MECÁNICA CUÁNTICA

conjunto completo de observables de conmutación (CSCO) es un conjunto de operadores de conmutación cuyos valores propios especifican completamente el estado de un sistema. ^[1]

Dado que cada par de observables en el conjunto conmuta, todos los observables son compatibles, de modo que la medición de un observable no tiene efecto en el resultado de medir otro observable en el conjunto. Por lo tanto, no es necesario especificar el orden en que se miden los diferentes observables. La medición del conjunto completo de observables constituye una medición completa, en el sentido de que proyecta el estado cuántico del sistema en un vector único y conocido en la base definida por el conjunto de operadores. Es decir, para preparar el estado completamente especificado, debemos tomar cualquier estado arbitrariamente y luego realizar una sucesión de mediciones correspondientes a todos los observables en el conjunto, hasta que se convierta en un vector específicamente especificado en el espacio de Hilbert..

El teorema de compatibilidad [ editar ]

Tengamos dos observables, $${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B}, representado por $${\ displaystyle {\ hat {A}}} y $${\ displaystyle {\ hat {B}}}. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B} Son compatibles los observables.
2. $${\ displaystyle {\ hat {A}}} y $${\ displaystyle {\ hat {B}}} tienen una autogásis común.
3. Los operadores $${\ displaystyle {\ hat {A}}} y $${\ displaystyle {\ hat {B}}} están conmutando, es decir, $${\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] = 0}.

Pruebas [ editar ]

mostrar laprueba de que los observables compatibles conmutan.

muestre laPrueba de que los observables que viajan diariamente poseen un conjunto completo de funciones propias.

Discusión [ editar ]

Consideramos los dos observables anteriores. $${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B}. Supongamos que existe un conjunto completo de kets.$${\ displaystyle \ {| \ psi _ {n} \ rangle \}} cuyo cada elemento es simultáneamente un eigenket de $${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B}. Entonces decimos que$${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B}son compatibles . Si denotamos los valores propios de$${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B} correspondiente a $${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle} respectivamente por $${\ displaystyle a_ {n}} y $${\ displaystyle b_ {n}}, podemos escribir

$${\ displaystyle A | \ psi _ {n} \ rangle = a_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}

$${\ displaystyle B | \ psi _ {n} \ rangle = b_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}

Si el sistema está en uno de los estados propios, digamos, $${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}entonces ambas $${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B}se puede medir simultáneamente a cualquier nivel arbitrario de precisión, y obtendremos los resultados$${\ displaystyle a_ {n}} y $${\ displaystyle b_ {n}}respectivamente. Esta idea puede extenderse a más de dos observables.

Ejemplos de observables compatibles [ editar ]

Los componentes cartesianos del operador de posición. $${\ displaystyle \ mathbf {r}} son $${\ displaystyle x}, $${\ displaystyle y} y $${\ displaystyle z}. Estos componentes son todos compatibles. Del mismo modo, los componentes cartesianos del operador momentum.$${\ displaystyle \ mathbf {p}}, es decir $${\ displaystyle p_ {x}}, $${\ displaystyle p_ {y}} y $${\ displaystyle p_ {z}}También son compatibles.

Definición formal de un CSCO (conjunto completo de observables que se desplazan) [ editar ]

Un conjunto de observables. $${\ displaystyle A, B, C ...} se llama CSCO si:

1. Todos los observables viajan en parejas.
2. Si especificamos los valores propios de todos los operadores en el CSCO, identificamos un vector propio único en el espacio de Hilbert del sistema.

Si se nos da un CSCO, podemos elegir una base para el espacio de estados hechos de vectores propios comunes de los operadores correspondientes. Podemos identificar de forma única cada vector propio por el conjunto de valores propios al que corresponde.

Discusión [ editar ]

Tengamos un operador $${\ displaystyle {\ hat {A}}} de un observable $${\ displaystyle A}, que tiene todos los valores propios no degenerados$${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}. Como resultado, hay un estado propio único que corresponde a cada valor propio, lo que nos permite etiquetarlos por sus valores propios respectivos. Por ejemplo, el estado propio de$${\ displaystyle {\ hat {A}}} correspondiente al valor propio $${\ displaystyle a_ {n}} puede ser etiquetado como $${\ displaystyle | a_ {n} \ rangle}. Tal observable es en sí mismo un CSCO autosuficiente.

Sin embargo, si algunos de los valores propios de $${\ displaystyle a_ {n}}son degenerados , entonces el resultado anterior ya no se mantiene. En tal caso, debemos distinguir entre las funciones propias correspondientes al mismo valor propio. Para hacer esto, se introduce un segundo observable (llamémoslo$${\ displaystyle B}), que es compatible con $${\ displaystyle A}. El teorema de compatibilidad nos dice que una base común de funciones propias de$${\ displaystyle {\ hat {A}}} y $${\ displaystyle {\ hat {B}}}puede ser encontrado. Ahora bien, si cada par de valores propios$${\ displaystyle (a_ {n}, b_ {n})} Especifica de forma única un vector de estado de esta base, afirmamos haber formado un CSCO: el conjunto $${\ displaystyle \ {A, B \}}. La degeneración en$${\ displaystyle {\ hat {A}}} está completamente eliminado.

Sin embargo, puede ocurrir que la degeneración no se levante por completo. Es decir, existe al menos un par.$${\ displaystyle (a_ {n}, b_ {n})}que no identifica de forma única un vector propio. En este caso, repetimos el proceso anterior agregando otro observable$${\ displaystyle C}, que es compatible con ambos $${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B}. Si la base de funciones propias comunes de$${\ displaystyle {\ hat {A}}}, $${\ displaystyle {\ hat {B}}} y $${\ displaystyle {\ hat {C}}}es único, es decir, especificado de forma única por el conjunto de valores propios $${\ displaystyle (a_ {n}, b_ {n}, c_ {n})}, entonces hemos formado un CSCO: $${\ displaystyle \ {A, B, C \}}. Si no, agregamos un observable más compatible y continuamos el proceso hasta que se obtenga un CSCO.

El mismo espacio vectorial puede tener distintos conjuntos completos de operadores de conmutación.

Supongamos que nos dan un CSCO finito$${\ displaystyle \ {A, B, C, ..., \}}. Entonces podemos expandir cualquier estado general en el espacio de Hilbert como

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {i, j, k, ...} {\ mathcal {C}} _ ​​{i, j, k, ...} | a_ {i}, b_ { j}, c_ {k}, ... \ rangle}

dónde $${\ displaystyle | a_ {i}, b_ {j}, c_ {k}, ... \ rangle} Son los eigenkets de los operadores. $${\ displaystyle {\ hat {A}}, {\ hat {B}}, {\ hat {C}}}, y forman un espacio base. Es decir,

$${\ displaystyle {\ hat {A}} | a_ {i}, b_ {j}, c_ {k}, ... \ rangle = a_ {i} | a_ {i}, b_ {j}, c_ {k }, ... \ rangle}, etc

Si medimos $${\ displaystyle A, B, C, ...} en el estado $${\ displaystyle | \ psi \ rangle} entonces la probabilidad de que simultáneamente medimos $${\ displaystyle a_ {i}, b_ {j}, c_ {k}, ...} es dado por $${\ displaystyle | {\ mathcal {C}} _ ​​{i, j, k, ...} | ^ {2}}.

Para un conjunto completo de operadores de conmutación, podemos encontrar una transformación unitaria única que simultáneamente diagonalizará a todos ellos. Si hay más de una transformación unitaria, podemos decir que el conjunto aún no está completo.

Ejemplos [ editar ]

El átomo de hidrógeno [ editar ]

Artículo principal: átomo de hidrógeno

Dos componentes del operador de momento angular. $${\ displaystyle \ mathbf {L}} No conmute, pero satisfaga las relaciones de conmutación:

$${\ displaystyle [L_ {i}, L_ {j}] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} L_ {k}}

Entonces, cualquier CSCO no puede involucrar más de un componente de $${\ displaystyle \ mathbf {L}}. Se puede mostrar que el cuadrado del operador del momento angular,$${\ displaystyle L ^ {2}}, conmuta con $${\ displaystyle \ mathbf {L}}.

$${\ displaystyle [L_ {x}, L ^ {2}] = 0, [L_ {y}, L ^ {2}] = 0, [L_ {z}, L ^ {2}] = 0}

Además, el hamiltoniano $${\ displaystyle {\ hat {H}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} - {\ frac {Ze ^ {2}} {r}} } es una función de $${\ displaystyle r} Solo y tiene invarianza rotacional, donde $${\ displaystyle \ mu}Es la masa reducida del sistema. Dado que los componentes de$${\ displaystyle \ mathbf {L}} Son generadores de rotación, se puede demostrar que

$${\ displaystyle [\ mathbf {L}, H] = 0, [L ^ {2}, H] = 0}

Por lo tanto, un conjunto de conmutación consiste en $${\ displaystyle L ^ {2}}, un componente de $${\ displaystyle \ mathbf {L}} (que se toma para ser $${\ displaystyle L_ {z}}) y $${\ displaystyle H}. La solución del problema nos dice que, sin tener en cuenta el giro de los electrones, el conjunto$${\ displaystyle \ {H, L ^ {2}, L_ {z} \}}forma un CSCO. Dejar$${\ displaystyle | E_ {n}, l, m \ rangle}Ser cualquier estado base en el espacio de Hilbert del átomo hidrogenado. Entonces

$${\ displaystyle H | E_ {n}, l, m \ rangle = E_ {n} | E_ {n}, l, m \ rangle}

$${\ displaystyle L ^ {2} | E_ {n}, l, m \ rangle = l (l + 1) \ hbar ^ {2} | E_ {n}, l, m \ rangle}

$${\ displaystyle L_ {z} | E_ {n}, l, m \ rangle = m \ hbar | E_ {n}, l, m \ rangle}

Es decir, el conjunto de valores propios. $${\ displaystyle \ {E_ {n}, l, m \}} o más simplemente, $${\ displaystyle \ {n, l, m \}} Especifica completamente un estado propio único del átomo hidrogénico.

La partícula libre [ editar ]

Artículo principal: Partícula libre § Partícula libre no relativista cuántica

Para una partícula libre , el hamiltoniano es$${\ displaystyle H = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2}}es invariante bajo las traducciones. La traducción conmuta con el hamiltoniano:$${\ displaystyle [H, \ mathbf {\ hat {T}}] = 0}. Sin embargo, si expresamos el hamiltoniano en la base del operador de traducción, encontraremos que$${\ displaystyle H}Tiene valores propios doblemente degenerados. Se puede mostrar que para hacer el CSCO en este caso, necesitamos otro operador llamado operador de paridad .$${\ displaystyle \ Pi}, tal que $${\ displaystyle [H, \ Pi] = 0}.$${\ displaystyle \ {H, \ Pi \}} forma un CSCO.

De nuevo, vamos $${\ displaystyle | k \ rangle} y $${\ displaystyle | -k \ rangle}ser los estados propios degenerados de$${\ displaystyle H}correspondiente al valor propio $${\ displaystyle H_ {k} = {\ frac {{\ hbar ^ {2}} {k ^ {2}}} {2m}}}es decir

$${\ displaystyle H | k \ rangle = {\ frac {{\ hbar ^ {2}} {k ^ {2}}} {2m}} | k \ rangle}

$${\ displaystyle H | -k \ rangle = {\ frac {{\ hbar ^ {2}} {k ^ {2}}} {2m}} | -k \ rangle}

La degeneración en $${\ displaystyle H} es eliminado por el operador de impulso $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}.

$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} | k \ rangle = k | k \ rangle}

$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} | -k \ rangle = -k | -k \ rangle}

Asi que, $${\ displaystyle \ {\ mathbf {\ hat {p}}, H \}} forma un CSCO.

Adición de Momenta Angular [ editar ]

Consideramos el caso de dos sistemas, 1 y 2, con los respectivos operadores de momento angular $${\ displaystyle \ mathbf {J_ {1}}} y $${\ displaystyle \ mathbf {J_ {2}}}. Podemos escribir los estados propios de $${\ displaystyle J_ {1} ^ {2}} y $${\ displaystyle J_ {1z}} como $${\ displaystyle | j_ {1} m_ {1} \ rangle} y de $${\ displaystyle J_ {2} ^ {2}} y $${\ displaystyle J_ {2z}} como $${\ displaystyle | j_ {2} m_ {2} \ rangle}.

$${\ displaystyle J_ {1} ^ {2} | j_ {1} m_ {1} \ rangle = j_ {1} (j_ {1} +1) \ hbar ^ {2} | j_ {1} m_ {1} \ rangle}

$${\ displaystyle J_ {1z} | j_ {1} m_ {1} \ rangle = m_ {1} \ hbar | j_ {1} m_ {1} \ rangle}

$${\ displaystyle J_ {2} ^ {2} | j_ {2} m_ {2} \ rangle = j_ {2} (j_ {2} +1) \ hbar ^ {2} | j_ {2} m_ {2} \ rangle}

$${\ displaystyle J_ {2z} | j_ {2} m_ {2} \ rangle = m_ {2} \ hbar | j_ {2} m_ {2} \ rangle}

Entonces los estados base del sistema completo son $${\ displaystyle | j_ {1} m_ {1}; j_ {2} m_ {2} \ rangle} dada por

$${\ displaystyle | j_ {1} m_ {1}; j_ {2} m_ {2} \ rangle = | j_ {1} m_ {1} \ rangle \ otimes | j_ {2} m_ {2} \ rangle}

Por lo tanto, para el sistema completo, el conjunto de valores propios $${\ displaystyle \ {j_ {1}, m_ {1}, j_ {2}, m_ {2} \}} Especifica completamente un estado base único, y $${\ displaystyle \ {J_ {1} ^ {2}, J_ {1z}, J_ {2} ^ {2}, J_ {2z} \}}forma un CSCO. De manera equivalente, existe otro conjunto de estados de base para el sistema, en términos del operador de momento angular total$${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J_ {1}} + \ mathbf {J_ {2}}}. Los valores propios de$${\ displaystyle J ^ {2}} son $${\ displaystyle j (j + 1) \ hbar ^ {2}} dónde $${\ displaystyle j} asume los valores $${\ displaystyle j_ {1} + j_ {2}, j_ {1} + j_ {2} -1, ..., | j_ {1} -j_ {2} |}, y los de $${\ displaystyle J_ {z}} son $${\ displaystyle m} dónde $${\ displaystyle m = -j, -j + 1, ... j-1, j}. Los estados base de los operadores.$${\ displaystyle J ^ {2}} y $${\ displaystyle J_ {z}} son $${\ displaystyle | j_ {1} j_ {2}; jm \ rangle}. Por lo tanto, también podemos especificar un estado de base único en el espacio de Hilbert del sistema completo por el conjunto de valores propios$${\ displaystyle \ {j_ {1}, j_ {2}, j, m \}}, y el CSCO correspondiente es $${\ displaystyle \ {J_ {1} ^ {2}, J_ {2} ^ {2}, J ^ {2}, J_ {z} \}}.

Un cristal de tiempo o espacio-tiempo es una estructura que se repite en el tiempo , así como en el espacio . Los cristales tridimensionales normales tienen un patrón repetitivo en el espacio, pero permanecen sin cambios a medida que pasa el tiempo. Los cristales de tiempo también se repiten en el tiempo, lo que lleva al cristal a cambiar de un momento a otro. Un cristal de tiempo nunca alcanza el equilibrio térmico , ya que es un tipo de materia que no está en equilibrio, una forma de materia propuesta en 2012 y que se observó por primera vez en 2017. Este estado de la materia no se puede aislar de su entorno ^{[ cita requerida ]} ; Un sistema abierto en no equilibrio .

La idea de un cristal de tiempo fue descrita por primera vez por el premio Nobel Frank Wilczek en 2012. El trabajo posterior desarrolló una definición más precisa para los cristales de tiempo. Se comprobó que no pueden existir en equilibrio. ^[1] Luego, en 2014, Krzysztof Sacha predijo el comportamiento de los cristales de tiempo discretos en un sistema de varios cuerpos impulsado periódicamente. ^[2] y en 2016, Norman Yao et al. Propuso una forma diferente de crear cristales de tiempo en sistemas de espín. Desde allí, Christopher Monroe y Mikhail Lukin lo confirmaron de forma independiente en sus laboratorios. Ambos experimentos fueron publicados en Natureen 2017.

Historia [ editar ]

Premio Nobel Frank Wilczek en la Universidad de París-Saclay

La idea de un cristal del espacio-tiempo fue presentada por primera vez por Frank Wilczek , profesor del MIT y premio Nobel , en 2012. ^[3]

En 2013, Xiang Zhang, un nanoengineer de la Universidad de California, Berkeley , y su equipo propusieron crear un cristal de tiempo en forma de un anillo en rotación constante de iones cargados. ^[4]

En respuesta a Wilczek y Zhang, Patrick Bruno, un teórico de la Instalación Europea de Radiación de Sincrotrón en Grenoble , Francia, publicó varios artículos en 2013 que afirmaban mostrar que los cristales del espacio-tiempo eran imposibles. También más tarde, Masaki Oshikawa de la Universidad de Tokio mostró que los cristales del tiempo serían imposibles en su estado fundamental; además, él implicaba que cualquier materia no puede existir en un estado no equilibrado en su estado fundamental. ^[5] [6]

El trabajo posterior desarrolló definiciones más precisas de la simetría de la traducción del tiempo, lo que en última instancia condujo a una prueba de que los cristales de tiempo cuánticos en equilibrio no son posibles. ^[7] [1]

Más tarde se propusieron varias realizaciones de los cristales de tiempo, que evitan los argumentos de no-go de equilibrio. ^[8] Krzysztof Sacha en la Universidad Jagellónica de Cracovia predijo el comportamiento de los cristales de tiempo discretos en un sistema de átomos ultrafríos impulsado periódicamente. ^[9] Trabajos posteriores ^[10] sugirieron que los sistemas de giro cuántico controlados periódicamente podrían mostrar un comportamiento similar.

Norman Yao en Berkeley estudió un modelo diferente de cristales de tiempo. ^[11] Su modelo fue utilizado con éxito por dos equipos: un grupo liderado por la Universidad de Harvard 's Mikhail Lukin ^[12] y un grupo dirigido por Christopher Monroe en la Universidad de Maryland . ^[13]

Tiempo de traducción simetría [ editar ]

Artículo principal: Simetría de traducción de tiempo.

Las simetrías en la naturaleza conducen directamente a leyes de conservación, algo que está precisamente formulado por el teorema de Noether . ^[14]

La idea básica de la simetría de la traducción del tiempo es que una traducción en el tiempo no tiene efecto en las leyes físicas, es decir, que las leyes de la naturaleza que se aplican hoy son las mismas en el pasado y serán las mismas en el futuro. ^[15] Esta simetría implica la conservación de la energía . ^[dieciséis]

Simetría rota en cristales normales [ editar ]

Artículos principales: Simetría de cristales y rompimiento espontáneo de simetrías.

Figura 2. Proceso normal (proceso N) y proceso Umklapp (proceso U). Mientras que el proceso N conserva el impulso total del fonón , el proceso en U cambia el impulso del fonón.

Los cristales normales exhiben simetría de traslación rota : tienen patrones repetidos en el espacio y no son invariantes bajo traslaciones o rotaciones arbitrarias. Las leyes de la física no se modifican por las traducciones y rotaciones arbitrarias. Sin embargo, si mantenemos fijos los átomos de un cristal, la dinámica de los electrones u otras partículas en el cristal depende de cómo se mueva en relación con el cristal, y el momento de las partículas puede cambiar al interactuar con los átomos de un cristal, por ejemplo en Procesos de Umklapp . ^[17] Quasimomentum , sin embargo, se conserva en un cristal perfecto. ^[18]

Los cristales de tiempo muestran una simetría rota análoga a una ruptura de simetría de espacio-traducción discreta. Por ejemplo, las moléculas de un líquido que se congelan en la superficie de un cristal pueden alinearse con las moléculas del cristal, pero con un patrón menos simétrico que el cristal: rompe la simetría inicial. Esta simetría rota exhibe tres características importantes:

• El sistema tiene una simetría más baja que la disposición subyacente del cristal.
• el sistema muestra un orden de largo alcance espacial y temporal (a diferencia de un orden local e intermitente en un líquido cerca de la superficie de un cristal)
• Es el resultado de las interacciones entre los componentes del sistema, que se alinean entre sí.

Simetría rota en cristales de tiempo [ editar ]

Los cristales de tiempo parecen romper la simetría de la traducción del tiempo y tienen patrones repetidos en el tiempo, incluso si las leyes del sistema son invariantes por la traducción del tiempo. En realidad, los cristales de tiempo estudiados muestran una ruptura de simetría discreta en el tiempo de la traducción: son sistemas controlados periódicamente que oscilan a una fracción de la frecuencia de la fuerza motriz. La simetría inicial ya es una simetría discreta de traducción de tiempo ($${\ displaystyle t \ to t + nT}), no continua ($${\ displaystyle t \ to t '}).

Muchos sistemas pueden mostrar comportamientos de ruptura de simetría de conversión de tiempo espontánea: células de convección , reacciones químicas oscilantes , aleteo aerodinámico y respuesta subarmónica a una fuerza motora periódica como la inestabilidad de Faraday , ecos de giro de RMN , conversión descendente paramétrica y no lineal lineal duplicado en el período. sistemas dinamicos.

Sin embargo, los cristales de tiempo de Floquet son únicos porque siguen una definición estricta de ruptura de simetría discreta de traducción de tiempo ^[19]  :

• Es una simetría rota: el sistema muestra oscilaciones con un período más largo que la fuerza motriz.
• el sistema se encuentra en el equilibrio criptográfico  : estas oscilaciones no generan entropía , y se puede encontrar un marco dependiente del tiempo en el que el sistema es indistinguible de un equilibrio cuando se mide de forma estroboscópica (que no es el caso de las células de convección, las reacciones químicas oscilantes y las aerodinámicas). aleteo)
• el sistema muestra un orden de largo alcance  : las oscilaciones están en fase (sincronizadas) en distancias y tiempos arbitrariamente largos

Además, la simetría rota en los cristales de tiempo es el resultado de interacciones de muchos cuerpos  : el orden es la consecuencia de un proceso colectivo , al igual que en los cristales espaciales. Este no es el caso de los ecos de giro de RMN.

Los campos o las partículas pueden cambiar su energía al interactuar con un cristal de tiempo, al igual que pueden cambiar su impulso al interactuar con un cristal espacial.

Estas características hacen que los cristales de tiempo sean análogos a los cristales espaciales como se describió anteriormente.

Termodinámica [ editar ]

Los cristales de tiempo no violan las leyes de la termodinámica: la energía en el sistema en general se conserva, tal cristal no convierte espontáneamente la energía térmica en trabajo mecánico, y no puede servir como un almacén de trabajo perpetuo. Pero puede cambiar perpetuamente en un patrón fijo en el tiempo mientras se pueda mantener el sistema. Poseen "movimiento sin energía" ^[20]: su movimiento aparente no representa la energía cinética convencional. ^[21]

Se ha comprobado que un cristal de tiempo no puede existir en equilibrio térmico. Los últimos años han visto más estudios de fluctuaciones cuánticas de no equilibrio. ^[22]

Experimentos [ editar ]

En octubre de 2016, Christopher Monroe de la Universidad de Maryland afirmó haber creado el primer cristal de tiempo discreto del mundo. Usando la idea de la propuesta de Yao, su equipo atrapó una cadena de ¹⁷¹ iones Yb ⁺ ( iterbio ) en una trampa de Paul , confinada por campos electromagnéticos de radiofrecuencia. Uno de los dos estados de espín fue seleccionado por un par de rayos láser. Los láseres fueron pulsados, con la forma del pulso controlada por un modulador acústico-óptico , utilizando la ventana de Tukey para evitar demasiada energía en la frecuencia óptica incorrecta. Los estados del electrón hiperfino en esa configuración, ² S_1/2 | F = 0, m _F = 0⟩ y | F = 1, m _F = 0⟩, tienen niveles de energía muy cercanos, separados por 12.642831 GHz. Diez iones enfriados con Doppler se colocaron en una línea de 0.025 mm de largo y se acoplaron entre sí.

Los investigadores observaron una oscilación subarmónica de la unidad. El experimento mostró la "rigidez" del cristal de tiempo, donde la frecuencia de oscilación permaneció sin cambios incluso cuando el cristal de tiempo estaba perturbado, y ganó una frecuencia propia y vibró de acuerdo con él (en lugar de solo la frecuencia del variador). Sin embargo, una vez que la perturbación o la frecuencia de la vibración se hicieron demasiado fuertes, el cristal del tiempo se "derritió" y perdió esta oscilación subarmónica, y volvió al mismo estado que antes, donde solo se movió con la frecuencia inducida. ^[13]

Más tarde, en 2016, Mikhail Lukin en Harvard también informó sobre la creación de un cristal de tiempo impulsado. Su grupo usó un cristal de diamante dopado con una alta concentración de centros vacíos de nitrógeno , que tienen un fuerte acoplamiento dipolo-dipolo y una coherencia de espín relativamente larga . Este sistema de espín dipolar de interacción fuerte se activó con campos de microondas, y el estado de espín conjunto se determinó con un campo óptico (láser). Se observó que la polarización del espín evolucionó a la mitad de la frecuencia de la unidad de microondas. Las oscilaciones persistieron durante más de 100 ciclos. Esta respuesta subarmónica a la frecuencia de activación se ve como una firma del orden cristalino en el tiempo.