sábado, 9 de abril de 2016

Apuntes de óptica

Óptica Geométrica

 Óptica Geométrica Paraxial
Postulados de la Óptica Geométrica
Definimos el índice de refracción de un medio  como el cociente $n=c/v$, donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío y $v$ es la velocidad de la luz en el medio considerado. Los cinco postulados de la Óptica Geométrica se enuncian así:
  1. Las trayectorias en los medios homogéneos e isótropos son rectilíneas.
  2. Sea una superficie que separa dos medios de índices $n$ y $n'$. El rayo incidente, el reflejado, el transmitido o refractado y la dirección normal a la superficie en el punto de incidencia están en el mismo plano (plano de incidencia).
  3. Sean $\epsilon$, $\epsilon'$ y $\epsilon''$ los ángulos que forman el rayo incidente, el refractado y el reflejado con la normal, respectivamente. El rayo incidente y el transmitido verifican la ley de Snell: $n \sin(\epsilon) = n'\sin(\epsilon')$.
  4. El rayo incidente y el reflejado verifican la ley de la reflexión: $\epsilon=\epsilon''$.
  5. Las trayectorias de la luz a través de diferentes medios son reversibles.
    Figura 1.1: Ley de Snell
    \includegraphics[width=\linewidth]{snell.eps}
    Figura 1.2:Ley de la reflexión
    \includegraphics[width=\linewidth]{reflexio.eps}
1.1.2 Principio de Fermat
Sea un medio homogéneo e isótropo de índice $n$. La luz viaja entre los puntos A y B, siguiendo una trayectoria rectilínea. Definimos elcamino óptico $\Delta_{AB}$ como el producto entre el índice de refracción y la distancia $s$que recorre la luz entre los dos puntos, $\Delta_{AB}=ns_{AB}$. Si la luz atraviesa diferentes medios, el camino óptico será
\begin{displaymath} \Delta= \Sigma n_i s_i . \vspace{5mm} \end{displaymath}.(1.1)
Si el medio es heterogéneo y el índice de refracción varía de punto a punto, la definición de camino óptico se convierte en la siguiente integral
\begin{displaymath} \Delta= \int_c n ds \vspace{5mm} \end{displaymath}.(1.2)
El principio de Fermat dice que para ir de A a B, la luz sigue un camino extremal (es decir, un camino máximo o mínimo):
\begin{displaymath} \delta \Delta = \delta \int_c n ds = 0 \vspace{5mm} \end{displaymath}.(1.3)
1.1.2.1 Teorema de Malus-Dupin
Si sobre cada rayo que sale de un foco emisor de luz tomamos caminos ópticos iguales, los puntos que limitan estos caminos generan una superficie que es normal a todos los rayos. Esta superficie se denomina frente de onda.
1.1.3 Conceptos. Convenio de signos
1.1.3.1 Sistema óptico
Denominamos sistema óptico a un conjunto de superficies que separan medios con índices de refracción diferentes. Si las superficies son de revolución, y sus centros están alineados, la recta que los une se denominaeje óptico. El punto emisor de donde salen los rayos se denomina objeto; el punto donde se juntan los rayos, una vez pasado el sistema óptico es la imagen. Si los rayos pasan físicamente por un punto se denomina real. El punto es virtual si llegan o salen las prolongaciones de los rayos. El conjunto de puntos objeto forma el espacio objeto mientras que el conjunto de puntos imagen conforma el espacio imagen.
1.1.3.2 Sistema óptico perfecto
Un sistema óptico es perfecto si se puede establecer una relación de semejanza entre todo el espacio objeto y todo el espacio imagen. Se puede demostrar que esta condición no es físicamente viable. Podemos determinar unas nuevas condiciones menos restrictivas (condiciones de Maxwell):
  1. A un plano normal en el eje óptico en el espacio objeto le corresponde otro plano normal al eje óptico en el espacio imagen.
  2. Todos los rayos que entran en el sistema partiendo de un punto pasan a la salida por otro punto (real o virtual).
  3. Toda figura contenida en un plano perpendicular al eje, se representa como una figura semejante contenida también en un plano perpendicular al eje, en el espacio imagen.
Definición de condición de stigmatismo: Un sistema se comporta stigmáticamente entre dos puntos cuando todos los rayos que salen de un punto objeto van a parar a un punto imagen (real o virtual).
1.1.3.3 Convenio de signos
Figura 1.3:Convenio de signos. Variables geométricas
\includegraphics[width=10cm]{fis2-7.eps}
Tabla 1.1:Convenio de signos. Norma europea
 Valor PositivoValor Negativo
Distancias a lo largo del eje$s$, $s' $Derecha de la superficieIzquierda de la superficie
Radios de curvatura$r$Centro a la derecha de la superficieCentro a la izquierda de la superficie
Distancias normales al eje$y$, $y'$, $h$Sobre el eje ópticoBajo el eje óptico
Ángulos de incidencia, refracción y reflexión$\epsilon$, $\epsilon'$, $\epsilon''$,$\omega$,$\omega'$Sentido horario (girando hacia la normal)Sentido antihorario (girando hacia la normal)
Ángulos con el eje$\sigma$, $\sigma'$, $\varphi$Sentido antihorario (girando hacia el eje óptico)Sentido horario (girando hacia el eje óptico)
1.1.3.4 Óptica paraxial. Definición
Muchas de las situaciones que se estudian en la Óptica Geométrica presentan como particularidad que los ángulos con los cuales se trabaja son pequeños. Cuando se trabaja en estas condiciones se habla de Óptica de primer grado o bien Óptica Paraxial. En estos casos, la aproximación del seno o la tangente del ángulo por su arco es válida: $\sin(\epsilon) \approx \epsilon$, $\tan(\epsilon) \approx \epsilon$. En estas condiciones, la ley de la refracción se escribe
$n \epsilon = n' \epsilon'$.
1.1.4 El Invariante de Abbe
El invariante de Abbe da la posición de la imagen a partir de la posición de un punto objeto (emisor) cuando se produce una refracción a través de una superficie esférica de radio$r$ que separa dos medios de índices $n$ y $n'$; $s$ y $s' $ son las distancias del objeto a la superficie y de ésta a la imagen, respectivamente. La fórmula del invariante de Abbe indica que cualquier par de puntos objeto-imagen verifica la relación de stigmatismo. Esta relación es válida en condiciones paraxiales.
\begin{displaymath} n \left ( \frac{1}{r} - \frac{1}{s} \right ) = n' \left ( \frac{1}{r} - \frac{1}{s'} \right ) \vspace{5mm} \end{displaymath}.(1.4)
Esta fórmula se puede aplicar repetidamente para varias superficies aplicando la fórmula de paso:
\begin{displaymath} s_{i+1} = s_i' -d_{i,i+1} \vspace{5mm} \end{displaymath},(1.5)
que relaciona las distancias imagen y objeto de superficies consecutivas.
Figura 1.4: Fórmula de paso entre dos superficies
\includegraphics[width=8cm, height=4cm]{fpas.eps}
Si la superficie es un espejo, entonces $n' =-n$ y la fomula se escribe
\begin{displaymath} \frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{2}{r} \vspace{5mm} \end{displaymath}.(1.6)
1.1.5 Aumentos. Planos focales y principales
1.1.5.1 Aumento lateral
Se define el aumento como la relación de tamaño entre la imagen y el objeto: $\beta'=y'/y$. Para un sistema con $k$ superficies que separan $k+1$ medios, el aumento se puede calcular como
\begin{displaymath} \beta'=\frac{n_1}{n_{k+1}} \prod_{y=1}^{k} \frac{s_i'}{s_i} \vspace{5mm} \end{displaymath} ,(1.7)
donde $s_i$ y $s_i'$ son las distancias objeto e imagen parciales referidas a la superficie $i$.
1.1.5.2 Planos focales y planos principales
  1. El punto del eje óptico donde se cortan los rayos que provienen del infinito y que son paralelos al eje óptico se denomina foco imagen. De forma análoga, el punto del eje óptico que tiene por imagen el infinito se denomina foco objeto.
  2. El plano perpendicular al eje óptico que contiene el foco o punto focal se denominaplano focal. Los rayos que provienen del infinito y que entran en el sistema óptico formando un cierto ángulo con el eje óptico se cruzan en un punto del plano focal.
  3. Denominamos planos principales a dos planos conjugados perpendiculares al eje con aumento lateral $\beta'=1$ entre ellos. El punto de intersección entre las prolongaciones del rayo procedente del infinito, y que es paralelo al eje óptico, y del rayo que a la salida va a buscar el foco, marcan la posición del plano principal imagen $H'$. El plano principal objeto $H$ se encuentra de forma análoga, considerando un rayo que pasa por el foco objeto. El conocimiento de los planos principales y focales nos da toda la información necesaria para el estudio de un sistema óptico en primer orden con independencia de su complejidad.
  4. La distancia entre los planos principales y focales se denomina distancia focal o simplemente focal. Las focales objeto y imagen verifican la relación
    \begin{displaymath} \frac{f}{f'} = -\frac{n}{n'} \vspace{5mm} \end{displaymath} .(1.8)
  5. En una superficie esférica, los planos principales $H$ y $H'$ se confunden con propia superficie esférica (fijémonos que estamos en aproximación paraxial). Las focales se pueden calcular utilizando el invariante de Abbe:
    \begin{displaymath} f' = r \frac{n'}{n'-n} \quad f = -r \frac{n}{n'-n} \vspace{5mm} \end{displaymath} .(1.9)
  6. El inverso de la distancia focal imagen se denomina potencia de un sistema óptico $\phi=1/f'$ y se mide en dioptrías (1 $D$= 1 $m^{-1}$).
1.1.6 Ley de las lentes
Figura 1.5: Ley de las lentes
\includegraphics[width=10cm]{fis2-18.eps}
En un sistema óptico definido por las posiciones de los planos principales y focales, se verifican las siguientes relaciones
\begin{displaymath} z z' = f f' \quad -\frac{n}{s} + \frac{n' }{s' } = \frac{n'}{f'} \vspace{5mm} \end{displaymath} ,(1.10)
donde $z$ es la posición del objeto referidada al foco objeto y $z'$ es la posición de la imagen referidada al foco imagen. Si los índices extremos son iguales, caso habitual en las lentes y los instrumentos ópticos, $f=-f'$, 
\begin{displaymath} z z' = -f'^2 \quad -\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f'} \vspace{5mm} \end{displaymath} .(1.11)
En este caso, el aumento lateral es $\beta' = s'/s$.
1.1.7 Sistemas compuestos
Tenemos dos sistemas ópticos bien definidos por sus planos principales y focales, dispuestos según se indica en la figura 1.6. Se puede demostrar que es posible determinar un único sistema (sistema compuesto) de planos principales y focales conjuntos, calculados a partir de los de cada sistema. Por lo general, cualquier sistema óptico, con independencia de su complejidad, puede ser reducido a un único par de planos principales y focales. Esto supone una notable simplificación en el estudio paraxial de sistemas ópticos complejos, ie. formados por muchas lentes o espejos.
Figura 1.6:Sistemas compuestos
\includegraphics[width=10cm]{fis2-19.eps}
A continuación se indican las fórmulas que permiten obtener la focal conjunta del sistema compuesto, así como las posiciones de sus planos principales y focales:
Tabla 1.2:Fórmulas de acoplamiento de sistemas
Caso general, $n_1$, $n_2$, $n_2'$$n_1 = n_2 = n_2'$
$f'= -\frac{f_1' f_2'}{e-f_1'+f_2}$$f'= \frac{f_1' f_2'}{f_1'+f_2'-e}$
$H_1H=\frac{ef_1}{e-f_1'+f_2}$$H_1H = \frac{ef_1'}{f_1'+f_2'-e}$
$H_2'H'=\frac{ef_2'}{e-f_1'+f_2}$$H_2'H' = -\frac{ef_2'}{f_1'+f_2'-e}$
1.1.8 Lentes
Las lentes son la base de los instrumentos ópticos. Están formadas por dos superficies refractivas (que aquí tomaremos esféricas de radios $r_1$ y $r_2$), separadas una distancia $e$, que encierran un medio de índice $n$. Podemos estudiar su funcionamiento considerándolas como sistemas compuestos, puesto que a cada superficie esférica le podemos asignar sus planos principales y focales asociados. Aplicando las fórmulas de los sistemas compuestos podemos determinar estos valores. Sean $n_1$ y $n_2'$ los índices de los medios inicial y final y$n$, el índice del material del cual está hecha la lente:
Tabla 1.3:Fórmulas de diseño de lentes
Caso general, $n_1$, $n$, $n_2'$ diferentesÍndices extremos aire $n_1=n_2'=1$
$\frac{1}{f'}= \frac{n-n_1}{n_2'} \frac{1}{r_1} + \frac{n_2'-n}{n_2'} \frac{1}{r_2} + \frac{(n-n_1)(n-n_2')}{nn_2'} \frac{e}{r_1r_2}$$\frac{1}{f'} = (n-1) \left [\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2} \right ] + \frac{(n-1)^2}{n} \frac{e}{r_1 r_2}$
$H_1H=-\frac{en_1r_1/(n-n_1)}{e-nr_1/(n-n_1)-nr_2/(n_2'-n)}$$H_1H = \frac{er_1}{n(r_1-r_2)-e(n-1)}$
$H_2'H'=\frac{en_2'r_2/(n_2'-n)}{e-nr_1/(n-n_1)-nr_2/(n_2'-n)}$$H_2'H' = \frac{er_2}{n(r_1-r_2)-e(n-1)}$
1.1.8.1 Lentes delgadas
Si el grosor de la lente es pequeño frente a los radios de curvatura y $n_1=n_2'=1$, se verifica que
\begin{displaymath} \frac{1}{f'} = (n-1) \left [\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2} \right ] \quad H_1H=0 \quad H_2'H'=0 \vspace{5mm} \end{displaymath}.(1.12)
1.1.9 Formación de imágenes en una lente
Fórmula de formación de imágenes en las lentes (índices extremos iguales): $-\frac{1}{s}+\frac{1}{s' }=\frac{1}{f'}$.
Figura 1.7: Gráfica $s'(s)$ para una lente convergente de $f'=1$ m
Figura 1.8: Lente convergente. Objeto real e imagen real
\includegraphics[width=10cm]{form0c1.eps}
Figura 1.9: Lente convergente. Objeto real e imagen virtual
\includegraphics[width=10cm]{form0c2.eps}
Figura 1.10: Lente convergente. Objeto virtual e imagen real
\includegraphics[width=10cm]{form0c3.eps}
Figura 1.11: Gráfica $s'(s)$ para una lente divergente de $f'=-1$ m
Figura 1.12: Lente divergente. Objeto real e imagen virtual
\includegraphics[width=10cm]{form0d1.eps}
Figura 1.13: Lente divergente. Objeto virtual e imagen real
\includegraphics[width=10cm]{form0d2.eps}
Figura 1.14:Lente divergente. Objeto virtual e imagen virtual
\includegraphics[width=10cm]{form0d3.eps}

1.1.10 Formación de imágenes en un espejo esférico
Fórmula de formación de imágenes en espejos esféricos: $\frac{1}{s}+\frac{1}{s' }=\frac{2}{r}=\frac{1}{f'}$.
Figura 1.15: Gráfica $s'(s)$ para un espejo esférico convexo de $f'=1$ m
Figura 1.16:Espejo esférico convexo. Objeto real e imagen virtual
\includegraphics[width=10cm]{mirallp1.eps}
Figura 1.17:Espejo esférico convexo. Objeto virtual e imagen real
\includegraphics[width=10cm]{mirallp2.eps}
Figura 1.18:Espejo esférico convexo. Objeto virtual e imagen virtual
\includegraphics[width=10cm]{mirallp3.eps}
Figura 1.19: Gráfica $s'(s)$ para un espejo esférico cóncavo de $f'=-1$ m
Figura 1.20:Espejo esférico cóncavo. Objeto real e imagen real
\includegraphics[width=10cm]{miralln1.eps}
Figura 1.21: Espejo esférico cóncavo. Objeto real e imagen virtual
\includegraphics[width=10cm]{miralln2.eps}
Figura 1.22: Espejo esférico cóncavo. Objeto virtual e imagen real
\includegraphics[width=10cm]{miralln3.eps}
1.1.11 Limitaciones de luz y campo en sistemas ópticos

  • Diafragma de apertura. Dado un sistema óptico, el elemento que limita la cantidad de luz que atraviesa el sistema (montura de lente, diafragma intercalado, ...) se denomina diafragma de apertura. Su imagen en el espacio objeto, que indica la medida de la apertura por donde penetra la luz, recibe el nombre de pupila de entrada. La imagen del diafragma de apertura en el espacio imagen, que indica la medida de la apertura por donde sale la luz, recibe el nombre de pupila de salida.
  • Diafragma de campo. Dado un sistema óptico, el elemento que limita el tamaño del objeto se denomina diafragma de campo. Su imagen en el espacio objeto recibe el nombre de lucarna de entrada. La imagen del diafragma de campo en el espacio imagen, recibe el nombre de lucarna de salida.
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