MECÁNICA CUÁNTICA

álgebra de restricciones es un espacio lineal de todas las restricciones y todas sus funciones polinomiales o funcionales cuya acción en los vectores físicos del espacio de Hilbert debería ser igual a cero.

Por ejemplo, en el electromagnetismo, la ecuación para la ley de Gauss.

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {E}} = \ rho}

Es una ecuación de movimiento que no incluye ninguna derivada temporal. Es por esto que se cuenta como una restricción, no como una ecuación dinámica de movimiento. En la electrodinámica cuántica , uno primero construye un espacio de Hilbert en el que la ley de Gauss no se cumple automáticamente. El verdadero espacio de Hilbert de los estados físicos se construye como un subespacio del espacio original de Hilbert de vectores que satisfacen

$${\ displaystyle (\ nabla \ cdot {\ vec {E}} (x) - \ rho (x)) | \ psi \ rangle = 0.}

En teorías más generales, el álgebra de restricción puede ser un álgebra no conmutativa .

caminata cuántica en tiempo continuo (CTQW) es una caminata cuántica en un gráfico dado (simple) que es dictada por una matriz unitaria variable en el tiempo que se basa en el Hamiltoniano del sistema cuántico y la matriz de adyacencia . Se cree que el concepto de CTQW se consideró primero para el cálculo cuántico por Edward Farhi y Sam Gutmann; ^[1] dado que muchos algoritmos clásicos se basan en caminatas aleatorias(clásicas) , se consideró originalmente el concepto de CTQW para ver si podría haber análogos cuánticos de estos algoritmos con, por ejemplo, una mejor complejidad de tiempoque sus contrapartes clásicas. En los últimos tiempos, han sido de particular interés problemas tales como decidir qué gráficos admiten propiedades tales como la transferencia de estado perfecta con respecto a sus CTQW.

Definiciones [ editar ]

Suponer que $${\ displaystyle G} es un gráfico en $${\ displaystyle n} vértices, y que $${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}.

Caminatas cuánticas en tiempo continuo [ editar ]

La caminata cuántica en tiempo continuo. $${\ displaystyle U (t) \ in \ operatorname {Mat} _ {n \ times n} (\ mathbb {C})} en $${\ displaystyle G} en el momento $${\ displaystyle t} Se define como:

$$$${\ displaystyle U (t): = e ^ {itA}}

dejando $${\ displaystyle A} denota la matriz de adyacencia de $${\ displaystyle G}.

También es posible definir de manera similar una caminata cuántica de tiempo continuo en $${\ displaystyle G}relativo a su matriz laplaciana ; aunque, a menos que se indique lo contrario, un CTQW en un gráfico significará un CTQW en relación con su matriz de adyacencia para el resto de este artículo.

Matrices de mezcla [ editar ]

La matriz de mezcla $${\ displaystyle M (t) \ in \ operatorname {Mat} _ {n \ times n} (\ mathbb {R})} de $${\ displaystyle G} en el momento $${\ displaystyle t} Se define como $${\ displaystyle M (t): = U (t) \ circ U (-t)}.

Las matrices de mezcla son matrices simétricas doble estocásticas obtenidas de CTQWs en gráficos:$${\ displaystyle {M (t)} _ {u, v}} da la probabilidad de $${\ displaystyle u} transición a $${\ displaystyle v} en el momento $${\ displaystyle t} para cualquier vértice $${\ displaystyle u} y v en $${\ displaystyle G}.

Vértices periódicos [ editar ]

Un vértice $${\ displaystyle u} en $${\ displaystyle G} Se dice que periódicamente en el tiempo. $${\ displaystyle t} Si $${\ displaystyle {M (t)} _ {u, u} = 1}.

Transferencia de estado perfecta [ editar ]

Vértices distintos $${\ displaystyle u} y $${\ displaystyle v} en $${\ displaystyle G} Se dice que admiten la transferencia de estado perfecta en el momento $${\ displaystyle t} Si $${\ displaystyle M (t) _ {u, v} = 1}.

Si un par de vértices en $${\ displaystyle G} admitir transferencia de estado perfecta en el momento t, entonces $${\ displaystyle G} se dice que admite la transferencia de estado perfecta (en el momento t).

Un conjunto $${\ displaystyle S} de pares de vértices distintos en $${\ displaystyle G} Se dice que admite la transferencia de estado perfecta (en el momento $${\ displaystyle t}) si cada par de vértices en $${\ displaystyle S} Admite transferencia de estado perfecta en el momento $${\ displaystyle t}.

Un conjunto $${\ displaystyle S} de vértices en $${\ displaystyle G} Se dice que admite la transferencia de estado perfecta (en el momento $${\ displaystyle t}) si para todos $${\ displaystyle u \ en S} hay un $${\ displaystyle v \ en S} tal que $${\ displaystyle u} y $${\ displaystyle v} admitir transferencia de estado perfecta en el momento $${\ displaystyle t}.

Gráficos periódicos [ editar ]

Un gráfico $${\ displaystyle G} sí se dice que es periódico si hay un tiempo $${\ displaystyle t \ neq 0} de tal manera que todos sus vértices son periódicos en el tiempo $${\ displaystyle t}.

Una gráfica es periódica si y solo si sus valores propios (distintos de cero) son múltiplos racionales entre sí. ^[2]

Además, un gráfico regular es periódico si y solo si es un gráfico integral .

Transferencia de estado perfecta [ editar ]

Condiciones necesarias [ editar ]

Si un par de vértices $${\ displaystyle u} y $${\ displaystyle v} en una gráfica $${\ displaystyle G} admitir transferencia de estado perfecta en el momento $${\ displaystyle t}entonces ambas $${\ displaystyle u} y $${\ displaystyle v} son periodicos a tiempo $${\ displaystyle 2t}. ^[3]

Transferencia de estado perfecta en productos de gráficos [ editar ]

Considerar gráficas $${\ displaystyle G} y $${\ displaystyle H}.

Si ambos $${\ displaystyle G} y $${\ displaystyle H} admitir transferencia de estado perfecta en el momento $${\ displaystyle t}, luego su producto cartesiano $${\ displaystyle G \, \ square \, H}Admite transferencia de estado perfecta en el momento $${\ displaystyle t}.

Si alguno $${\ displaystyle G} o $${\ displaystyle H} Admite transferencia de estado perfecta en el momento $${\ displaystyle t}, luego su unión desunida $${\ displaystyle G \ sqcup H}Admite transferencia de estado perfecta en el momento $${\ displaystyle t}.

Transferencia de estado perfecta en gráficos de caminata regular [ editar ]

Si un gráfico regular admite una transferencia de estado perfecta, entonces todos sus valores propios son enteros.

Si $${\ displaystyle G}es un gráfico en un álgebra coherente homogénea que admite una transferencia de estado perfecta en el tiempo$${\ displaystyle t}, como por ejemplo un gráfico transitivo de vértice o un gráfico en un esquema de asociación , entonces todos los vértices en$${\ displaystyle G} admitir transferencia de estado perfecta en el momento $${\ displaystyle t}. Además, una gráfica.$${\ displaystyle G}debe tener una coincidencia perfecta que admita la transferencia de estado perfecta si admite la transferencia de estado perfecta entre un par de vértices adyacentes y es un gráfico en un álgebra coherente homogénea.

Un gráfico de borde transitivo regular $${\ displaystyle G} no puede admitir la transferencia de estado perfecta entre un par de vértices adyacentes, a menos que sea una unión desunida de copias de la gráfica completa $${\ displaystyle K_ {2}}.

Un gráfico muy regular admite la transferencia de estado perfecta si y solo si es el complemento de la unión desunida de un número par de copias de$${\ displaystyle K_ {2}}.

El único gráfico de distancia cúbica regular que admite una transferencia de estado perfecta es el gráfico cúbico .

 principio de correspondencia establece que el comportamiento de los sistemas descritos por la teoría de la mecánica cuántica (o por la antigua teoría cuántica ) reproduce la física clásica en el límite de los grandes números cuánticos . En otras palabras, dice que para órbitas grandes y para energías grandes , los cálculos cuánticos deben coincidir con los cálculos clásicos. ^[1]

El principio fue formulado por Niels Bohr en 1920, ^[2] aunque previamente lo había utilizado desde 1913 para desarrollar su modelo del átomo . ^[3]

El término codifica la idea de que una nueva teoría debe reproducir bajo ciertas condiciones los resultados de teorías más antiguas y bien establecidas en aquellos dominios en los que funcionan las teorías anteriores. Este concepto es algo diferente del requisito de un límite formal bajo el cual la nueva teoría se reduce a la más antigua, gracias a la existencia de un parámetro de deformación. ^{[ aclaración necesaria ]}

Las cantidades clásicas aparecen en la mecánica cuántica en forma de valores esperados de observables, y como tal, el teorema de Ehrenfest (que predice la evolución temporal de los valores esperados) apoya el principio de correspondencia.

Mecánica cuántica [ editar ]

Las reglas de la mecánica cuántica son altamente exitosas en la descripción de objetos microscópicos, átomos y partículas elementales . Pero los sistemas macroscópicos, ^[4] como resortes y condensadores , están descritos con precisión por teorías clásicas como la mecánica clásica y la electrodinámica clásica . Si la mecánica cuántica fuera aplicable a los objetos macroscópicos, debe haber algún límite en el que la mecánica cuántica se reduzca a la mecánica clásica. El principio de correspondencia de Bohr exige que la física clásica y la física cuántica den la misma respuesta cuando los sistemas se vuelven grandes . ^[5]A. Sommerfeld (1924) se refirió al principio como "Bohrs Zauberstab" (la varita mágica de Bohr).

Las condiciones en las que concuerdan la física cuántica y la clásica se conocen como el límite de correspondencia , o el límite clásico . Bohr proporcionó una receta aproximada para el límite de correspondencia: ocurre cuando los números cuánticos que describen el sistema son grandes . Un análisis más elaborado de la correspondencia cuántica-clásica (QCC) en la propagación de paquetes de ondas conduce a la distinción entre "QCC restringido" robusto y "QCC detallado" frágil. ^[6] "QCC restringido" se refiere a los dos primeros momentos de la distribución de probabilidad y es cierto incluso cuando los paquetes de ondas difractan, mientras que "QCC detallado" requiere potenciales suaves que varían en escalas mucho mayores que la longitud de onda, que es lo que Bohr consideró .

La nueva teoría cuántica posterior a 1925 se presentó en dos formulaciones diferentes. En la mecánica de matrices , el principio de correspondencia se incorporó y se utilizó para construir la teoría. En el enfoque de Schrödinger, el comportamiento clásico no está claro porque las ondas se extienden a medida que se mueven. Una vez que la ecuación de Schrödinger recibió una interpretación probabilística, Ehrenfest demostró que las leyes de Newton se mantienen en promedio: el valor de la expectativa estadística cuántica de la posición y el momento obedecen a las leyes de Newton.

El principio de correspondencia es una de las herramientas disponibles para que los físicos seleccionen las teorías cuánticas correspondientes a la realidad . Los principios de la mecánica cuántica son amplios: los estados de un sistema físico forman un espacio vectorial complejo y los observables físicos se identifican con operadores hermitianos que actúan en este espacio de Hilbert . El principio de correspondencia limita las opciones a aquellos que reproducen la mecánica clásica en el límite de correspondencia.

Debido a que la mecánica cuántica solo reproduce la mecánica clásica en una interpretación estadística, y debido a que la interpretación estadística solo brinda las probabilidades de diferentes resultados clásicos, Bohrha argumentado que la física cuántica no se reduce a la mecánica clásica de manera similar a la mecánica clásica que surge como una aproximación de la relatividad especial en Pequeñas velocidades . Argumentó que la física clásica existe independientemente de la teoría cuántica y no puede derivarse de ella. Su posición es que no es apropiado entender las experiencias de los observadores que utilizan nociones mecánicas cuánticas, como las funciones de onda, ya que los diferentes estados de experiencia de un observador se definen clásicamente y no tienen un análogo de la mecánica cuántica. losLa interpretación relativa del estado de la mecánica cuántica es un intento de comprender la experiencia de los observadores que utilizan solo nociones de la mecánica cuántica. Niels Bohr fue uno de los primeros oponentes de tales interpretaciones.

Muchos de estos problemas conceptuales, sin embargo, se resuelven en la formulación de la mecánica cuántica de fase-espacio , donde se utilizan las mismas variables con la misma interpretación para describir la mecánica cuántica y clásica.

Otras teorías científicas [ editar ]

El término "principio de correspondencia" se usa en un sentido más general para significar la reducción de una nueva teoría científica a una teoría científica anterior en circunstancias apropiadas. Esto requiere que la nueva teoría explique todos los fenómenos en circunstancias para las cuales se sabía que la teoría anterior era válida, el "límite de correspondencia".

Por ejemplo,

• La relatividad especial de Einstein satisface el principio de correspondencia, ya que se reduce a la mecánica clásica en el límite de velocidades pequeñas en comparación con la velocidad de la luz (ejemplo a continuación);
• La relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana en el límite de los campos gravitacionales débiles;
• La teoría de Laplace de la mecánica celeste se reduce a la de Kepler cuando se ignoran las interacciones interplanetarias, y la de Kepler reproduce el ecuante de Ptolomeo en un sistema de coordenadas donde la Tierra está estacionaria;
• La mecánica estadística reproduce la termodinámica cuando el número de partículas es grande;
• En biología, la teoría de la herencia de los cromosomas reproduce las leyes de herencia de Mendel, en el dominio de que los factores heredados son los genes codificantes de proteínas .

Para que exista una correspondencia, la teoría anterior debe tener un dominio de validez: debe funcionar bajo ciertas condiciones. No todas las teorías tienen un dominio de validez. Por ejemplo, no hay límite en el que la mecánica de Newton se reduzca a la mecánica de Aristóteles porque la mecánica de Aristóteles, aunque académicamente dominante durante 18 siglos, no tiene ningún dominio de validez. ^{[ cita requerida ] [ dudoso - discutir ]}

Ejemplos [ editar ]

Modelo de Bohr [ editar ]

Artículo principal: modelo Bohr

Si un electrón en un átomo se está moviendo en una órbita con el período T , en forma clásica, la radiación electromagnética se repetirá cada período orbital. Si el acoplamiento al campo electromagnético es débil, para que la órbita no decaiga mucho en un ciclo, la radiación se emitirá en un patrón que se repite en cada período, de modo que la transformada de Fourier tendrá frecuencias que son solo múltiplos de 1 / T . Esta es la ley de radiación clásica: las frecuencias emitidas son múltiplos enteros de 1 / T .

En mecánica cuántica, esta emisión debe ser en cantidad de luz, de frecuencias que consistan en múltiplos enteros de 1 / T , de modo que la mecánica clásica sea una descripción aproximada de grandes números cuánticos. Esto significa que el nivel de energía correspondiente a una órbita clásica del período 1 / T debe tener niveles de energía cercanos que difieren en energía en h / T , y deben estar espaciados por igual cerca de ese nivel,

$${\ displaystyle \ Delta E_ {n} = {h \ sobre T (E_ {n})} ~.}

A Bohr le preocupaba si la separación de energía 1 / T debería calcularse mejor con el período del estado de energía.$${\ displaystyle E_ {n}}o $${\ displaystyle E_ {n + 1}}, o algún promedio: en retrospectiva, este modelo es solo la principal aproximación semiclásica.

Bohr considera las órbitas circulares. Clásicamente, estas órbitas deben decaer en círculos más pequeños cuando se emiten fotones. El espacio entre las órbitas circulares se puede calcular con la fórmula de correspondencia. Para un átomo de hidrógeno, las órbitas clásicas tienen un período T determinado por la tercera ley de Kepler para escalar como r ^3/2 . La energía se escala como 1 / r , por lo que la fórmula de espaciado de niveles equivale a

$${\ displaystyle \ Delta E \ propto {1 \ over r ^ {3 \ over 2}} \ propto E ^ {3 \ over 2}.}

Es posible determinar los niveles de energía reduciendo recursivamente la órbita de la órbita, pero hay un atajo.

El momento angular L de la órbita circular se escala como √ r . La energía en términos del momento angular es entonces

$${\ displaystyle E \ propto {1 \ over r} \ propto {1 \ over L ^ {2}}.}

Suponiendo, con Bohr, que los valores cuantificados de L están espaciados por igual, el espaciado entre energías vecinas es

$${\ displaystyle \ Delta E \ propto {1 \ over (L + \ hbar) ^ {2}} - {1 \ over L ^ {2}} \ approx - {2 \ hbar \ over L ^ {3}} \ propto -E ^ {3 \ sobre 2}.}

Esto es lo que se desea para los momentos angulares igualmente espaciados. Si uno mantiene un seguimiento de las constantes, la separación sería h , por lo que el momento angular debe ser un múltiplo entero de ħ ,

$${\ displaystyle L = {nh \ over 2 \ pi} = n \ hbar ~.}

Así es como llegó Bohr a su modelo . Dado que solo el espaciado entre niveles está determinado heurísticamente por el principio de correspondencia, siempre se podría agregar un pequeño desplazamiento fijo al número cuántico: L podría haber sido ( n +.338) ħ .

Bohr utilizó su intuición física para decidir qué cantidades eran las mejores para cuantificar. Es un testimonio de su habilidad que pudo obtener tanto de lo que es solo la aproximación de la orden principal . Un tratamiento menos heurístico explica las compensaciones necesarias en el estado básico L ² , cf. Wigner – Weyl transform .

Potencial unidimensional [ editar ]

La condición de correspondencia de Bohr se puede resolver para las energías de nivel en un potencial unidimensional general. Defina una cantidad J ( E ) que es una función solo de la energía y tiene la propiedad que

$${\ displaystyle {dJ \ over dE} = T}

Este es el análogo del momento angular en el caso de las órbitas circulares. Las órbitas seleccionadas por el principio de correspondencia son las que obedecen J = nh para n entero, ya que

$${\ displaystyle \ Delta E = E_ {n + 1} -E_ {n} = {dE \ over dJ} (J_ {n + 1} -J_ {n}) = {1 \ over T} \, \ Delta J }

Esta cantidad J es conjugado canónicamente a una variable θ que, por las ecuaciones de movimiento de Hamilton cambia con el tiempo como el gradiente de energía con J . Dado que esto es igual al período inverso en todo momento, la variable θ aumenta constantemente de 0 a 1 durante un período.

La variable de ángulo regresa a sí misma después de 1 unidad de aumento, por lo que la geometría del espacio de fase en J , θ coordenadas es la de un semicilindro, rematado en J = 0, que es la órbita inmóvil en el valor más bajo del energía. Estas coordenadas son tan canónicas como x , p , pero las órbitas ahora son líneas de constante J en lugar de ovoides anidados en el espacio x - p .

El área encerrada por una órbita es invariante en las transformaciones canónicas, por lo que es el mismo en elespacio x - p que en J - θ . Pero en el J - θ coordenadas, esta área es el área de un cilindro de la unidad de circunferencia entre 0 y J , o simplemente J . Entonces J es igual al área encerrada por la órbita en lascoordenadas xp también,

$${\ displaystyle J = \ int _ {0} ^ {T} p {dx \ over dt} \, dt ~.}

La regla de cuantización es que la variable de acción J es un múltiplo entero de h .

Movimiento multiperiódico: cuantificación de Bohr – Sommerfeld [ editar ]

El principio de correspondencia de Bohr proporcionó una manera de encontrar la regla de cuantificación semiclásica para un sistema de un grado de libertad. Era un argumento a favor de la antigua condición cuántica, en su mayoría independiente del desarrollado por Wien y Einstein, que se centraba en la invariancia adiabática . Pero ambos apuntaban a la misma cantidad, la acción.

Bohr se mostró reacio a generalizar la regla a sistemas con muchos grados de libertad. Este paso fue dado por Sommerfeld , quien propuso la regla general de cuantificación para un sistema integrable ,

$${\ displaystyle J_ {k} = hn_ {k}. \,}

Cada variable de acción es un entero separado, un número cuántico separado.

Esta condición reproduce la condición de órbita circular para movimiento bidimensional: sea r, θ sean coordenadas polares para un potencial central. Entonces θ ya es una variable de ángulo, y el conjugado de momento canónico es L , el momento angular. Así que la condición cuántica para L reproduce la regla de Bohr:

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} Ld \ theta = 2 \ pi L = nh.}

Esto permitió a Sommerfeld generalizar la teoría de las órbitas circulares de Bohr a las órbitas elípticas, lo que demuestra que los niveles de energía son los mismos. También encontró algunas propiedades generales del momento angular cuántico que parecían paradójicos en ese momento. Uno de estos resultados fue que la componente z del momento angular, la inclinación clásica de una órbita en relación con el eje z, solo podía tomar valores discretos, un resultado que parecía contradecir la invarianza rotacional. Esto se denominó cuantización del espacio por un tiempo, pero este término cayó en desgracia con la nueva mecánica cuántica, ya que no se trata de una cuantificación del espacio.

En la mecánica cuántica moderna, el principio de superposición deja claro que la invariabilidad rotacional no se pierde. Es posible rotar objetos con orientaciones discretas para producir superposiciones de otras orientaciones discretas, y esto resuelve las paradojas intuitivas del modelo de Sommerfeld.

El oscilador armónico cuántico [ editar ]

Aquí hay una demostración ^[7] de cómo grandes números cuánticos pueden dar lugar a un comportamiento clásico (continuo).

Considere el oscilador armónico cuántico unidimensional . La mecánica cuántica nos dice que el total (cinética y potencial) de energía del oscilador, E , tiene un conjunto de valores discretos,

$${\ displaystyle E = (n + 1/2) \ hbar \ omega, \ n = 0,1,2,3, \ dots ~,}

donde ω es la frecuencia angular del oscilador.

Sin embargo, en un oscilador armónico clásico , como una bola de plomo unida al final de un resorte, no percibimos ninguna discreción. En cambio, la energía de tal sistema macroscópico parece variar a lo largo de un continuo de valores. Podemos verificar que nuestra idea de sistemas macroscópicos se encuentre dentro del límite de correspondencia. La energía del oscilador armónico clásico con amplitud A , es

$${\ displaystyle E = {\ frac {m \ omega ^ {2} A ^ {2}} {2}}.}

Así, el número cuántico tiene el valor.

$${\ displaystyle n = {\ frac {E} {\ hbar \ cdot \ omega}} - {\ frac {1} {2}} = {\ frac {m \ omega A ^ {2}} {2 \ hbar} } - {\ frac {1} {2}}}

Si aplicamos valores típicos de "escala humana" m = 1 kg , ω = 1 rad / s , y A = 1 m, entonces n ≈ 4.74 × 10 ³³ . Este es un número muy grande, por lo que el sistema está de hecho en el límite de correspondencia. 

Es fácil ver por qué percibimos un continuo de energía en este límite. Con ω = 1 rad / s, la diferencia entre cada nivel de energía es ħω ≈ 1.05 × 10 ⁻³⁴ J , muy por debajo de lo que normalmente resolvemos para sistemas macroscópicos. Luego se describe este sistema a través de un límite clásico emergente . 

La energía cinética relativista [ editar ]

Aquí mostramos que la expresión de la energía cinética de la relatividad especial se vuelve arbitrariamente cercana a la expresión clásica, para velocidades que son mucho más lentas que la velocidad de la luz , v ≪ c .

La ecuación de masa-energía de Einstein.

$${\ displaystyle E = {\ frac {m_ {0}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} c ^ {2} ~,}

donde la velocidad, v es la velocidad del cuerpo en relación con el observador, $${\ displaystyle m_ {0} \}es la masa en reposo (la masa observada del cuerpo a velocidad cero en relación con el observador), y c es la velocidad de la luz .

Cuando la velocidad v se desvanece, la energía expresada anteriormente no es cero y representa la energía en reposo ,

$${\ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2}. \}

Cuando el cuerpo está en movimiento con respecto al observador, la energía total excede la energía en reposo en una cantidad que es, por definición, la energía cinética ,

$${\ displaystyle T = E-E_ {0} = {\ frac {m_ {0} c ^ {2}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} \ - \ m_ {0} c ^ {2} ~.}

Usando la aproximación

$${\ displaystyle (1 + x) ^ {n} \ approx 1 + nx \}

para $${\ displaystyle | x | \ ll 1 \}

obtenemos, cuando las velocidades son mucho más lentas que la de la luz, o v ≪ c ,

$${\ displaystyle T \}	$${\ displaystyle = m_ {0} c ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} - 1 \ right) \}
	$${\ displaystyle = m_ {0} c ^ {2} \ left (\ left (1-v ^ {2} / c ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} - 1 \ derecha) \}
	$${\ displaystyle \ approx m_ {0} c ^ {2} \ left ((1 - (- {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}}) v ^ {2} / c ^ {2}) - 1 \ right) \}
	$${\ displaystyle = m_ {0} c ^ {2} \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} v ^ {2} / c ^ {2} \ derecho)\ }
	$${\ displaystyle = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} m_ {0} v ^ {2} ~,}

que es la expresión newtoniana de la energía cinética .