \ sobre \ hbar} e ^ {iHt / \ hbar} A \ cdot (-H) e ^ {- iHt / \ hbar}}

$${\ displaystyle = {i \ over \ hbar} e ^ {iHt / \ hbar} \ left (HA-AH \ right) e ^ {- iHt / \ hbar} + e ^ {iHt / \ hbar} \ left ({ \ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} \ derecha) e ^ {- iHt / \ hbar}}

$${\ displaystyle = {i \ over \ hbar} \ left (HA (t) -A (t) H \ right) + e ^ {iHt / \ hbar} \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) e ^ {- iHt / \ hbar}.}

La diferenciación se realizó de acuerdo con la regla del producto , mientras que ∂ A / ∂ t es la derivada temporal de la inicial A , no el operador A ( t ) definido. La última ecuación es válida desde exp (- Iht / ħ ) conmuta con H .

Así

$${\ displaystyle {d \ over dt} A (t) = {i \ over \ hbar} [H, A (t)] + e ^ {iHt / \ hbar} \ left ({\ frac {\ parcial A} { \ partial t}} \ right) e ^ {- iHt / \ hbar},}

de donde surge la ecuación de movimiento de Heisenberg anterior, ya que la dependencia convectiva funcional de x (0) yp (0) se convierte en la misma dependencia de x ( t ), p ( t ), de modo que el último término se convierte a ∂ A ( t) / ∂ t . [ X ,  Y ] es el conmutador de dos operadores y se define como [ X ,  Y ]: = XY  -  YX .

La ecuación se resuelve mediante la A (t) definida anteriormente, como se evidencia con el uso de la identidad del operador estándar ,

$${\ displaystyle {e ^ {B} Ae ^ {- B}} = A + [B, A] + {\ frac {1} {2!}} [B, [B, A]] + {\ frac {1 } {3!}} [B, [B, [B, A]]] + \ cdots.}

lo que implica

$${\ displaystyle A (t) = A + {\ frac {it} {\ hbar}} [H, A] - {\ frac {t ^ {2}} {2! \ hbar ^ {2}}} [H, [H, A]] - {\ frac {it ^ {3}} {3! \ Hbar ^ {3}}} [H, [H, [H, A]]] + \ dots}

Esta relación también es válida para la mecánica clásica , el límite clásico de lo anterior, dada la correspondenciaentre los soportes de Poisson y los conmutadores ,

$${\ displaystyle [A, H] \ leftrightarrow i \ hbar \ {A, H \}}

En mecánica clásica, para una A sin dependencia temporal explícita,

$${\ displaystyle \ {A, H \} = {d \ over dt} A ~,}

así que, nuevamente, la expresión para A (t) es la expansión de Taylor alrededor de t = 0.

Las relaciones de conmutador [ editar ]

Las relaciones de conmutador pueden verse diferentes de la imagen de Schrödinger, debido a la dependencia temporal de los operadores. Por ejemplo, considere los operadores x ( t ₁ ), x ( t ₂ ), p ( t ₁ ) y p ( t ₂ ) . La evolución temporal de esos operadores depende del hamiltoniano del sistema. Teniendo en cuenta el oscilador armónico unidimensional, 

$${\ displaystyle H = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + {\ frac {m \ omega ^ {2} x ^ {2}} {2}}} ,

La evolución de los operadores de posición y momento viene dada por:

$${\ displaystyle {d \ over dt} x (t) = {i \ over \ hbar} [H, x (t)] = {\ frac {p} {m}}} ,

$${\ displaystyle {d \ over dt} p (t) = {i \ over \ hbar} [H, p (t)] = - m \ omega ^ {2} x} .

Diferenciando ambas ecuaciones una vez más y resolviéndolas con las condiciones iniciales adecuadas,

$${\ displaystyle {\ dot {p}} (0) = - m \ omega ^ {2} x_ {0},}

$${\ displaystyle {\ dot {x}} (0) = {\ frac {p_ {0}} {m}},}

lleva a

$${\ displaystyle x (t) = x_ {0} \ cos (\ omega t) + {\ frac {p_ {0}} {\ omega m}} \ sin (\ omega t)} ,

$${\ displaystyle p (t) = p_ {0} \ cos (\ omega t) -m \ omega \! x_ {0} \ sin (\ omega t)} .

El cálculo directo produce las relaciones de conmutador más generales,

$${\ displaystyle [x (t_ {1}), x (t_ {2})] = {\ frac {i \ hbar} {m \ omega}} \ sin (\ omega t_ {2} - \ omega t_ {1 })} ,

$${\ displaystyle [p (t_ {1}), p (t_ {2})] = i \ hbar m \ omega \ sin (\ omega t_ {2} - \ omega t_ {1})} ,

$${\ displaystyle [x (t_ {1}), p (t_ {2})] = i \ hbar \ cos (\ omega t_ {2} - \ omega t_ {1})} .

por $${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}, uno simplemente recupera las relaciones de conmutación canónicas estándar válidas en todas las imágenes.

Imagen de interacción [ editar ]

La imagen de interacción es más útil cuando la evolución de los observables puede resolverse exactamente, limitando cualquier complicación a la evolución de los estados. Por esta razón, el Hamiltoniano para los observables se llama "Hamiltoniano libre" y el Hamiltoniano para los estados se llama "Hamiltoniano de interacción".

Definición [ editar ]

Los operadores y los vectores de estado en la imagen de interacción están relacionados por un cambio de base ( transformación unitaria ) a esos mismos operadores y vectores de estado en la imagen de Schrödinger.

Para cambiar a la imagen de interacción, dividimos el Hamiltoniano de imagen de Schrödinger en dos partes,

$${\ displaystyle H_ {S} = H_ {0, S} + H_ {1, S} ~.}

Cualquier posible elección de partes producirá una imagen de interacción válida; pero para que la imagen de interacción sea útil para simplificar el análisis de un problema, las partes se elegirán normalmente para que$${\ displaystyle H_ {0, S}}es bien entendido y exactamente solucionable, mientras que $${\ displaystyle H_ {1, S}} contiene algunas perturbaciones más difíciles de analizar en este sistema.

Si el Hamiltoniano tiene una dependencia del tiempo explícita (por ejemplo, si el sistema cuántico interactúa con un campo eléctrico externo aplicado que varía con el tiempo), generalmente será ventajoso incluir los términos explícitamente dependientes del tiempo con$${\ displaystyle H_ {1, S}}, dejando $${\ displaystyle H_ {0, S}}tiempo independiente. Procedemos asumiendo que este es el caso. Si no es un contexto en el que tiene sentido tener$${\ displaystyle H_ {0, S}} depende del tiempo, entonces uno puede proceder reemplazando $${\ displaystyle e ^ {\ pm iH_ {0, S} t / \ hbar}}por el correspondiente operador de evolución temporal en las definiciones a continuación.

Vectores de estado [ editar ]

Un vector de estado en la imagen de interacción se define como ^[2]

$${\ displaystyle | \ psi _ {I} (t) \ rangle = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} | \ psi _ {S} (t) \ rangle ~,}

dónde $${\ displaystyle | \ psi _ {S} (t) \ rangle} es el mismo vector de estado que en la imagen de Schrödinger.

Operadores [ editar ]

Un operador en la imagen de interacción se define como

$${\ displaystyle A_ {I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} A_ {S} (t) e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar}.}

Tenga en cuenta que $${\ displaystyle A_ {S} (t)}normalmente no dependerá de t , y se puede reescribir como$${\ displaystyle A_ {S}}. Solo depende de tsi el operador tiene una "dependencia explícita del tiempo", por ejemplo, debido a su dependencia de un campo eléctrico externo aplicado que varía en el tiempo.

Operador hamiltoniano [ editar ]

Para el operador $${\ displaystyle H_ {0}} En sí, la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger coinciden,

$${\ displaystyle H_ {0, I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} H_ {0, S} e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar} = H_ {0, S}.}

Esto se ve fácilmente a través del hecho de que los operadores conmutan con funciones diferenciables de sí mismos. Este operador particular puede entonces llamarse H ₀ sin ambigüedad.

Para la perturbación Hamiltoniana H _1, yo , sin embargo,

$${\ displaystyle H_ {1, I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} H_ {1, S} e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar},}

donde la interacción perturbación de la imagen del Hamiltoniano se convierte en un Hamiltoniano dependiente del tiempo, a menos que [ H _{1, s} , H _{0, s} ] = 0.

Es posible obtener la imagen de interacción para un Hamiltoniano H _{0, s} ( t ) dependiente del tiempo , pero las exponenciales deben ser reemplazadas por el propagador unitario para la evolución generada por H _{0, s} ( t ), o más explícitamente con una integral exponencial ordenada por tiempo.

Matriz de densidad [ editar ]

Se puede mostrar que la matriz de densidad se transforma en la imagen de interacción de la misma manera que cualquier otro operador. En particular, vamos$${\ displaystyle \ rho _ {I}} y $${\ displaystyle \ rho _ {S}}ser la matriz de densidad en la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger, respectivamente. Si hay probabilidad$${\ displaystyle p_ {n}} estar en el estado físico $${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}, entonces

$${\ displaystyle \ rho _ {I} (t) = \ sum _ {n} p_ {n} (t) | \ psi _ {n, I} (t) \ rangle \ langle \ psi _ {n, I} (t) | = \ sum _ {n} p_ {n} (t) e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} | \ psi _ {n, S} (t) \ rangle \ langle \ psi _ {n, S} (t) | e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar} = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} \ rho _ {S} (t) e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar}.}

Ecuaciones de evolución temporal [ editar ]

Estados [ editar ]

Al transformar la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción se obtiene:

$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ psi _ {I} (t) \ rangle = H_ {1, I} (t) | \ psi _ {I} (t) \ rangle .}

Esta ecuación se conoce como la ecuación de Schwinger - Tomonaga .

Operadores [ editar ]

Si el operador $${\ displaystyle A_ {S}} es independiente del tiempo (es decir, no tiene una "dependencia explícita del tiempo"; véase más arriba), entonces la evolución temporal correspondiente para $${\ displaystyle A_ {I} (t)} es dado por:

$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} A_ {I} (t) = \ left [A_ {I} (t), H_ {0} \ right]. \;}

En la imagen de interacción, los operadores evolucionan en el tiempo como los operadores en la imagen de Heisenberg con el Hamiltoniano.$${\ displaystyle H '= H_ {0}}.

Matriz de densidad [ editar ]

Transformar la ecuación de Schwinger-Tomonaga en el lenguaje de la matriz de densidad (o, de manera equivalente, transformar la ecuación de von Neumann en la imagen de interacción) proporciona:

$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} \ rho _ {I} (t) = \ left [H_ {1, I} (t), \ rho _ {I} (t) \ right ].}

Existencia [ editar ]

La imagen de interacción no siempre existe. Al interactuar con las teorías cuánticas de campos, el teorema de Haag establece que la imagen de interacción no existe. Esto se debe a que el Hamiltoniano no se puede dividir en una parte libre e interactiva dentro de un sector de superselección. Además, incluso si en la imagen de Schrödinger el Hamiltoniano no depende del tiempo, por ejemplo, H = H ₀ + V , en la imagen de interacción lo hace, al menos, si V no conmuta con H ₀ , ya que

$${\ displaystyle H _ {\ rm {int}} (t) \ equiv e ^ {{(i / \ hbar}) tH_ {0}} \, V \, e ^ {{(- i / \ hbar}) tH_ {0}}}.

Comparación de imágenes [ editar ]

La imagen de Heisenberg es la más cercana a la mecánica hamiltoniana clásica (por ejemplo, los conmutadores que aparecen en las ecuaciones anteriores corresponden directamente a los soportes clásicos de Poisson ). La imagen de Schrödinger, la formulación preferida en textos introductorios, es fácil de visualizar en términos de rotaciones espaciales de vectores de estado de Hilbert , aunque carece de generalización natural a los sistemas invariantes de Lorentz. La imagen de Dirac es más útil en la teoría de perturbaciones no estacionarias y covariantes, por lo que es adecuada para la teoría cuántica de campos y la física de muchos cuerpos .

Resumen comparativo de evoluciones [ editar ]

Evolución	Imagen
de:	Heisenberg	Interacción	Schrödinger
Estado de Ket	constante	$${\ displaystyle | \ psi _ {I} (t) \ rangle = e ^ {iH_ {0, S} ~ t / \ hbar} | \ psi _ {S} (t) \ rangle}	$${\ displaystyle | \ psi _ {S} (t) \ rangle = e ^ {- iH_ {S} ~ t / \ hbar} | \ psi _ {S} (0) \ rangle}
Observable	$${\ displaystyle A_ {H} (t) = e ^ {iH_ {S} ~ t / \ hbar} A_ {S} e ^ {- iH_ {S} ~ t / \ hbar}}	$${\ displaystyle A_ {I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} ~ t / \ hbar} A_ {S} e ^ {- iH_ {0, S} ~ t / \ hbar}}	constante
Matriz de densidad	constante	$${\ displaystyle \ rho _ {I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} ~ t / \ hbar} \ rho _ {S} (t) e ^ {- iH_ {0, S} ~ t / \ hbar}}	$${\ displaystyle \ rho _ {S} (t) = e ^ {- iH_ {S} ~ t / \ hbar} \ rho _ {S} (0) e ^ {iH_ {S} ~ t / \ hbar}}

Equivalencia [ editar ]

Es evidente que los valores esperados de todos los observables son los mismos en las imágenes de Schrödinger, Heisenberg y Interaction,

$${\ displaystyle \ langle \ psi \ mid A (t) \ mid \ psi \ rangle = \ langle \ psi (t) \ mid A \ mid \ psi (t) \ rangle = \ langle \ psi _ {I} (t ) \ mid A_ {I} (t) \ mid \ psi _ {I} (t) \ rangle ~,}