OCEANOGRAFÍA FÍSICA

TABLA DE ONDAS AÉREAS - CONTINUACIÓN

Acción de las olas, flujo de energía de las olas y estrés por radiación. [ editar ]

En general, puede haber una transferencia de energía entre el movimiento de onda y el movimiento fluido medio. Esto significa que, en todos los casos, la densidad de energía de la onda no es una cantidad conservada (descuidando los efectos disipativos ), sino la densidad de energía total, la suma de la densidad de energía por unidad de área del movimiento de la onda y el movimiento del flujo medio. Sin embargo, hay para trenes de ondas que varían lentamente, propagándose en campos de batimetría y flujo medio que varían lentamente , una cantidad de onda similar y conservada, la acción de onda. $${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = E / \ sigma:}^{[19] [24] [25]}

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {A}}} {\ partial t}} \, + \, \ nabla \ cdot \ left [\ left ({\ boldsymbol {U}} + {\ boldsymbol { c}} _ {g} \ right) \, {\ mathcal {A}} \ right] \, = \, 0,}

con $${\ displaystyle \ left ({\ boldsymbol {U}} + {\ boldsymbol {c}} _ {g} \ right) \, {\ mathcal {A}}}el flujo de acción y$${\ displaystyle {\ boldsymbol {c}} _ {g} = c_ {g} \, {\ boldsymbol {e}} _ {k}}El vector de velocidad de grupo . La conservación de la acción forma la base de muchos modelos de olas de viento y modelos de turbulencia de olas . ^[26] También es la base de los modelos de ingeniería costera para el cálculo de la formación de olas . ^{[27] La} expansión de la ecuación de conservación de la acción de las olas anterior conduce a la siguiente ecuación de evolución para la densidad de energía de las olas: ^[28]

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial E} {\ partial t}} \, + \, \ nabla \ cdot \ left [\ left ({\ boldsymbol {U}} + {\ boldsymbol {c}} _ {g } \ right) \, E \ right] \, + \, \ mathbb {S}: \ left (\ nabla {\ boldsymbol {U}} \ right) \, = \, 0,}

con:

• $${\ displaystyle \ left ({\ boldsymbol {U}} + {\ boldsymbol {c}} _ {g} \ derecha) \, E} es el flujo de densidad de energía de onda media,
• $${\ displaystyle \ mathbb {S}}es el tensor de tensión de radiación y
• $${\ displaystyle \ nabla {\ boldsymbol {U}}} es la velocidad media tensor de corte de .

En esta ecuación en forma de no conservación, el producto interno de Frobenius. $${\ displaystyle \ mathbb {S}: (\ nabla {\ boldsymbol {U}})}es el término fuente que describe el intercambio de energía del movimiento de onda con el flujo medio. Solo en caso de que la tasa de corte promedio sea cero,$${\ displaystyle \ nabla {\ boldsymbol {U}} = {\ mathsf {0}},} la densidad de energía de la onda media $${\ displaystyle E}Se conserva. Los dos tensores$${\ displaystyle \ mathbb {S}} y $${\ displaystyle \ nabla {\ boldsymbol {U}}}están en un sistema de coordenadas cartesianas de la forma: ^[29]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbb {S} \, & = \, {\ begin {pmatrix} S_ {xx} & S_ {xy} \\ S_ {yx} & S_ {yy} \ end {pmatrix}} \, = \, \ mathbb {I} \, \ left ({\ frac {c_ {g}} {c_ {p}}} - {\ frac {1} {2}} \ right) \, E \, + \, {\ frac {1} {k ^ {2}}} \, {\ begin {pmatrix} k_ {x} \, k_ {x} & k_ {x} \, k_ {y} \\ [2ex] k_ {y} \, k_ {x} & k_ {y} \, k_ {y} \ end {pmatrix}} \, {\ frac {c_ {g}} {c_ {p}}} \, E, \\ \ mathbb {I} \, & = \, {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {and}} \\\ nabla {\ boldsymbol {U}} \, & = \, {\ begin {pmatrix} \ displaystyle {\ frac {\ partial U_ {x}} {\ partial x}} & \ displaystyle {\ frac {\ partial U_ {y}} {\ partial x}} \\ [2ex] \ displaystyle {\ frac {\ parcial U_ {x}} {\ parcial y}} & \ displaystyle {\ frac {\ parcial U_ {y}} {\ parcial y}} \ fin {pmatrix}}, \ fin {alineado}}}

con $${\ displaystyle k_ {x}} y $${\ displaystyle k_ {y}} los componentes del vector wavenumber $${\ displaystyle {\ boldsymbol {k}}} y de manera similar $${\ displaystyle U_ {x}} y $${\ displaystyle U_ {y}} las componentes en el vector de velocidad media $${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}}}.

Ola masiva de flujo y la onda impulso [ editar ]

El momento horizontal medio por unidad de área$${\ displaystyle {\ boldsymbol {M}}}inducido por el movimiento de la onda, y también el flujo demasa inducido por la onda o el transporte de masa , es: ^[30]

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {M}} \, = \, {\ overline {\ int _ {- h} ^ {\ eta} \ rho \, \ left ({\ boldsymbol {U}} + {\ boldsymbol { u}} _ {x} \ right) \; {\ text {d}} z}} \, - \, \ int _ {- h} ^ {0} \ rho \, {\ boldsymbol {U}} \ ; {\ text {d}} z \, = \, {\ frac {E} {c_ {p}}} \, {\ boldsymbol {e}} _ {k},}

que es un resultado exacto para las ondas de agua periódicas progresivas, también válidas para las ondas no lineales . ^[31] Sin embargo, su validez depende en gran medida de la forma en que se definen el momento de la onda y el flujo de masa. Stokes ya identificó dos posibles definiciones de velocidad de fase para ondas no lineales periódicas: ^[6]

• Primera definición de Stokes de celeridad de la onda (S1) - con la velocidad de flujo media de Euleriana igual a cero para todas las elevaciones z debajo de la onda canales de , y
• Segunda definición de Stokes de la celeridad de las olas. (S2) - con el transporte de masa medio igual a cero.

La relación anterior entre el momento de onda M y la densidad de energía de onda E es válida en el marco de la primera definición de Stokes.

Sin embargo, para las ondas perpendiculares a una línea de costa o en un canal cerrado de ondas de laboratorio , la segunda definición (S2) es más apropiada. Estos sistemas de onda tienen flujo de masa cero y momento cuando se utiliza la segunda definición. ^[32] En contraste, de acuerdo con la primera definición de Stokes (S1), hay un flujo de masa inducido por la onda en la dirección de propagación de la onda, que debe ser equilibrado por un flujo medio U en la dirección opuesta - llamada resaca .

Entonces, en general, hay algunas sutilezas involucradas. Por lo tanto, también se utiliza el término pseudo-momento de las ondas en lugar del momento de la onda.^[33]

Ecuaciones de masa y evolución impulso [ editar ]

Para campos de batimetría , onda y flujo medio que varían lentamente , la evolución del flujo medio puede describirse en términos de la velocidad media de transporte de masa$${\ displaystyle {\ tilde {\ boldsymbol {U}}}}definido como: ^[34]

$${\ displaystyle {\ tilde {\ boldsymbol {U}}} \, = \, {\ boldsymbol {U}} \, + \, {\ frac {\ boldsymbol {M}} {\ rho \, h}}. }

Tenga en cuenta que para aguas profundas, cuando la profundidad media h va hasta el infinito, la velocidad euleriana media$${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}}} y la velocidad media de transporte $${\ displaystyle {\ tilde {\ boldsymbol {U}}}} hazte igual

La ecuación para la conservación de masas es: ^[19] [34]

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ rho \, h \, \ right) \, + \, \ nabla \ cdot \ left (\ rho \, h \, {\ tilde {\ boldsymbol {U}}} \ right) \, = \, 0,}

donde h ( x , t ) es la profundidad media del agua, variando lentamente en el espacio y el tiempo. Del mismo modo, el impulso horizontal medio evoluciona como: ^[19] [34]

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ rho \, h \, {\ tilde {\ boldsymbol {U}}} \ right) \, + \, \ nabla \ cdot \ izquierda (\ rho \, h \, {\ tilde {\ boldsymbol {U}}} \ otimes {\ tilde {\ boldsymbol {U}}} \, + \, {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, g \, h ^ {2} \, \ mathbb {I} \, + \, \ mathbb {S} \ right) \, = \, \ rho \, g \, h \, \ nabla d ,}

con d la profundidad del agua sin gas (el lecho marino está en z = - d ),$${\ displaystyle \ mathbb {S}}es el tensor de radiación-tensión de onda ,$${\ displaystyle \ mathbb {I}}es la matriz de identidad y$${\ displaystyle \ otimes}es el producto diádico :

{\ displaystyle {\ tilde {\ boldsymbol {U}}} \ otimes {\ tilde {\ boldsymbol {U}}} \, = \, {\ begin {pmatrix} {\ tilde {U}} _ {x} \ , {\ tilde {U}} _ {x} & {\ tilde {U}} _ {x} \, {\ tilde {U}} _ {y} \\ [2ex] {\ tilde {U}} _ {y} \, {\ tilde {U}} _ {x} & {\ tilde {U}} _ {y} \, {\ tilde {U}} _ {y} \ end {pmatrix}}.}

Tenga en cuenta que significa horizontal impulso sólo se conserva si el lecho marino es horizontal ( es decir, la profundidad todavía-agua d es una constante), de acuerdo con el teorema de Noether .

El sistema de ecuaciones se cierra a través de la descripción de las ondas. La propagación de la energía de las olas se describe a través de la ecuación de conservación de la acción de las olas (sin disipación e interacciones de ondas no lineales): ^[19] [24]

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ frac {E} {\ sigma}} \, \ right) + \, \ nabla \ cdot \ left [\ left ({\ boldsymbol {U}} + {\ boldsymbol {c}} _ {g} \ right) \, {\ frac {E} {\ sigma}} \ right] \, = \, 0.}

La cinemática de onda se describe a través de la ecuación de conservación de cresta de onda: ^[35]

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {k}}} {\ partial t}} \, + \, \ nabla \ omega \, = \, {\ boldsymbol {0}},}

con la frecuencia angular ω una función del número de onda (angular) k , relacionada a través de la relación de dispersión . Para que esto sea posible, el campo de onda debe ser coherente . Al tomar el rizo de la conservación de la cresta de las olas, se puede ver que un campo de número de onda inicialmente irrotacionalpermanece irrotacional.

Stokes deriva [ editar ]

Articulo principal: Deriva de Stokes

Al seguir una sola partícula en movimiento de onda pura $${\ displaystyle ({\ boldsymbol {U}} = {\ boldsymbol {0}}),}De acuerdo con la teoría lineal de ondas aereas, una primera aproximación da órbitas elípticas cerradas para partículas de agua. ^[36] Sin embargo, para las ondas no lineales, las partículas exhiben una deriva de Stokes para la cual se puede derivar una expresión de segundo orden de los resultados de la teoría de ondas de Airy (consulte la tabla anterior sobre propiedades de las ondas de segundo orden ). ^[37] La velocidad de deriva de Stokes$${\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {u}}} _ {S}}, que es la deriva de la partícula después de un ciclo de onda dividido por el período , puede estimarse utilizando los resultados de la teoría lineal: ^[38]

$${\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {u}}} _ {S} \, = \, {\ frac {1} {2}} \, \ sigma \, k \, a ^ {2} \, { \ frac {\ cosh \, 2 \, k \, (z + h)} {\ sinh ^ {2} \, (k \, h)}} \, {\ boldsymbol {e}} _ {k}, }

por lo que varía en función de la elevación. La fórmula dada es para la primera definición de Stokes de celeridad de onda. Cuando$${\ displaystyle \ rho \, {\ bar {\ boldsymbol {u}}} _ {S}}Se integra sobre la profundidad, la expresión para el impulso de la onda media.$${\ displaystyle {\ boldsymbol {M}}}se recupera.